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| <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=8|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> | | <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=8|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> |
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| Wegen <math>B/A \approx const \to</math> Kräfte immer nur zwischen zwei Nukleonen. Einfachste
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| Modellsysteme:
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| *a) das Deuteron und
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| *b) n-p Streuung
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| == Deuteron ==
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| Das Deuteron als einfachstes gebundenes Nukleonensystem mit folgenden Eigenschaften
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| :1) Bindungsenergie <math>n + p \to d + 2,2 MeV</math>
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| :2) {{FB|Kernspin}} <math>I = 1</math>, {{FB|magnetisches Kerndipolmoment}} <math>\mu_I = 0,857 ... \mu_K</math> (<math>\mu_I \approx \mu_p + \mu_n = 0,879 ... \mu_K \to I = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} , {}^3S_1</math>-Zustand) elektrisches Quadrupolmoment <math>Q = +2,86 10^{-31} {\rm m^2} = 2,7{\rm mb}</math>, d.h. sehr klein
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| :3) es existiert kein angeregter Zustand, außerdem gibt es '''kein''' Diproton oder Dineutron.
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| Reduktion des {{FB|Zweikörperproblem}}s durch Relativkoordinate <math>r = r -r_n</math> und red. Masse <math>\mu = \frac{m_p m_n}{m_p+m_n}\approx \frac{1}{2}m_p</math>
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| Schrödingergleichung <math>\left[ \frac{-\hbar^2}{2\mu} \nabla^2 + V \right] \Psi = E \Psi</math>
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| Problem <math>E = -2,2 MeV</math> bekannt, V unbekannt.
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| Annahme: <math>V = V(r)</math> Zentralpotential.
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| Separationsansatz von Radial- und Winkelteil <math>\Psi_{nlm}=R_{nl}(r) Y_{lm}(\theta, \phi)</math>
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| Radialteil <math>\left[ - \frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{d^2}{dr^2}+V(r) + \frac{l(l+1) \hbar ^2}{2 \mu r^2}\right] \left( r R_{nl} \right) = E_{nl} (rR_{nl})</math> mit <math>\frac{l(l+1) \hbar ^2}{2 \mu r^2}</math> Zentrifugalpotential
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| Zentrifugalpotential abstoßend --> Grundzustand 1 = 0 (wird durch I = 1 und <math>\mu_I \approx \mu_n+\mu_p</math> unterstützt). <math>(rR_{nl} ) = (rR_{l0} )= u</math>
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| Erste (grobe) Annahme von V(r): Kastenpotential (<math>V_0,r_0</math> )
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| [[Datei:8.1.Kastenpotential.png|miniatur|Trennung der Radialgleichung in Innen(I)- und Außen (II)-Bereich]]
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| '''Innen (I):''' <math>r \le r_0 \frac{d^2u}{dr^2}+\frac{2 \mu}{\hbar^2}(E-V_0) u =0</math> , <math>K = \sqrt{\frac{2\mu(E-V_0)}{\hbar^2}}</math>
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| Lösung <math>u = A \sin Kr + C\cos Kr RB: u = A \sin Kr</math> RB: <math>u=0</math> für <math>r \to 0</math> wegen u/r endlich C = 0
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| '''Außen (II):''' <math>r \ge r_0 \frac{d^2u}{dr^2}+\frac{2 \mu}{\hbar^2}(E) u =0</math> , <math>k = \sqrt{\frac{2\mu E}{\hbar^2}}=[4,3 10^{-15}m]^{-1}</math>
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| Lösung <math>u = B' e^{-kr} + D e^{kr} = B e^{-k(r-r_0)}</math> RB: u = A \sin Kr</math> RB: <math>u\to0</math> für <math>r \to \infty \to </math> D=0
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| Stetiger Anlschluß von u und <math>\frac{du}{dr}</math> bei <math>r = r_0</math>:
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| :<math>\begin{align}
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| A\sin Kr_0 &= B \\
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| K A \cos Kr_0 &= B (-k)\\
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| \to K \operatorname{ctg} K r_0 &= -k
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| \end{align}</math>
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| Damit werden die beiden Parameter (<math>V_0,r_0</math>) des Kastenpotentials miteinander
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| verknüpft, z.B. mögliche Wertepaare
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| :<math>\begin{align}
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| r_0 &= 1,4 \times 10^{-15} m, &2 \times 10^{-15} m\\
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| V_0 &= 50 MeV, &30 MeV
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| \end{align}</math>
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| [[Datei:8.2.Kastenpotential.Vernbessert.png|miniatur]]
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| Da für <math>\vec I =\vec \tfrac{1}{2} +\vec \tfrac{1}{2}</math> nur I = 1 existiert, sind die Kernkräfte '''spinabhängig''',
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| wobei nur das Triplettpotential bindend ist.
