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| <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=8|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> | | <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=8|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> |
| | wegen B/A ~ const.r,vKräfte immer nur zwischen zwei Nukleonen. Einfachste |
| | Modellsysteme: a) das Deuteron und b) n-p Streuung |
| | a) Deuteron als einfachstes gebundenes Nukleonensystem mit folgenden |
| | Eigenschaften |
| | 1) Bindungsenergie n + P ~ d + 2,2 MeV |
| | 2) Kernspin I = 1, magn. Kerndipolmoment ~I = 0,857 ... ~K |
| | ~ l? . ~ 3 |
| | (~I ~ ~p + ~n = 0,879 ... ~KAt1 = -, +~, SI-Zustand) |
| | el. Quadrupolmoment Q = +2,86 010-31 m2 = 2,7 mb, d.h. sehr |
| | klein |
| | 3) es existiert kein angeregter Zustand, außerdem gibt es kein |
| | Diproton oder Dineutron. |
| | Reduktion des Zweikörperproblems durch Relativkoordinate i = i |
| | m o~ |
| | und red. Masse ~ = p. ~ ~mp. |
| | mp ~ |
| | Schrödingergleichung [-~ 92 + V] ~ = EW |
| | Problem E = -2,2 MeV bekannt, V unbekannt. Annahme: V = V(r) Zentralpotential. |
| | Separationsansatz von Radial- und Winkelteil ~n 1rn |
| | Rnl (r) 0 Ylrn(8, <,0) |
| | Radialteil 112 d 2 |
| | [-"'Iji dr2 + |
| | Zentrifugalpotential |
| | Zentrifugalpotential abstoßend~Grundzustand 1 = 0 (wird durch |
| | I = 1 und ~I ~ ~n + ~p unterstützt). (rRnl ) = (rRl0 ) |
| | = u |
| | Erste (grobe) Annahme von V(r): Kastenpotential (Va' r o ) |
| | I- - - |
| | - - - - - |
| | - E |
| | = - 2, 2 Mev/ |
| | = |
| | I II Trennung der Radialgleichung in Innen |
| | (1)- und Außen (I1)-Bereich |
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| Wegen <math>B/A \approx const \to</math> Kräfte immer nur zwischen zwei Nukleonen. Einfachste
| | [[Datei:8.1.Kastenpotential.png ]] |
| Modellsysteme:
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| *a) das Deuteron und
| | ! r ~ r o dr2 112 (E - Vo)ou = 0 112 |
| *b) n-p Streuung
| | Lösung u = AosinKr + CocosKr RB: u = 0 für r ~ 0 |
| | = AosinKr wegen u/r endlich C = 0 |
| | d 2u [4,3 0 10-15m]-1 !I r ~ r o + 2~ Eou = 0 |
| | dr2 112 |
| | Lösung u = B' oe-kr + Dekr RB: u ~ 0 für r~oo |
| | = Be-k(r-ro) nv D = 0 |
| | u, V |
| | du |
| | Stetiger Ailschluß von u und |
| | dr |
| | bei r = r o : |
| | AosinKro = B |
| | KoAocosKro = Bo(-k) |
| | -------E KoctgKro = -k |
| | Damit werden die beiden Parameter |
| | (Va' r o ) des Kastenpotentials miteinander |
| | verknüpft, z.B. mögliche |
| | Wertepaare |
| | r o = 1,4 0 10-15 m, 2010-15 m |
| | Va = 50 MeV, 30 MeV |
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| == Deuteron ==
| | [[Datei:8.2.Kastenpotential.Vernbessert.png]] |
| Das Deuteron als einfachstes gebundenes Nukleonensystem mit folgenden Eigenschaften
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| :1) Bindungsenergie <math>n + p \to d + 2,2 MeV</math>
| |
| :2) {{FB|Kernspin}} <math>I = 1</math>, {{FB|magnetisches Kerndipolmoment}} <math>\mu_I = 0,857 ... \mu_K</math> (<math>\mu_I \approx \mu_p + \mu_n = 0,879 ... \mu_K \to I = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} , {}^3S_1</math>-Zustand) elektrisches Quadrupolmoment <math>Q = +2,86 10^{-31} {\rm m^2} = 2,7{\rm mb}</math>, d.h. sehr klein
| |
| :3) es existiert kein angeregter Zustand, außerdem gibt es '''kein''' Diproton oder Dineutron.
