Editing Kerndrehimpulse und elektromagnetische Kernmomente
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Der {{FB|Kerndrehimpuls}} I setzt sich aus den {{FB|Bahndrehimpuls}}en <math> | Der {{FB|Kerndrehimpuls}} I setzt sich aus den {{FB|Bahndrehimpuls}}en <math>1_i</math> und | ||
Spins <math>s_i</math> der elnzelnen Nukleonen zusammen. <math>I = \sum l_i + s_i</math>. Bahndrehimpulse | |||
<math>1_i</math> als Erhaltungsgrößen setzen ein Zentralpotential <math>V = V(r)</math> voraus, in dem sich die Nukleonen praktisch frei und ohne | |||
Bahndrehimpulse | |||
<math> | |||
Stöße im Kerninneren bewegen. Diese Einteilchenvorstellung, welche die Basis des Schalenmodells (Kap. 7) ist, hat ihre Begründung darin, | Stöße im Kerninneren bewegen. Diese Einteilchenvorstellung, welche die Basis des Schalenmodells (Kap. 7) ist, hat ihre Begründung darin, | ||
daß die Nukleonen als | daß die Nukleonen als Fermionen im Grundzustand alle nach dem Pauli-Prinzip erlaubten Zustände besetzen, so daß es keine "Stöße" | ||
gibt und die Nukleonen quasi als freie Teilchen auftreten. | gibt und die Nukleonen quasi als freie Teilchen auftreten. | ||
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[[Datei:Drehimpuls-z16.png|miniatur|'Vektor'-Modell]] | [[Datei:Drehimpuls-z16.png|miniatur|'Vektor'-Modell]] | ||
Operatorenzuordnung <math>p \to \frac{\hbar}{i} \nabla</math>, Separation der Wellenfunktionen <math>\psi_{nlm}(r)=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\phi)</math> | Operatorenzuordnung <math>p \to \frac{\hbar}{i} \nabla</math>, Separation der Wellenfunktionen <math>\psi_{nlm}(r)=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\phi)</math> | ||
in Radial- und Winkelteil. Die sphärischen Kugelfunktionen <math>Y_{lm}(\theta,\phi)</math> sind die Eigenfunktionen von <math>l^2</math> und <math>l_z</math> mit den Eigenwerten <math> | in Radial- und Winkelteil. Die sphärischen Kugelfunktionen <math>Y_{lm}(\theta,\phi)</math> sind die Eigenfunktionen von <math>l^2</math> und <math>l_z</math> mit den Eigenwerten <math>1(1+1)\hbar^2</math> und <math>m\hbar</math>. | ||
1 = 0, 1, 2, 3, 4, ... | |||
s, p, d, f, g spektr. Bezeichnung | s, p, d, f, g spektr. Bezeichnung | ||
<math>l^2 Y_{lm}(\theta,\phi) = ( | <math>l^2 Y_{lm}(\theta,\phi) = (1+1)\hbar^2 Y_{lm}(\theta,\phi)</math> | ||
m = -l, ... 0, ... +l | |||
<math>\to 2l+1</math> Einstellmöglichkeiten | |||
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==Spin== | ==Spin== | ||
[[Datei:Spin-17.png|miniatur|Spin-Darstellung]] | [[Datei:Spin-17.png|miniatur|Spin-Darstellung]] | ||
Spin <math> | Spin <math>s ,s =\dfrac{1}{2}</math> | ||
Ergebnis der relat. Quantenmechanik ({{FB|Diractheorie}}). | Ergebnis der relat. Quantenmechanik ({{FB|Diractheorie}}). Halbzahlige Spin-Teilchen (z.B. n, p, e, ... ) sind Fermionen, deren Wellenfunktionen bei Teilchentausch sich anti symmetrisch verhalten ({{FB|Pauli-Prinzip}}). | ||
Im Gegensatz dazu sind | Im Gegensatz dazu sind ganzteilige Spin-Teilchen (einschließlich s = 0) Bosonen, | ||
