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Identische Teilchen: Spin und Statistik
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<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|5}}</noinclude> <u>'''Betrachte: Systeme identischer Teilchen'''</u> <u>'''Beispiel: '''</u>N Elektronen im Ă€uĂeren''' '''Potenzial V mit Coulomb- Wechselwirkung <math>W\left( \left| {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right| \right)</math> Hamiltonoperator: <math>\hat{H}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}\left( \frac{{{{\hat{p}}}_{i}}^{2}}{2m}+V({{{\hat{r}}}_{i}}) \right)+\frac{1}{2}\sum\limits_{i\ne j}{{}}W\left( \left| {{{\hat{\bar{r}}}}_{i}}-{{{\hat{\bar{r}}}}_{j}} \right| \right)</math> Dabei beschreibt <math>\frac{1}{2}\sum\limits_{i\ne j}{{}}W\left( \left| {{{\hat{\bar{r}}}}_{i}}-{{{\hat{\bar{r}}}}_{j}} \right| \right)</math> die Wechselwirkungsnenergie der Elektronen! N- Elektronen - Zustand: <math>\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},...,{{a}_{N}} \right\rangle \in H\times H\times H\times ...\times H:={{H}^{\times N}}</math> mit <math>{{a}_{i}}</math> = Satz von Quantenzahlen, z.B. <math>\left| {{j}_{i}}{{m}_{j}}_{i}{{l}_{i}}{{s}_{i}} \right\rangle ,\left| {{n}_{i,}}{{l}_{i,}}{{m}_{i}},{{m}_{s}}_{i} \right\rangle </math> oder auch <math>\left| {{{\bar{r}}}_{i}},{{m}_{s}}_{i} \right\rangle </math> Die Nummer des Teilchen bestimmt dabei die Stellung in <math>\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},...,{{a}_{N}} \right\rangle \in H\times H\times H\times ...\times H:={{H}^{\times N}}</math> Schrödingergleichung: :<math>\hat{H}\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},...,{{a}_{N}} \right\rangle =i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},...,{{a}_{N}} \right\rangle </math> Ortsdarstellung :<math>\begin{align} & \hat{H}\left| {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}},...,{{q}_{N}};t \right\rangle =i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left| {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}},...,{{q}_{N}};t \right\rangle \\ & {{q}_{i}}\equiv \left( {{{\bar{r}}}_{i}},{{m}_{3i}} \right) \\ \end{align}</math> In den verallgemeinerten Koordinaten werden also Ort UND Spin der Teilchen zusammengefasst. Dabei ist <math>{{q}_{i}}\equiv \left( {{{\bar{r}}}_{i}},{{m}_{3i}} \right)</math> ein verallgemeinerter Ausdruck fĂŒr einen vollstĂ€ndigen Satz Quantenzahlen! '''Mikroskopische Teilchen '''mit '''gleichen Quantenzahlen ''' sind ununterscheidbar. Oder: Zwei durch jeweils eine einzige Wellenfunktion beschriebene Mehrteilchensysteme, in denen die mikroskopischen Teilchen i und j gegeneinander ausgetauscht sind, sind ununterscheidbar. Definiere: Permutationsoperator: <math>{{\hat{p}}_{\left( ij \right)}}</math> , der i-tes und j-tes Teilchen tauscht: :<math>{{\hat{p}}_{\left( ij \right)}}\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},...