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| Reduktion des {{FB|Zweikörperproblem}}s durch Relativkoordinate <math>r = r -r_n</math> und red. Masse <math>\mu = \frac{m_p m_n}{m_p+m_n}\approx \frac{1}{2}m_p</math>
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| Schrödingergleichung <math>\left[ \frac{-\hbar^2}{2\mu} \nabla^2 + V \right] \Psi = E \Psi</math>
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| Problem <math>E = -2,2 MeV</math> bekannt, V unbekannt.
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| Annahme: <math>V = V(r)</math> Zentralpotential.
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| Separationsansatz von Radial- und Winkelteil <math>\Psi_{nlm}=R_{nl}(r) Y_{lm}(\theta, \phi)</math>
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| Radialteil <math>\left[ - \frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{d^2}{dr^2}+V(r) + \frac{l(l+1) \hbar ^2}{2 \mu r^2}\right] \left( r R_{nl} \right) = E_{nl} (rR_{nl})</math> mit <math>\frac{l(l+1) \hbar ^2}{2 \mu r^2}</math> Zentrifugalpotential
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| Zentrifugalpotential abstoßend --> Grundzustand 1 = 0 (wird durch I = 1 und <math>\mu_I \approx \mu_n+\mu_p</math> unterstützt). <math>(rR_{nl} ) = (rR_{l0} )= u</math>
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| Erste (grobe) Annahme von V(r): Kastenpotential (<math>V_0,r_0</math> )
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| [[Datei:8.1.Kastenpotential.png|miniatur|Trennung der Radialgleichung in Innen(I)- und Außen (II)-Bereich]]
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| '''Innen (I):''' <math>r \le r_0 \frac{d^2u}{dr^2}+\frac{2 \mu}{\hbar^2}(E-V_0) u =0</math> , <math>K = \sqrt{\frac{2\mu(E-V_0)}{\hbar^2}}</math>
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| Lösung <math>u = A \sin Kr + C\cos Kr RB: u = A \sin Kr</math> RB: <math>u=0</math> für <math>r \to 0</math> wegen u/r endlich C = 0
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| ----
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| '''Außen (II):''' <math>r \ge r_0 \frac{d^2u}{dr^2}+\frac{2 \mu}{\hbar^2}(E) u =0</math> , <math>k = \sqrt{\frac{2\mu E}{\hbar^2}}=[4,3 10^{-15}m]^{-1}</math>
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| Lösung <math>u = B' e^{-kr} + D e^{kr} = B e^{-k(r-r_0)}</math> RB: u = A \sin Kr</math> RB: <math>u\to0</math> für <math>r \to \infty \to </math> D=0
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| Stetiger Anlschluß von u und <math>\frac{du}{dr}</math> bei <math>r = r_0</math>:
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| :<math>\begin{align}
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| A\sin Kr_0 &= B \\
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| K A \cos Kr_0 &= B (-k)\\
| |
| \to K \operatorname{ctg} K r_0 &= -k
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Damit werden die beiden Parameter (<math>V_0,r_0</math>) des Kastenpotentials miteinander
| |
| verknüpft, z.B. mögliche Wertepaare
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| :<math>\begin{align}
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| r_0 &= 1,4 \times 10^{-15} m, &2 \times 10^{-15} m\\
| |
| V_0 &= 50 MeV, &30 MeV
| |
| \end{align}</math>
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| [[Datei:8.2.Kastenpotential.Vernbessert.png|miniatur]] | |
| | |
| Da für <math>\vec I =\vec \tfrac{1}{2} +\vec \tfrac{1}{2}</math> nur I = 1 existiert, sind die Kernkräfte '''spinabhängig''',
| |
| wobei nur das Triplettpotential bindend ist.
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| Erklärt auch die Nichtexistenz von <math>p^2</math> und <math>n^2</math> durch das Pauli-Prinzip.
