Editing Kerndrehimpulse und elektromagnetische Kernmomente

Jump to navigation Jump to search
Warning: You are not logged in. Your IP address will be publicly visible if you make any edits. If you log in or create an account, your edits will be attributed to your username, along with other benefits.

The edit can be undone. Please check the comparison below to verify that this is what you want to do, and then publish the changes below to finish undoing the edit.

Latest revision Your text
Line 2: Line 2:




Der {{FB|Kerndrehimpuls}} I setzt sich aus den {{FB|Bahndrehimpuls}}en <math>l_i</math> und
Der {{FB|Kerndrehimpuls}} I setzt sich aus den {{FB|Bahndrehimpuls}}en <math>1_i</math> und
{{FB|Spin}}s <math>s_i</math> der elnzelnen Nukleonen zusammen.
Spins <math>s_i</math> der elnzelnen Nukleonen zusammen. <math>I = \sum l_i + s_i</math>. Bahndrehimpulse
: <math>\vec I = \sum \vec l_i + \vec s_i</math>.
<math>1_i</math> als Erhaltungsgrößen setzen ein Zentralpotential <math>V = V(r)</math> voraus, in dem sich die Nukleonen praktisch frei und ohne
 
Bahndrehimpulse
<math>l_i</math> als Erhaltungsgrößen setzen ein Zentralpotential <math>V = V(r)</math> voraus, in dem sich die Nukleonen praktisch frei und ohne
Stöße im Kerninneren bewegen. Diese Einteilchenvorstellung, welche die Basis des Schalenmodells (Kap. 7) ist, hat ihre Begründung darin,
Stöße im Kerninneren bewegen. Diese Einteilchenvorstellung, welche die Basis des Schalenmodells (Kap. 7) ist, hat ihre Begründung darin,
daß die Nukleonen als {{FB|Fermionen im Grundzustand}} alle nach dem {{FB|Pauli-Prinzip}} erlaubten Zustände besetzen, so daß es keine "Stöße"
daß die Nukleonen als Fermionen im Grundzustand alle nach dem Pauli-Prinzip erlaubten Zustände besetzen, so daß es keine "Stöße"
gibt und die Nukleonen quasi als freie Teilchen auftreten.
gibt und die Nukleonen quasi als freie Teilchen auftreten.


Line 15: Line 12:


== Bahndrehimpuls <math>l = r \times p</math> ==
== Bahndrehimpuls <math>l = r \times p</math> ==
[[Datei:Drehimpuls-z16.png|miniatur|'Vektor'-Modell]]
[[Datei:Drehimpuls-z16.png|miniatur]]
Operatorenzuordnung <math>p \to \frac{\hbar}{i} \nabla</math>, Separation der Wellenfunktionen <math>\psi_{nlm}(r)=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\phi)</math>
Operatorenzuordnung <math>p \to \frac{\hbar}{i} \nabla</math>, Separation der Wellenfunktionen <math>\psi_{nlm}(r)=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\phi)</math>
in Radial- und Winkelteil. Die sphärischen Kugelfunktionen <math>Y_{lm}(\theta,\phi)</math> sind die Eigenfunktionen von <math>l^2</math> und <math>l_z</math> mit den Eigenwerten <math>l(l+1)\hbar^2</math> und <math>m\hbar</math>.
in Radial- und Winkelteil. Die sphärischen Kugelfunktionen <math>Y_{lm}(\theta,\phi)</math> sind die Eigenfunktionen von <math>l^2</math> und <math>l_z</math> mit den Eigenwerten <math>1(1+1)\hbar^2</math> und <math>m\hbar</math>.
 
 
1 = 0, I, 2, 3, 4, ...


l = 0, 1, 2, 3, 4, ...
s, p, d, f, g spektr. Bezeichnung
    s, p, d, f, g spektr. Bezeichnung


<math>l^2 Y_{lm}(\theta,\phi) = (l+1)\hbar^2 Y_{lm}(\theta,\phi)</math>  
<math>l^2 Y_{lm}(\theta,\phi) = (1+1)\hbar^2 Y_{lm}(\theta,\phi)</math>  


m = -l, ... 0, ... +l
m = -1, ... 0, ... +1
:<math>\to 2l+1</math> Einstellmöglichkeiten
<math>\to 21+1</math> Einstellmöglichkeiten