{{a}_{i}},...,{{a}_{j}},{{a}_{N}} \right\rangle =i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},..{{a}_{j}},...,{{a}_{i}}...,{{a}_{N}} \right\rangle </math> :<math>{{\hat{p}}_{\left( ij \right)}}</math> ist unitĂ€r und hermitsch. Dabei werden streng genommen die ZUSTĂNDE der Teilchen Nr. i und j vertauscht. Man könnte sich vorstellen, dass die beiden ZustĂ€nde jeweils auf das entsprechende andere Teilchen "teleportiert" werden. Wegen der Ununterscheidbarkeit mĂŒssen ALLE Observablen mit <math>{{\hat{p}}_{\left( ij \right)}}</math> vertauschen: (SchlieĂlich darf sich eine Wahrscheinlichkeit von Messwerten durch die Vertauschung nicht Ă€ndern. Es darf keine UnschĂ€rfe geben. Das bedeutet: Die Vertauschung ist nicht festzustellen! :<math>\left[ \hat{F},{{{\hat{p}}}_{\left( ij \right)}} \right]=0</math> Insbesondere :<math>\left[ \hat{H},{{{\hat{p}}}_{\left( ij \right)}} \right]=0</math> :<math>{{\hat{p}}_{\left( ij \right)}}</math> ist also eine ErhaltungsgröĂe und es existieren gemeinsame EigenzustĂ€nde zu JEDEM Operator und dem Permutationsoperator <math>{{\hat{p}}_{\left( ij \right)}}</math> Wie beim ParitĂ€tsoperator gilt: :<math>\begin{align} & {{\left[ {{{\hat{p}}}_{\left( ij \right)}} \right]}^{2}}=1 \\ & {{{\hat{p}}}_{\left( ij \right)}}\left| \Psi \right\rangle ={{\lambda }_{ij}}\left| \Psi \right\rangle \\ & {{\lambda }_{ij}}^{2}=1 \\ \end{align}</math> Die Forderung <math>{{\left[ {{{\hat{p}}}_{\left( ij \right)}} \right]}^{2}}=1</math> folgt aus der Ununterscheidbarkeit der Teilchen, aus <math>{{\left[ {{{\hat{p}}}_{\left( ij \right)}} \right]}^{2}}=1</math> folgt jedoch :<math>\begin{align} & {{\left| {{{\hat{p}}}_{\left( ij \right)}}\Psi ({{q}_{1}},{{q}_{2}}...,{{q}_{N}},t) \right|}^{2}}={{\left| \Psi ({{q}_{1}},{{q}_{2}}...,{{q}_{N}},t) \right|}^{2}}=1={{\left| {{\lambda }_{ij}}\Psi ({{q}_{1}},{{q}_{2}}...,{{q}_{N}},t) \right|}^{2}} \\ & \Rightarrow {{\left| {{\lambda }_{ij}} \right|}^{2}}=1 \\ & \Rightarrow {{\lambda }_{ij}}=\pm 1 \\ \end{align}</math> Dieser Eigenwert ist ein "ewiges" Charakteristikum des Zustandes! <u>'''Speziell: 2- Teilchensystem'''</u> Sei <math>\left| a,b \right\rangle ={{\left| a \right\rangle }_{1}}{{\left| a \right\rangle }_{2}}</math> ein Zweiteilchenzustand <math>\in H\times H</math>. Dann ist <math>{{\left| a,b \right\rangle }_{S}}:=\frac{1}{2}\left( 1+{{{\hat{P}}}_{(12)}} \right)\left| a,b \right\rangle </math> Eigenzustand von <math>{{\hat{P}}_{(12)}}</math> zum Eigenwert +1 Dieser Zustand ist symmetrisch, denn: :<math>{{\hat{P}}_{(12)}}{{\left| a,b \right\rangle }_{S}}=\frac{1}{2}\left( {{{\hat{P}}}_{(12)}}+{{{\hat{P}}}_{(12)}}^{2} \right)\left| a,b \right\rangle =\frac{1}{2}\left( {{{\hat{P}}}_{(12)}}+1 \right)\left| a,b \right\rangle ={{\left| a,b \right\rangle }_{S}}</math> AuĂerdem ist <math>{{\left| a,b \right\rangle }_{a}}:=\frac{1}{2}\left( 