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| *Ansatz <math>V =V_1(r) + V_2 (r)(\vec s_1 \vec s_2 ) \quad (\vec s_1 \vec s_2 ) \Rightarrow \frac{1}{2}\left[S(S+1)-\frac{3}{4}-\frac{3}{4}\right]</math>
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| *{{FB|Triplett}} <math>V_T = V_1 (r) +\frac{1}{4}V_2 (r), \quad S = 1</math>
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| *{{FB|Singulett}} <math>V_S = V_1 (r) -\frac{3}{4}V_2 (r), \quad S = 0</math>
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| | Oa f u"" r ~I = l-?, + l-?, nur I = 1 existiert, sind die Kernkräfte soinabhängig, |
| | wobei nur das Triplettpotential bindend ist. Erklärt auch |
| | die Nichtexistenz von p2 und n2 durch das Pauli-Prinzip. |
| | Ailsatz V =V1( r) + v 2 (r)0(s--l+o-s-+2 ) (-5-+1 --+ 1 3 |
| | 05 2 ) :::} 7[S(S+1) 4 |
| | Triplett VT = VI (r) + 4 0 V2 (r) S = 1 |
| | 1 |
| | Singulett Vs = VI (r) - 4 |
| | 3 0 V2 (r) S = 0 |
| Grobe Abschätzung für Singulett-Potential: | | Grobe Abschätzung für Singulett-Potential: |
| | | Falls Vs gerade nicht mehr bindendr,vsinKro ~ 1 senkrecht auf Potentialwand, |
| Falls <math>V_s</math> gerade nicht mehr bindend <math>\to \sin Kr_0 \approx 1</math> senkrecht auf Potentialwand, so daß man keine abnehmende Exponentialfunktion im | | so daß man keine abnehmende Exponentialfunktion im |
| Außenraum anfügen kann. | | Außenraum anfügen kann. |
| | Kro ~ ; bedeutet in Zahlenwerten Ivolor~ ~ 100 |
| | Va [MeV], r o [10-15 m] |
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| <math>Kr_0 \le \frac{\pi}{2}</math> bedeutet in Zahlenwerten <math>|V_0|r_0^2 \lesssim 100,\quad V_0 [MeV], r_0 [10^{-15} m]</math>
| | Die |
| | | Existenz des (sehr kleinen) Quadrupolmoments bedeutet einen |
| | | sehr kleinen Beitrag einer nichtzentralen Kraft, die eine 3D1- zumischung |
| Die Existenz des (sehr kleinen) Quadrupolmoments bedeutet einen sehr kleinen Beitrag einer '''nichtzentralen''' Kraft,
| | ermöglicht. |
| die eine <math>^3D_1</math>-Zumischung ermöglicht. | |
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| == n-p Streuung ==
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| Wirkungsquerschnitt <math>\sigma[m^2]</math>
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| [[Datei:8.3.Wirkungsquerschnitt.png|zentriert|miniatur|hochkant=2|Wikungsquerschnitt für Protonen Neutronen Streuung]]
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| <math>\sigma</math> als "Trefferfläche" , z.B. <math>\sigma(geom.) = \pi R^2 \approx 10^{-29}-10^{-28} m^2 (10^{-28}m^2
| | == b) n-p Streuung == |
| = 1b)</math>. Festkörpertarget <math>N \approx 10^{22}</math> Kerne/cm³, <math>\sigma \approx 10^{28}m^{-3}</math>, Targetlänge | |
| z.B. <math>1 = 10^{-2}m \to \sigma Nl \approx 10^{-3}-10^{- 2}</math> , d.h. "dünnes" Target mit <math>I =I_0 (l-\sigma Nl)</math>.
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| | Wirkungsquerschnitt a[m2 ] |
| | [[Datei:8.3.Wirkungsquerschnitt.png]] |
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| Kinematik: <math>m_p \approx m_n</math>, "Billardproblem" | | aals "Trefferfläche" , z.B. a(geom.) = 1I"R2 R3 10-29_10-28m2 (l0-28m2 |
| | = 1b). Festkörpertarget N R3 1022 Kerne/cm~ö~1028m-3, Targetlänge |
| | z.B. 1 = 10-2m"'aNl R3 10-3_10- 2 , d.h. "dünnes" Target mit I = |
| | I o (l-aNl) . |
| | Kinematik: m "" m", "Billardproblem" p |
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| [[Datei:8.4.Zweikoerperproblem.png|zentriert|miniatur|hochkant=2|Protonen Neutronen Streuung in verschiedenen Bezugssystemen]] | | [[Datei:8.4.Zweikoerperproblem.png]] |
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| <math>2 \to 1</math> Körperproblem: Stoß zweier Teilchen gleicher Masse im CM-System
| | 2 ~ 1 Körperproblem: Stoß zweier Teilchen gleicher Masse im CMSystem |
| ist äquivalent dem Stoß eines Teilchens mit reduzierter Masse <math>\mu = m/2</math> und <math>E = E_{LAB}/2</math> an einem festen Streuzentrum bei | | ist äquivalent dem Stoß eines Teilchens mit reduzierter |
| <math>r=r_p - r_p \approx 0</math>.