<math>l_z Y_{lm}(\theta,\phi) = m\hbar Y_{lm}(\theta,\phi)</math>
<math>l_z Y_{lm}(\theta,\phi) = m\hbar Y_{lm}(\theta,\phi)</math>
==Spin==
==Spin==
[[Datei:Spin-17.png|miniatur|Spin-Darstellung]]
[[Datei:Spin-17.png|miniatur]]
Spin <math>\vec s ,s =\dfrac{1}{2}</math>
<math>s ,s =\dfrac{1}{2}</math>


Ergebnis der relat. Quantenmechanik ({{FB|Diractheorie}}). '''Halbzahlige''' Spin-Teilchen (z.B. n, p, e, ... ) sind Fermionen, deren Wellenfunktionen bei Teilchentausch sich anti symmetrisch verhalten ({{FB|Pauli-Prinzip}}).
Ergebnis der relat. Quantenmechanik (Diractheorie). Halbzahlige Spin-Teilchen (z.B. n, p, e, ... ) sind Fermionen, deren Wellenfunktionen bei Teilchentausch sich anti symmetrisch verhalten (Pauli-Prinzip).
Im Gegensatz dazu sind '''ganzteilige''' Spin-Teilchen (einschließlich s = 0) Bosonen,
Im Gegensatz dazu sind ganzteilige Spin-Teilchen (einschließlich s = 0) Bosonen,
(z.B. d, <math>\alpha</math>, Photonen, Pionen) mit bei Teilchentausch symmetrischen
(z.B. d, <math>\alpha</math>, Photonen, Pionen) mit bei Teilchentausch symmetrischen
Wellenfunktionen. Unterschiedliche Statistik.
Wellenfunktionen. Unterschiedliche Statistik.
==Gesamtdrehimpuls==
==Gesamtdrehimpuls==
[[Datei:Gesamtdrehimpuls18.png|miniatur|Gesamtdrehimpuls <math>j = l \pm \dfrac{1}{2}</math>  "parallel" oder"antiparallel"]]
[[Datei:Gesamtdrehimpuls18.png]]


{{FB|Gesamtdrehimpuls}} <math>\vec j = \vec l + \vec s</math> eines einzelnen Nukleons
{{FB|Gesamtdrehimpuls}} <math>j = l + s</math> eines einzelnen Nukleons
<math>j = l \pm \dfrac{1}{2}</math> ~ "parallel" oder"antiparallel"
<math>j = 1 \pm \dfrac{1}{2}</math> ~ "parallel" oder"antiparallel"




Bei mehreren Nukleonen gibt es verschiedene Kopplungsmöglichkeiten,
Bei mehreren Nukleonen gibt es verschiedene Kopplungsmöglichkeiten,
wie beispielsweise in der Atomphysik die
wie beispielsweise in der Atomphysik die LS-Kopplung mit
:{{FB|LS-Kopplung}} mit <math> \vec L = \sum \vec l_i, \quad \vec S= \sum \vec s_i, \quad \vec L+ \vec S= \vec I</math> oder die  
<math>L = \sum l_i, \quad S= \sum s_i, \quad L+S=I</math> oder die jj-Kopplung mit  
:{{FB|jj-Kopplung}} mit <math> \vec l_i+ \vec s_i= \vec j_i, \quad \sum \vec j = \vec  I</math>.
<math>l_i+s_i=j_i, \quad \sum j = I</math>.
 




Experimentelle Ergebnisse für die Kerndrehimpulse I:
Experimentelle Ergebnisse für die Kerndrehimpulse I:


          (g, g) I = 0 (im Grundzustand)
(g, g) I = 0 (im Grundzustand)
(u, g) , (g, u) I = 1/2, 3/2, 5/2, ...
          (u, u)  = 0, 1, 2, 3, ...


(u, g) , (g, u) I = 1/2, 3/2, 5/2, ...
(u, u) = 0, 1, 2, 3, ...
Neigung der Protonen und Neutronen, sich jeweils paarweise durch "Antiparallelstellung" der Einzeldrehimpulse mit  <math>j_{p_i}+j_{p_k} = 0</math> bzw. <math>j_{n_i}+j_{n_k} = 0</math> zu kompensieren.