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| Erklärt auch die Nichtexistenz von <math>p^2</math> und <math>n^2</math> durch das Pauli-Prinzip.
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| *Ansatz <math>V =V_1(r) + V_2 (r)(\vec s_1 \vec s_2 ) \quad (\vec s_1 \vec s_2 ) \Rightarrow \frac{1}{2}\left[S(S+1)-\frac{3}{4}-\frac{3}{4}\right]</math>
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| *{{FB|Triplett}} <math>V_T = V_1 (r) +\frac{1}{4}V_2 (r), \quad S = 1</math>
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| *{{FB|Singulett}} <math>V_S = V_1 (r) -\frac{3}{4}V_2 (r), \quad S = 0</math>
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| Grobe Abschätzung für Singulett-Potential:
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| Falls <math>V_s</math> gerade nicht mehr bindend <math>\to \sin Kr_0 \approx 1</math> senkrecht auf Potentialwand, so daß man keine abnehmende Exponentialfunktion im
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| Außenraum anfügen kann.
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| <math>Kr_0 \le \frac{\pi}{2}</math> bedeutet in Zahlenwerten <math>|V_0|r_0^2 \lesssim 100,\quad V_0 [MeV], r_0 [10^{-15} m]</math>
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| Die Existenz des (sehr kleinen) Quadrupolmoments bedeutet einen sehr kleinen Beitrag einer '''nichtzentralen''' Kraft,
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| die eine <math>^3D_1</math>-Zumischung ermöglicht.
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| == n-p Streuung ==
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| Wirkungsquerschnitt <math>\sigma[m^2]</math>
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| [[Datei:8.3.Wirkungsquerschnitt.png|zentriert|miniatur|hochkant=2|Wikungsquerschnitt für Protonen Neutronen Streuung]]
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| <math>\sigma</math> als "Trefferfläche" , z.B. <math>\sigma(geom.) = \pi R^2 \approx 10^{-29}-10^{-28} m^2 (10^{-28}m^2
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| = 1b)</math>. Festkörpertarget <math>N \approx 10^{22}</math> Kerne/cm³, <math>\sigma \approx 10^{28}m^{-3}</math>, Targetlänge
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| z.B. <math>1 = 10^{-2}m \to \sigma Nl \approx 10^{-3}-10^{- 2}</math> , d.h. "dünnes" Target mit <math>I =I_0 (l-\sigma Nl)</math>.
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| Kinematik: <math>m_p \approx m_n</math>, "Billardproblem"
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| [[Datei:8.4.Zweikoerperproblem.png|zentriert|miniatur|hochkant=2|Protonen Neutronen Streuung in verschiedenen Bezugssystemen]]
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| <math>2 \to 1</math> Körperproblem: Stoß zweier Teilchen gleicher Masse im CM-System
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| ist äquivalent dem Stoß eines Teilchens mit reduzierter Masse <math>\mu = m/2</math> und <math>E = E_{LAB}/2</math> an einem festen Streuzentrum bei
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| <math>r=r_p - r_p \approx 0</math>.
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| Quantenmechanische Formulierung des Streuproblems
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| [[Datei:8.5.Streuproblem.Quantenemechanische.Formulierung.png|zentriert|miniatur|hochkant=2|Quantenmechanische Formulierung für Protonen Neutronen Streuung]]
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| {{FB|differentieller Wirkungsquerschnitt}} <math>d\sigma/d\Omega</math> in Raumwinkel <math>d\Omega</math>:
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| {{Gln|
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| :<math>\frac{d\sigma}{dn}=\frac{\text{ Fluss der gestreuten Teilchen in Raumwinkel d}{\Omega}\text{(Detektor)}}{\text{Fluss der einlaufenden Teilchen pro Einheitsflaeche}}</math>|Differentieller Wirklungsquerschnitt}}
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| ;Fluß der einfallenden Teilchen: <math>|e^{ikz}|^2 v</math>, <math>|e^{ikz}|^2 </math> 1 Teilchen pro Raumeinheit
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| ;Fluß der gestreuten Teilchen in <math>d\Omega:|e^{ikr} f(\theta)|^2 r^2 v \to</math>
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| :<math>\frac{d \sigma}{d\Omega} = |f(\theta)|^2</math> Quadrat der Streuamplitude <math>f(\theta)</math>
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| Speziell für {{FB|isotrope Streuung}} <math>(f(\sigma) = const.)</math> ist dann der (Gesamt)-{{FB|Wirkungsquerschnitt}}
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| :<math>\sigma = 4 \pi |f|^2</math> .