| | Masse ~ = m/2 und E = ELAB/2 an einem festen Streuzentrum bei |
| | ~ ~ ~ r:;;:: r - r ~ o. |
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| Quantenmechanische Formulierung des Streuproblems | | Quantenmechanische Formulierung des Streuproblems |
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| [[Datei:8.5.Streuproblem.Quantenemechanische.Formulierung.png|zentriert|miniatur|hochkant=2|Quantenmechanische Formulierung für Protonen Neutronen Streuung]] | | [[Datei:8.5.Streuproblem.Quantenemechanische.Formulierung.png]] |
| | | differentieller Wirkungsquerschnitt da/dn in Raumwinkel dn: |
| | | da Fluß der gestreuten Teilchen in Raumwinkel dn (Detektor) |
| {{FB|differentieller Wirkungsquerschnitt}} <math>d\sigma/d\Omega</math> in Raumwinkel <math>d\Omega</math>:
| | dn Fluß der einlaufenden Teilchen pro Einheitsfläche |
| {{Gln|
| | Fluß der einfallenden Teilchen: leikz l 2 • v |
| :<math>\frac{d\sigma}{dn}=\frac{\text{ Fluss der gestreuten Teilchen in Raumwinkel d}{\Omega}\text{(Detektor)}}{\text{Fluss der einlaufenden Teilchen pro Einheitsflaeche}}</math>|Differentieller Wirklungsquerschnitt}}
| | '- .. J |
| | | 1 Teilchen pro Raumeinheit |
| ;Fluß der einfallenden Teilchen: <math>|e^{ikz}|^2 v</math>, <math>|e^{ikz}|^2 </math> 1 Teilchen pro Raumeinheit
| | e ikr 2 2 Fluß der gestreuten Teilchen in dn: I--r - • f(0) I • r • v ~ |
| ;Fluß der gestreuten Teilchen in <math>d\Omega:|e^{ikr} f(\theta)|^2 r^2 v \to</math>
| | adna = If (0) I 2 Quadrat der Streuamplitude f(0) |
| | | Speziell für isotrope Streuung (f(0) = const.) ist dann der |
| :<math>\frac{d \sigma}{d\Omega} = |f(\theta)|^2</math> Quadrat der Streuamplitude <math>f(\theta)</math>
| | (Gesamt)-Wirkungsquerschnitt a = 411" • If1 2 . |
| | |
| | |
| | |
| Speziell für {{FB|isotrope Streuung}} <math>(f(\sigma) = const.)</math> ist dann der (Gesamt)-{{FB|Wirkungsquerschnitt}} | |
| :<math>\sigma = 4 \pi |f|^2</math> .
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| | | Berechnung des Wirkungsquerschnitts: |
| ===Berechnung des Wirkungsquerschnitts:===
| |
| Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen. | | Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen. |
| | | e ikz = eikrcos0 = 1:: i 1 (21+1) jl(kr)"P1(cos0) |
| :<math>e^{ikz} = e^{ikr\cos\theta} =\sum_1 i^l (2l+1) j_l(kr)P_1(cos\theta)</math>
| | 1 |
| :<math>j_l(kr)</math> sphärische Besselfunktionen
| | jl(kr) sphärische Besselfunktionen |
| | | Sinn: Bei niedrigen Energien (En $ 10 MeV) kann wegen der kurzen |
| Sinn: Bei niedrigen Energien (<math>E_n \le 10 \rm MeV</math>) kann wegen der kurzen | | Reichweite der Kernkräfte nur der 1 = O-Anteil (S-Wellenl gestreut |
| Reichweite der Kernkräfte nur der <math>1 = O</math>-Anteil (S-Wellen) gestreut | | werden. Teilchen mit 1 t 0 kommen bei diesen Energien nicht nahe |
| werden. Teilchen mit <math>1 \neq 0</math> kommen bei diesen Energien nicht nahe | |
| genug heran. | | genug heran. |
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| Quantitativ: | | Quantitativ: |
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| [[Datei:8.6.SWellenAnteil.png|miniatur|zentriert|hochkant=3]] | | [[Datei:8.6.SWellenAnteil.png]] |
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| Wegen <math>k=\sqrt{\frac{2 \mu E}{\hbar^2}}= 0,15\sqrt{\tfrac{1}{2}E_{LAB}[MeV]} 10^{15} m^{- l}</math>
| |
| und <math>r_0= 10^{-15}</math>m ist für <math>E_{LAB}\le MeV</math>
| |
| die Bedingung <math>kr_0 \le 1</math> erfüllt.