(z.B. d, <math>\alpha</math>, Photonen, Pionen) mit bei Teilchentausch symmetrischen | (z.B. d, <math>\alpha</math>, Photonen, Pionen) mit bei Teilchentausch symmetrischen | ||
Wellenfunktionen. Unterschiedliche Statistik. | Wellenfunktionen. Unterschiedliche Statistik. | ||
| Line 47: | Line 44: | ||
Bei mehreren Nukleonen gibt es verschiedene Kopplungsmöglichkeiten, | Bei mehreren Nukleonen gibt es verschiedene Kopplungsmöglichkeiten, | ||
wie beispielsweise in der Atomphysik die | wie beispielsweise in der Atomphysik die {{FB|LS-Kopplung}} mit | ||
<math> \vec L = \sum \vec l_i, \quad \vec S= \sum \vec s_i, \quad \vec L+ \vec S= \vec I</math> oder die {{FB|jj-Kopplung}} mit | |||
<math> \vec l_i+ \vec s_i= \vec j_i, \quad \sum \vec j = \vec I</math>. | |||
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Neigung der Protonen und Neutronen, sich jeweils paarweise durch "Antiparallelstellung" der Einzeldrehimpulse mit <math>\vec j_{p_i}+ \vec j_{p_k} = 0</math> bzw. <math> \vec j_{n_i}+ \vec j_{n_k} = 0</math> zu kompensieren. | Neigung der Protonen und Neutronen, sich jeweils paarweise durch "Antiparallelstellung" der Einzeldrehimpulse mit <math>\vec j_{p_i}+ \vec j_{p_k} = 0</math> bzw. <math> \vec j_{n_i}+ \vec j_{n_k} = 0</math> zu kompensieren. | ||
Folgerung für (u, g)- und (g, u)-Kerne | Folgerung für (u, g)- und (g, u)-Kerne | ||
<math> \vec I(u, g) = \vec I(g,g-\textrm{Rumpf}) + \vec j_P \to \vec I(u, g) = \vec j_p</math> | <math> \vec I(u, g) = \vec I(g,g-\textrm{Rumpf}) + \vec j_P \to \vec I(u, g) = \vec j_p</math> | ||
d. h. | d. h. 1(u, g) = Einzeldrehimpuls <math> \vec j_p</math> des letzten ungepaarten Protons | ||
Entsprechend <math>1(g, u) = j_n</math> Einzeldrehimpuls des letzten ungepaarten | Entsprechend <math>1(g, u) = j_n</math> Einzeldrehimpuls des letzten ungepaarten | ||
Neutrons. | Neutrons. | ||
| Line 72: | Line 71: | ||
Mit dem Bahndrehimpuls und Spin der Nukleonen sind magnetische Dipolmomente verbunden. | Mit dem Bahndrehimpuls und Spin der Nukleonen sind magnetische Dipolmomente verbunden. | ||
=== Bahn === | === Bahn === | ||
[[Datei:BahnDrehmoment19.png | [[Datei:BahnDrehmoment19.png]] | ||
magn. Dipolmoment = | a) Bahn~ | ||
~ magn. Dipolmoment = c^{-1} Strome Fläche | |||
;Bohrsches Magneton: <math>m=m_0</math> Elektron <math>\frac{e \hbar}{2m_0 c}=\mu_b=0 | <math>\mu_l=\frac{e\hbar}{2mc}l=\frac{1}{c}\frac{e v}{2 \pi r} \pi r^2</math> with <math>\hbar l = mrv</math> | ||
;Kernmagneton:<math>m = m_p</math> Proton <math>\frac{e\hbar}{ | ;Bohrsches Magneton: <math>m=m_0</math> Elektron <math>\frac{e \hbar}{2m_0 c}=\mu_b=0.927\times 10^{-23} J/T</math> | ||
;Kernmagneton:<math>m = m_p</math> Proton <math>\frac{e\hbar}{2m_e c} = \mu_K = 0.505\times10^{-26} J/T</math> | |||
=== Spin=== | === Spin=== | ||
b) Spin | |||
Für <math>s = \tfrac{1}{2}</math>-Teilchen erwartet man in Analogie zum Bahnbeitrag | Für <math>s = \tfrac{1}{2}</math>-Teilchen erwartet man in Analogie zum Bahnbeitrag | ||
:<math>\mu_s=\frac{e\hbar}{2 m c} s , s=\dfrac{1}{2}</math> | :<math>\mu_s=\frac{e\hbar}{2 m c} s , s=\dfrac{1}{2}</math> Falsch! | ||
Experimentell gilt allgemein | Experimentell gilt allgemein | ||