Neigung der Protonen und Neutronen, sich jeweils paarweise durch "Antiparallelstellung" der Einzeldrehimpulse mit  <math>\vec j_{p_i}+ \vec j_{p_k} = 0</math> bzw. <math> \vec j_{n_i}+ \vec j_{n_k} = 0</math> zu kompensieren.


Folgerung für (u, g)- und (g, u)-Kerne
Folgerung für (u, g)- und (g, u)-Kerne
<math> \vec I(u, g) = \vec I(g,g-\textrm{Rumpf}) + \vec j_P \to \vec I(u, g) = \vec  j_p</math>
<math>I(u, g) = I(g,g-\textrm{Rumpf}) + j_P \to I(u, g) = j_p</math>


d. h. I(u, g) = Einzeldrehimpuls <math> \vec j_p</math> des letzten ungepaarten Protons
d. h. 1(u, g) = Einzeldrehimpuls <math>j_p</math> des letzten ungepaarten Protons
Entsprechend <math>1(g, u) = j_n</math> Einzeldrehimpuls des letzten ungepaarten
Entsprechend <math>1(g, u) = j_n</math> Einzeldrehimpuls des letzten ungepaarten
Neutrons.
Neutrons.
Line 72: Line 73:
Mit dem Bahndrehimpuls und Spin der Nukleonen sind magnetische Dipolmomente verbunden.
Mit dem Bahndrehimpuls und Spin der Nukleonen sind magnetische Dipolmomente verbunden.
=== Bahn ===
=== Bahn ===
[[Datei:BahnDrehmoment19.png|framed|magnetisches Dipolmoment]]
[[Datei:BahnDrehmoment19.png]]
magn. Dipolmoment = <math>c^{-1}</math> Strome Fläche
a) Bahn~
:<math>\mu_l=\frac{e\hbar}{2mc}\vec l=\frac{1}{c}\frac{e v}{2 \pi r} \pi r^2</math> mit <math>\hbar l = mrv</math>
~ magn. Dipolmoment = c^{-1} Strome Fläche
;Bohrsches Magneton: <math>m=m_0</math> Elektron <math>\frac{e \hbar}{2m_0 c}=\mu_b=0,927\times 10^{-23} J/T</math>  
<math>\mu_l=\frac{e\hbar}{2mc}l=\frac{1}{c}\frac{e v}{2 \pi r} \pi r^2</math> with <math>\hbar l = mrv</math>
;Kernmagneton:<math>m = m_p</math> Proton <math>\frac{e\hbar}{2m_p c} = \mu_K = 0,505\times10^{-26} J/T</math>
;Bohrsches Magneton: <math>m=m_0</math> Elektron <math>\frac{e \hbar}{2m_0 c}=\mu_b=0.927\times 10^{-23} J/T</math>  
 
;Kernmagneton:<math>m = m_p</math> Proton <math>\frac{e\hbar}{2m_e c} = \mu_K = 0.505\times10^{-26} J/T</math>  
=== Spin===
=== Spin===


Für <math>s = \tfrac{1}{2}</math>-Teilchen erwartet man in Analogie zum Bahnbeitrag
b) Spin
:<math>\mu_s=\frac{e\hbar}{2 m c} s , s=\dfrac{1}{2}</math> '''Falsch'''!
Für s = ~-Teilchen erwartet man in Analogie zum Bahnbeitrag
 
-J1t. eil -t '- Falsch 1 s = 2mc s, s = '2
Experimentell gilt allgemein
Experimentell gilt allgemein
:<math>\mu_s=g \frac{e\hbar}{2 m c} s</math>  {{FB|g-Faktor}}
-t eil-t
 