| |
| | |
| Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit <math>j_0(kr)</math>:
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| :(S-Wellenanteil) <math>=\frac{\sin kr}{kr}\equiv \frac{e^{ikr}-e^{-ikr}}{2ikr}</math>, <math>e^{ikr}</math> auslaufende Kugelwelle, <math>e^{-ikr}</math> einlaufende Kugelwelle
| |
| | |
| Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials <math>V = V(r)</math> bleiben der
| |
| S-Wellencharakter, der Wellenvektor <math>k</math> und die Teilchenzahl erhalten.
| |
| Deshalb kann es nur eine '''Phasenänderung''' in der '''auslaufenden Kugelwelle''' geben.
| |
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| | Wegen k |
| | = 0,15".J~ELAB[MeV]i"10l5 m- l |
| | und r o -~ 10-15 m ist für E LAB $ MeV |
| | die Bedingung kro $ 1 erfüllt. |
| | 1 2 |
| | Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit jo(kr): |
| | sin kr _ eikr_e-lkr |
| | (S-Wellenanteil) = |
| | kr/ 2ikr""'" |
| | auslaufende einlaufende Kugelwelle |
| | Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials V = Ver) bleiben der |
| | S-Wellencharakter, der Wellenvektor k und die Teilchenzahl erhalten. |
| | Deshalb kann es nur eine Phasenänderung in der auslaufenden |
| | Kugelwelle geben. |
| S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials: | | S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials: |
| :<math>\frac{e^{i (kr+2\delta_0)}- e^{ikr}}{2ikr} \equiv e^{i\delta_0} \frac{\sin(kr+\delta_0)}{kr}</math>
| | e i (kr+20 0 l_e ikr _ iO sin(kr+ool 2ikr = e 0 " kr |
| | | Die Differenz des S-Wellenanteils vor und. nach der Streuung charakterisiert |
| Die Differenz des S-Wellenanteils vor und nach der Streuung charakterisiert | | di~ qestreuten Teilchen, also die gestreute auslaufende |
| die qestreuten Teilchen, also die gestreute auslaufende Kugelwelle <math>\frac{e^{ikr}}{r} f(\theta)</math>:
| | el.kl." |
| :<math>\frac{e^{i(kr+2\delta_{0}}-e^{ikr}}{2ikr}\equiv\frac{e^{i(kr+\delta_{0}})}{r}\frac{\sin\delta_{0}}{k}</math>
| | Kugelwelle --r-- " f(0): |
| | | eiCkr+ |
| Damit gilt für den diff. Wirkungsquerschnitt in Abhängigkeit von der Streuphase <math>\delta_0</math> | | 200 l _eikr sinoo |
| :<math>\frac{d \sigma}{d \Omega} = | f(\theta)|^2= \frac {\sin^2\delta_0}{k^2}</math>
| | - 2ikr " k |
| | | Damit gilt für den diff. Wirkungsquerschnitt in Abhängigkeit von |
| Berechnung der Streuphase mit einem Kastenpotential (<math>V_0,r_0</math>) über | | Berechnung der Streuphase mit einem Kastenpotential (Va' r o ) über |
| die Schrödingergleichung analog zum Deuteronproblem, jedoch <math>E > O</math>. | | die Schrödingergleichung analog zum Deuteronproblem, jedoch E > O. |
| {| class="wikitable center"
| | Innenbereich I Außenbereich 11 |
| |-
| | 2 |
| !Innenbereich I !! Außenbereich II
| | [-~2 |
| |-
| | - |
| | <math>\left[\frac{h^2}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2}+V_0\right] u = E u</math> || <math>\left[\frac{h^2}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2}+0\right] u = E u</math>
| | d2 |
| |-
| | + V ] U = E " u [_h ~ + 0] U = E • u |
| | <math>u=A_1 \sin Kr</math> || <math>u=A_1 \sin( kr+\delta_0)</math>
| | 2p. dr2 0 2p. dr2 |
| |-
| | u = Al • sinKr u = A2 " sin(kr+oo ) |
| | <math>K=\sqrt\frac{2\mu(E-V_0)}{\hbar^2}</math> || <math>k=\sqrt\frac{2\mu(E)}{\hbar^2}</math> (siehe <math>e^{i\delta_0}\frac{\sin(kr+\delta_0)}{kr}</math> und <math>\Psi \sim \frac{u}{r}</math>