:<math>\mu_s=g \frac{e\hbar}{2 m c} s</math> | :<math>\mu_s=g \frac{e\hbar}{2 m c} s</math> g-Faktor | ||
Dabei ist für das Elektron <math>g = -2</math> nach der Diractheorie bis auf | Dabei ist für das Elektron <math>g = -2</math> nach der Diractheorie bis auf | ||
kleinere quantenelektrodynamische Korrekturen bestätigt. Für Proton | kleinere quantenelektrodynamische Korrekturen bestätigt. Für Proton | ||
und Neutron erwartet man deshalb <math>g_p = 2</math> und <math>g_n = 0</math> (wegen fehlender Ladung). | und Neutron erwartet man deshalb <math>g_p = 2</math> und <math>g_n = 0</math> (wegen fehlender | ||
Die gemessenen Werte | Ladung). Die gemessenen Werte <math>g_p = 5,586</math> und <math>g_n = -3,826</math> jedoch, daß die Nukleonen keine einfachen "Punkt-Teilchen" zeigen | ||
sind. | |||
Die magnetischen Kerndipolmomente <math>\mu_I</math> für (g, u)- und (u,g)-Kerne lassen sich (zumindest für leichte Kerne) näherungsweise auf den des letzten ungepaarten Nukleons zurückführen (Schmidt-Modell). | Die magnetischen Kerndipolmomente <math>\mu_I</math> für (g, u)- und (u,g)-Kerne lassen sich (zumindest für leichte Kerne) näherungsweise auf den des letzten ungepaarten Nukleons zurückführen (Schmidt-Modell). | ||
==Elektrisches Kernquadrupolmoment Q== | ==Elektrisches Kernquadrupolmoment Q== | ||
| Line 101: | Line 100: | ||
Q gibt Abweichung von der Kugelgestalt wieder | Q gibt Abweichung von der Kugelgestalt wieder | ||
Potential | Potential \phi für p im Außenraum <math>\Delta \phi = 0</math> | ||
:<math>\phi(r,\theta) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \frac{1}{r^{n+1}} P_n(\cos \theta)</math> | :<math>\phi(r,\theta) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \frac{1}{r^{n+1}} P_n(\cos \theta)</math> | ||
| Line 107: | Line 106: | ||
:<math>P_1 = cos \theta \quad P_n(\theta = 0) = 1 \quad P_2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cos^ 2 \theta</math> | :<math>P_1 = cos \theta \quad P_n(\theta = 0) = 1 \quad P_2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cos^ 2 \theta</math> | ||
[[Datei:KernQuadrupolmoment20.png|miniatur | [[Datei:KernQuadrupolmoment20.png|miniatur]] | ||
Die Bedeutung der Entwicklungskoeffizienten <math>a_n</math> erkennt man durch direkte Berechnung des Potentials auf der z-Achse, also für <math>e = 0</math> und Koeffizientenvergleich: | Die Bedeutung der Entwicklungskoeffizienten <math>a_n</math> erkennt man durch direkte Berechnung des Potentials auf der z-Achse, also für <math>e = 0</math> und Koeffizientenvergleich: | ||
:<math>\phi(r,\theta=0) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \frac{1}{r^{n+1}} 1</math> | :<math>\phi(r,\theta=0) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \frac{1}{r^{n+1}} 1</math> | ||
| Line 123: | Line 122: | ||
Größenordnung: <math>Q \approx \pi R^2 \approx 10^{-28} m^2</math> (lb) | Größenordnung: <math>Q \approx \pi R^2 \approx 10^{-28} m^2</math> (lb) | ||
Vorzeichen: | Vorzeichen: | ||
[[Datei:KernQuadrupolmoment-Geometry21.png | [[Datei:KernQuadrupolmoment-Geometry21.png]] | ||