J1. s = go -2m-c s, g-Faktor
Dabei ist für das Elektron <math>g = -2</math> nach der Diractheorie bis auf
Dabei ist für das Elektron g = -2 nach der Diractheorie bis auf
kleinere quantenelektrodynamische Korrekturen bestätigt. Für Proton
kleinere quantenelektrodynamische Korrekturen bestätigt. Für Proton
und Neutron erwartet man deshalb <math>g_p = 2</math> und <math>g_n = 0</math> (wegen fehlender Ladung).  
und Neutron erwartet man deshalb gp = 2 und gn = 0 (wegen fehlender
Die gemessenen Werte
Ladung). Die gemessenen Werte gp = 5,586 und gn = -3,826
:<math>g_p = 5,586</math> und  
jedoch, daß die Nukleonen keine einfachen "Punkt-Teilchen"
:<math>g_n = -3,826</math> zeigen jedoch, daß die Nukleonen keine einfachen "Punkt-Teilchen" sind.
zeigen
 
sind.
Die magnetischen Kerndipolmomente <math>\mu_I</math> für (g, u)- und (u,g)-Kerne lassen sich (zumindest für leichte Kerne) näherungsweise auf den des letzten ungepaarten Nukleons zurückführen (Schmidt-Modell).
Die mag netischen Kerndipolmomente J1.1 für (g, u)- und (u,g)-Ker. ne
 
las sen S ~'c h (zumindest für leichte Kerne) näherungsweise auf den
{{AnMS|g-Faktor auch Lande Faktor gibt theoretisch für ein geladenes Teilchen im Magnetfeld an, um wie viel stärker sich der Spin auf seine Energie auswirkt als ein gleich großer Bahndrehimpuls}}
' t g des letzten ungepaarten Nukleons zurückführen (SchmidtBel.
 
ra
==Elektrisches Kernquadrupolmoment Q==
Modell) .
==Elektrisches Kernguadrupolmoment Q==


Q gibt Abweichung von der Kugelgestalt wieder
Q gibt Abweichung von der Kugelgestalt wieder
I I, z-Achse
Potential ~ für p im Außenraum ß~ = 0
00 1
~(r, e) = E oano~op (COSe)
47fE 0 n=O r n
Legendre Polynome Po = 1
PI = cose
Pn(e = 0) = 1
P = 1 + 3 cos 2e z 2 2


Potential <math>\phi</math> für p im Außenraum <math>\Delta \phi  = 0</math>
[[Datei:KernQuadrupolmoment20.png]]
:<math>\phi(r,\theta) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \frac{1}{r^{n+1}} P_n(\cos \theta)</math>
Die Bedeutung der Entwicklungskoeffizienten an erkennt man durch
 
direkte Berechnung des Potentials auf der z-Achse, also für e = 0
{{FB|Legendre Polynome}} <math>P_0 = 1</math>
und Koeffizientenvergleich:
:<math>P_1 = cos \theta \quad P_n(\theta = 0) = 1 \quad P_2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cos^ 2 \theta</math>
~ (r, e = 0) _ 1 a 0-1-01
 
- 47fE n rn+I O n=l
[[Datei:KernQuadrupolmoment20.png|miniatur|Kugelgestalt des Kerns]]
Die Bedeutung der Entwicklungskoeffizienten <math>a_n</math> erkennt man durch direkte Berechnung des Potentials auf der z-Achse, also für <math>e = 0</math> und Koeffizientenvergleich:
:<math>\phi(r,\theta=0) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \frac{1}{r^{n+1}} 1</math>
oder direkt berechnet
oder direkt berechnet
:<math>\phi(r,\theta=0)=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int\frac{\rho(r')d\tau}{|r-r'|}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\int\frac{\rho(r')r'^{n}}{r^{n+1}}\frac{1}{r^{n+1}}P_{n}\cos(\alpha)d\tau</math> mit <math>\frac{1}{|r-r'|}=\sum\limits _{n=0}^{\infty}a_{n}\frac{1}{r^{n+1}}P_{n}\cos(\alpha)</math>.
p(r' )dr 1 r,n =
00E --op (cosa)
li-i' I li-i' I n=O rn+I n
= __1_ J1; p(r") or,n op (cosa)dr
47fE 0 n=O rn+I n
an = Jp (J:" )r ,nopn (cosa )dr
n = 0 aO= JP(J:', )dr = Ze Punktladung
n = 1 a = fp(J:") o.r' :cosa, dr = el. Dipolmoment in z-Richtung l
z - 0, da Kernkräfte die Parität
erhalten


:<math>a_n=\int {\rho(r')r'^{n}}P_{n}\cos(\alpha) d \tau</math>
n = 2 az =Jp(r'"') or,z(-i + 3 cosZa)dr
 