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| ===Berechnung des Wirkungsquerschnitts:===
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| Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen.
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| :<math>e^{ikz} = e^{ikr\cos\theta} =\sum_1 i^l (2l+1) j_l(kr)P_1(cos\theta)</math>
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| :<math>j_l(kr)</math> sphärische Besselfunktionen
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| Sinn: Bei niedrigen Energien (<math>E_n \le 10 \rm MeV</math>) kann wegen der kurzen
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| Reichweite der Kernkräfte nur der <math>1 = O</math>-Anteil (S-Wellen) gestreut
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| werden. Teilchen mit <math>1 \neq 0</math> kommen bei diesen Energien nicht nahe
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| genug heran.
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| Quantitativ:
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| [[Datei:8.6.SWellenAnteil.png|miniatur|zentriert|hochkant=3]]
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| Wegen <math>k=\sqrt{\frac{2 \mu E}{\hbar^2}}= 0,15\sqrt{\tfrac{1}{2}E_{LAB}[MeV]} 10^{15} m^{- l}</math>
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| und <math>r_0= 10^{-15}</math>m ist für <math>E_{LAB}\le MeV</math>
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| die Bedingung <math>kr_0 \le 1</math> erfüllt.
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| Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit <math>j_0(kr)</math>:
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| :(S-Wellenanteil) <math>=\frac{\sin kr}{kr}\equiv \frac{e^{ikr}-e^{-ikr}}{2ikr}</math>, <math>e^{ikr}</math> auslaufende Kugelwelle, <math>e^{-ikr}</math> einlaufende Kugelwelle
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| Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials <math>V = V(r)</math> bleiben der
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| S-Wellencharakter, der Wellenvektor <math>k</math> und die Teilchenzahl erhalten.
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| Deshalb kann es nur eine '''Phasenänderung''' in der '''auslaufenden Kugelwelle''' geben.
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| S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials:
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| :<math>\frac{e^{i (kr+2\delta_0)}- e^{ikr}}{2ikr} \equiv e^{i\delta_0} \frac{\sin(kr+\delta_0)}{kr}</math>
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| Die Differenz des S-Wellenanteils vor und nach der Streuung charakterisiert
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| die qestreuten Teilchen, also die gestreute auslaufende Kugelwelle <math>\frac{e^{ikr}}{r} f(\theta)</math>:
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| :<math>\frac{e^{i(kr+2\delta_{0}}-e^{ikr}}{2ikr}\equiv\frac{e^{i(kr+\delta_{0}})}{r}\frac{\sin\delta_{0}}{k}</math>
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| Damit gilt für den diff. Wirkungsquerschnitt in Abhängigkeit von der Streuphase <math>\delta_0</math>
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| :<math>\frac{d \sigma}{d \Omega} = | f(\theta)|^2= \frac {\sin^2\delta_0}{k^2}</math>
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| Berechnung der Streuphase mit einem Kastenpotential (<math>V_0,r_0</math>) über
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| die Schrödingergleichung analog zum Deuteronproblem, jedoch <math>E > O</math>.
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| {| class="wikitable center"
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| |-
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| !Innenbereich I !! Außenbereich II
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| |-
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| | <math>\left[\frac{h^2}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2}+V_0\right] u = E u</math> || <math>\left[\frac{h^2}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2}+0\right] u = E u</math>
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| |-
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| | <math>u=A_1 \sin Kr</math> || <math>u=A_1 \sin( kr+\delta_0)</math>
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| |-
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| | <math>K=\sqrt\frac{2\mu(E-V_0)}{\hbar^2}</math> || <math>k=\sqrt\frac{2\mu(E)}{\hbar^2}</math> (siehe <math>e^{i\delta_0}\frac{\sin(kr+\delta_0)}{kr}</math> und <math>\Psi \sim \frac{u}{r}</math>
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| |}
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| Stetige Anpassung für <math>u</math> und <math>du/dr</math> bei <math>r = r_0</math> ergibt
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| :<math>\begin{align}
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| A_1 \sin Kr_0 &= A_2 \sin (k r_0 +\delta_0) &=A_2 k (r_0-a)\\
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| K A_1 \cos Kr_0 &= k A_2 \cos (k r_0 +\delta_0) &=A_2 k\\[0.5em]
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| K \cot Kr_0 &= \cot (k r_0 +\delta_0) &= \underbrace{(r_0-a)^{-1}}_{k \ll K}\\
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| \end{align}</math>
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| Im niederenergetischen Bereich mit <math>k \ll K</math> kann man die Sinusfunktion
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| im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen
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| :<math>u \simeq A_2 (kr+\delta_0) = A_2 k(r-a)</math> mit <math>\delta_0 = -ka</math>.