| | K = ,; 2fL(E-VQ)' (siehe eiOo"sin(~~+Og) und W ~ u |
| |}
| | ofi2 r |
| | | k =j~i |
| Stetige Anpassung für <math>u</math> und <math>du/dr</math> bei <math>r = r_0</math> ergibt | | 112 |
| :<math>\begin{align}
| | Stetige Anpassung für u und du/dr bei r = r o ergibt |
| A_1 \sin Kr_0 &= A_2 \sin (k r_0 +\delta_0) &=A_2 k (r_0-a)\\
| | Al sin Kro = A2 " sin (kro+o o ) = A2k(ro-a) |
| K A_1 \cos Kr_0 &= k A_2 \cos (k r_0 +\delta_0) &=A_2 k\\[0.5em] | | K • Al cos Kro = k • A2 " cos (kro+oo ) = A2k |
| K \cot Kr_0 &= \cot (k r_0 +\delta_0) &= \underbrace{(r_0-a)^{-1}}_{k \ll K}\\
| | k " K |
| \end{align}</math>
| | . Im niederenergetischen Bereich mit k " K kann man die Sinusfunktion |
| | |
| Im niederenergetischen Bereich mit <math>k \ll K</math> kann man die Sinusfunktion | |
| im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen | | im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen |
| :<math>u \simeq A_2 (kr+\delta_0) = A_2 k(r-a)</math> mit <math>\delta_0 = -ka</math>.
| | u ~ A2 (kr+o o ) = A2k(r-a) mit 00 = -ka. |
| | | Die sogenannte Streulänge a ist der Schnittpunkt dieser Geraden |
| Die sogenannte {{FB|Streulänge}} <math>a</math> ist der Schnittpunkt dieser Geraden mit der r-Achse. Je nachdem (<math>V_0,r_0</math>) für <math>E \approx 0</math> bindend oder nichtbindend ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die | | mit der r-Achse. Je nachdem (Va' r o ) für E ~ 0 bindend oder nichtbindend |
| Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch (<math>V_T</math>) oder | | ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die |
| gerade nicht mehr bindend (<math>V_S</math>) ist. | | Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch (VT) oder |
| | | gerade nicht mehr bindend (Vs ) ist. |
| | | - 29 eiCkr+ |
| [[Datei:8.7.Wirkungsquerschnitt.Kasten.QM.png|miniatur|zentriert|hochkant=2|Wellefunktion fürStreulänge für Singulett, Triplett etc]] | | 200 l _eikr sinoo |
| | | - 2ikr " k |
| Wirkungsquerschnitt <math>\sigma = 4\pi|f(\theta)|^2 = 4\pi \frac{\sin^2 \delta_0 }{k^2} = 4 \pi a^2</math>
| | Damit gilt für den diff. Wirkungsquerschnitt in Abhängigkeit von |
| unabhängig von E für den Bereich <math>k \le K</math> mit <math>\delta_0 = -ka</math> und <math>a =
| | der |
| r_ 0-\frac{1}{K} tg Kr_0 </math>. In der Streu1änge a sind wieder die beiden Parameter
| | [[Datei:8.7.Wirkungsquerschnitt.Kasten.QM.png]] |
| des Kastenpotentials (<math>V_0, r_0</math>) miteinander verknüpft.
| |
| | |
|
| |
|
| | Wirkungsquerschnitt a = 4~lf(0)12 = 4~.sln Q = 4~a2 |
| | unabhängig von E für den Bereich k ({ K mi~2" = -ka und a = |
| | 1 0 |
| | r o - K tgKro ' In der Streu1änge a sind wieder die beiden Parameter |
| | des Kastenpotentials (Vo ' r o) miteinander verknüpft. |
| Experimentell: | | Experimentell: |
|
| |
|
| [[Datei:8.8.Wirkungsquerschnitt.Experimentell.png|miniatur|zentriert|hochkant=2|Totaler Wirkungsquerschnitt als Funktion der Neutronenenergie]] | | [[Datei:8.8.Wirkungsquerschnitt.Experimentell.png]] |
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| Grobe Abschätzung aus {{FB|Deuteronproblem}} ergibt für das {{FB|Triplettpotential}}
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| :<math>a_T = 5,7\times 10^{-15}m</math> und damit <math>\sigma_T \approx 4,5\times 10^{-28}m^2</math>.