T
;n=0:<math>a_0=\int \rho(r') d \tau= Z e</math> Punktladung
= i Jp("1')(3Z Z - r'Z)dr
;n=1:<math>a_1=\int \rho(r')r'\cos(\alpha) d \tau =0 </math> elektrisches Dipolmoment in <math>z= r'\cos(\alpha)</math>-Richtung (=0 da Kernkräfte die Parität erhalten)
def = "12" e Q
;n=2:<math>a_{2}=\int\rho(r')r'^{2}\left(-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\cos^{2}\alpha\right)=\frac{1}{2}\int\rho(r')(3z^{2}-r'^{2})d\tau\equiv\frac{1}{2}eQ</math>
Bei konstanter Ladungsverteilung P = ~
 
Größenordnung: Q ~ 7rRz ~ 10-Z8 mZ (lb)
 
Bei konstanter Ladungsverteilung <math>\rho = \frac{Ze}{V}</math> ist deshalb <math>Q=\frac{Z}{V}\int(3z^2-r'^{2})d \tau</math>.
Größenordnung: <math>Q \approx \pi R^2 \approx 10^{-28} m^2</math> (lb)
Vorzeichen:
Vorzeichen:
[[Datei:KernQuadrupolmoment-Geometry21.png|gerahmt|Formen des Kernquadupolmoments]]
r
 
Q > 0
==Ergänzende Infromationen==
Zigarre
(gehört nicht zum Skript)
r
 
Q = 0
===Prüfungsfragen===
Kugel
* Äußere Eigenschaften eines Kerns
xZ= yZ = zZ =
** magnetische Momente (phänomenolog.), cl. Ladung und Multipolmomente -> empirische Befunde -> Modell inkopressibler Kernmaterie
- 17 -
*Kerndrehimpulse und elektromagnetische Kernmomente
Messung von Kernmomenten
**Drehimpulse + magnet. Momente von Kernen; was ist das + wie misst man das Modellvorstellung gg ,gu/ug, uu Experiment: Rabi Anwendung -> MRT
V
· Messung von Kernmomenten geschieht durch die Messung von EnerDle
ufspaltungen, die durch die Wechselwirkung der Kernmomente mit
qiea
oder inneratomaren elektromagnetischen Feldern verursacht
liußeren
werden.
a) äußere Felder: Kernspinresonanzmethode
Larmorpräzession ~wo = (!t~o)
Größenordnung V o = wo/27r = /LKB/ h
1: = 7,6 MHzoB[T]
Zusätzliches zirkulares Wechselfeld Bloeiwt ~ Bo induziert Übergänge
f ür w "" wo'
E m
induzierte Absorption und Emission:
3 Netto-Energieübertrag nur bei unter"
2"
schiedlicher Besetzung der Zeeman1
Niveaus durch Boltzmann-Verteilung "2"
I = 3 im Festkörper. Boltzmann-Faktor N1/Nz 1
1 = exp(-ßE/kT) ~ 1 -ßE/kT für ßE/kT«1
-"2"
Größenordnung z.B. /LI ~ /LK' Bo = 1 T,
3 T = 300 K;
-"2" So10-Z7J
ßE/kT = /LKBO/kT = 1,3 0 10-23o 300J
~Bo "" 10-6
b) inneratomare Felder der Hüllenelektronen: Hyperfeinstrukturaufspaltung
durch Kopplung von Hüllendrehimpuls J und Kernspin I
zu einem Gesamtdrehimpuls 1 = I + J
1. magnetische HFS
~= (/tl oB) = /LI oB -4 -4 o (I oJ)
roJ
ist deshalb Q= ~J(3ZZ-r'2) dr
r
Q < 0
Pfannkuche
[[Datei:KernQuadrupolmoment-Geometry21.png]]
Please note that all contributions to testwiki are considered to be released under the Creative Commons Attribution (see Testwiki:Copyrights for details). If you do not want your writing to be edited mercilessly and redistributed at will, then do not submit it here.
You are also promising us that you wrote this yourself, or copied it from a public domain or similar free resource. Do not submit copyrighted work without permission!
Cancel Editing help (opens in new window)

Templates used on this page:

Retrieved from "http://physikerwelt.de:8080/w/index.php?title=Kerndrehimpulse_und_elektromagnetische_Kernmomente"