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| Die sogenannte {{FB|Streulänge}} <math>a</math> ist der Schnittpunkt dieser Geraden mit der r-Achse. Je nachdem (<math>V_0,r_0</math>) für <math>E \approx 0</math> bindend oder nichtbindend ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die
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| Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch (<math>V_T</math>) oder
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| gerade nicht mehr bindend (<math>V_S</math>) ist.
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| [[Datei:8.7.Wirkungsquerschnitt.Kasten.QM.png|miniatur|zentriert|hochkant=2|Wellefunktion fürStreulänge für Singulett, Triplett etc]]
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| Wirkungsquerschnitt <math>\sigma = 4\pi|f(\theta)|^2 = 4\pi \frac{\sin^2 \delta_0 }{k^2} = 4 \pi a^2</math>
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| unabhängig von E für den Bereich <math>k \le K</math> mit <math>\delta_0 = -ka</math> und <math>a =
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| r_ 0-\frac{1}{K} tg Kr_0 </math>. In der Streu1änge a sind wieder die beiden Parameter
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| des Kastenpotentials (<math>V_0, r_0</math>) miteinander verknüpft.
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| Experimentell:
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| [[Datei:8.8.Wirkungsquerschnitt.Experimentell.png|miniatur|zentriert|hochkant=2|Totaler Wirkungsquerschnitt als Funktion der Neutronenenergie]]
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| Grobe Abschätzung aus {{FB|Deuteronproblem}} ergibt für das {{FB|Triplettpotential}}
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| :<math>a_T = 5,7\times 10^{-15}m</math> und damit <math>\sigma_T \approx 4,5\times 10^{-28}m^2</math>.
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| Damit erhält man aus <math>\sigma \approx 20\times 10^{-28}m^2</math> für <math>\sigma_S \approx 68 \times 10^{-28}m^ 2</math> und
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| :<math>|a_S| = 23\times 10^{- 28}m^2</math>. Das negative Vorzeichen <math>a_S < 0</math> folgt aus Messungen der kohärenten
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| Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül.
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| Während der Bereich bis ca.
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| :<math>10^4</math> eV vom '''Singulett-Potential''' beherrscht wird, tritt für den Bereich
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| :<math>10^4 - 10^7</math> eV immer mehr das '''Triplett-Potential''' in den Vordergrund. Ab
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| :<math>10^7</math> eV müssen verstärkt '''höhere Bahndrehimpulsanteile''' berücksichtigt werden.
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| Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik
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| versucht man die Kernkräfte durch {{FB|Mesonen-Austauschprozesse}} zu beschreiben. Dabei wird der "langreichweitige"
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| Teil durch {{FB|Ein-Pion-Austauschprozess}}e (Yukawa-Ansatz 1935) und der Bereich mittlerer Reichweite durch {{FB|Zwei-Pion-Austauschprozess}}e beschrieben.
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| Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden Anteil (''hard core'') muß durch den Austausch mehrerer Mesonen behandelt
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| werden. Dabei spielen nicht nur die <math>\omega</math>-Mesonen, sondern schwere
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| Mesonen (z.B. das <math>\omega</math>-Meson mit <math>mc^2 = 783 MeV</math>) wegen ihrer
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| '''kleinen Compton-Wellenlänge''' eine besondere Rolle. Da Nukleonen und
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| Mesonen ihrerseits aus {{FB|Quarks}} zusammengesetzt sind, die von {{FB|Gluonen}} zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der
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| Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen.
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| ==Ergänzende Informationen==
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| (gehört nicht zum Skript)
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| ===Prüfungsfragen===
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| *Was ist das besondere der starken und schwachen WW? -> sehr kurze Reichweite
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| * Analogie QCD -> \pi , QED -> \gamma (Quarks als Grundbaustein der Hadronen mit Gluonen als Austauschteilehen und Pionen als Austauschteilehen der Hadronen im Atomkern (Yukawa Potential), nur erwähnt, Quarks und Leptonen (speziell Elektronen) sind Punkteilchen)
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