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| Damit erhält man aus <math>\sigma \approx 20\times 10^{-28}m^2</math> für <math>\sigma_S \approx 68 \times 10^{-28}m^ 2</math> und | | Grobe Abschätzung aus Deuteronproblem ergibt für das Triplettpotential |
| :<math>|a_S| = 23\times 10^{- 28}m^2</math>. Das negative Vorzeichen <math>a_S < 0</math> folgt aus Messungen der kohärenten
| | a T = 5,7.10-1Sm und damit aT ~ 4,5.10-28m2 . Damit erhält man |
| | aus a ~ 20.10-28m2 für a s ~ 68.l0-28m2 und lasl = 23.l0- 28m2 . Das |
| | negative Vorzeichen a s < 0 folgt aus Messungen der kohärenten |
| Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül. | | Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül. |
| | | Während der Bereich bis ca. 104 eV vom Si~ulett-Potential beherrscht |
| | | wird, tritt für den Bereich 104 - 107 eV immer mehr das |
| Während der Bereich bis ca. | | Triplett-Potential in den Vordergrund. Ab 107 eV müssen verstärkt |
| :<math>10^4</math> eV vom '''Singulett-Potential''' beherrscht wird, tritt für den Bereich
| | höhere B'ahndrehimpulsanteile berücksichtigt werden. |
| :<math>10^4 - 10^7</math> eV immer mehr das '''Triplett-Potential''' in den Vordergrund. Ab
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| :<math>10^7</math> eV müssen verstärkt '''höhere Bahndrehimpulsanteile''' berücksichtigt werden.
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| Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik | | Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik |
| versucht man die Kernkräfte durch {{FB|Mesonen-Austauschprozesse}} zu beschreiben. Dabei wird der "langreichweitige" | | versucht man die Kernkräfte durch Mesonen-Austauschprozesse |
| Teil durch {{FB|Ein-Pion-Austauschprozess}}e (Yukawa-Ansatz 1935) und der Bereich mittlerer Reichweite durch {{FB|Zwei-Pion-Austauschprozess}}e beschrieben. | | zu beschreiben. Dabei wird der "langreichweitige" |
| | | Teil durch Ein-Pion-Austauschprozesse (Yukawa-Ansatz 1935) und der |
| Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden Anteil (''hard core'') muß durch den Austausch mehrerer Mesonen behandelt | | Bereich mittlerer Reichweite durch Zwei-Pion-Austauschprozesse beschrieben. |
| werden. Dabei spielen nicht nur die <math>\omega</math>-Mesonen, sondern schwere | | Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden |
| Mesonen (z.B. das <math>\omega</math>-Meson mit <math>mc^2 = 783 MeV</math>) wegen ihrer | | Anteil (hard core) muß durch den Austausch mehrerer Mesonen behandelt |
| '''kleinen Compton-Wellenlänge''' eine besondere Rolle. Da Nukleonen und
| | werden. Dabei spielen nicht nur die ~-Mesonen, sondern schwere |
| Mesonen ihrerseits aus {{FB|Quarks}} zusammengesetzt sind, die von {{FB|Gluonen}} zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der | | Mesonen (z.B. das w-Meson mit mc 2 = 783 MeV) wegen ihrer |
| | kleinen Compton-Wellenlänge eine besondere Rolle. Da Nukleonen und |
| | Mesonen ihrerseits aus Quarks zusammengesetzt sind, die von |
| | Gluonen zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der |
| Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen. | | Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen. |
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| ==Ergänzende Informationen==
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| (gehört nicht zum Skript)
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| ===Prüfungsfragen===
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| *Was ist das besondere der starken und schwachen WW? -> sehr kurze Reichweite
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| * Analogie QCD -> \pi , QED -> \gamma (Quarks als Grundbaustein der Hadronen mit Gluonen als Austauschteilehen und Pionen als Austauschteilehen der Hadronen im Atomkern (Yukawa Potential), nur erwähnt, Quarks und Leptonen (speziell Elektronen) sind Punkteilchen)
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