1-{{{\hat{P}}}_{(12)}} \right)\left| a,b \right\rangle </math> Eigenzustand von <math>{{\hat{P}}_{(12)}}</math> zum Eigenwert -1 und ist antisymmetrisch, denn: :<math>{{\hat{P}}_{(12)}}{{\left| a,b \right\rangle }_{a}}=\frac{1}{2}\left( {{{\hat{P}}}_{(12)}}-1 \right)\left| a,b \right\rangle =-{{\left| a,b \right\rangle }_{a}}</math> '''N- Teilchensystem:''' Alle <math>{{\hat{P}}_{(ij)}}</math> kommutieren mit H, im Allgemeinen jedoch NICHT untereinander! :<math>\begin{align} & {{{\hat{P}}}_{(12)}}{{{\hat{P}}}_{(23)}}\left| a,b,c \right\rangle ={{{\hat{P}}}_{(12)}}\left| a,c,b \right\rangle =\left| c,a,b \right\rangle \\ & {{{\hat{P}}}_{(23)}}{{{\hat{P}}}_{(12)}}\left| a,b,c \right\rangle ={{{\hat{P}}}_{(23)}}\left| b,a,c \right\rangle =\left| b,c,a \right\rangle \\ \end{align}</math> Daher sind komplizierte Symmetrieeigenschaften denkbar. Nicht nur symmetrisch und/ oder antisymmetrisch! Dennoch sind in der Natur jedoch nur ZustĂ€nde realisiert, die bei Vertauschung zweier BELIEBIGER ununterscheidbarer Teilchen symmetrisch <math>{{\lambda }_{(ij)}}=+1</math> oder antisymmetrisch <math>{{\lambda }_{(ij)}}=-1</math> sind. Dies ist zu verstehen als die REDUKTION des Hilbertraumes <math>H\times H\times H\times ...H(Nmal)</math> auf einen symmetrischen <math>{{H}_{N}}^{+}</math> und einen antisymmetrischen <math>{{H}_{N}}^{-}</math> Teilraum ERLAUBTER ZustĂ€nde. Symmetrie oder Antisymmetrie ist ein Charakteristikum der Teilchensorte und bleibt zeitlich erhalten wegen <math>\left[ \hat{H},{{{\hat{P}}}_{(ij)}} \right]=0</math> : <u>'''Bosonen'''</u> sind Teilchen mit symmetrischem Zustand, alle Teilchen mit ganzzahligem Spin (s=0,1,2,...) z.B. <math>\pi -</math> oder K- Meson, Photon, Phonon, <math>\alpha </math> - Teilchen, WasserstoffmolekĂŒl,... Bose- Einstein- Statistik <u>'''Fermionen'''</u> sind Teilchen mit antisymmetrischem Zustand. Dies sind alle Teilchen mit HALBZAHLIGEM Spin <math>s=\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2}</math> z.B. Elektron, Proton, Neutron, Neutrino, Myon,... Fermi- Dirac- Statistik An sich eine Erfahrungstatsache. der Beweis folgte jedoch aus der relativistischen Quantenfeldtheorie: Pauli, 1940 ====Pauli- Prinzip fĂŒr Fermionen:==== Die Wellenfunktionen sind total antisymmetrisch. 2 identische Fermionen können sich nicht in gleichen EinteilchenzustĂ€nden a befinden (Pauli- Verbot): Denn: :<math>{{\left| a,a \right\rangle }_{a}}=\frac{1}{2}\left( 1-{{{\hat{P}}}_{(12)}} \right)\left| a,a \right\rangle =\frac{1}{2}\left( \left| a,a \right\rangle -\left| a,a \right\rangle \right)=0</math> Beispiel: :<math>\left| a \right\rangle =\left| n,l,m,{{m}_{s}} \right\rangle </math> =====Anwendung auf die Ortsdarstellung===== Die Wahrscheinlichkeit, 2 identische Fermionen am gleichen Ort <math>\left| {\bar{r}} \right\rangle </math> mit gleichem Spin <math>{{m}_{s}}</math> zu finden, ist identisch NULL. Das Pauli- Prinzip ist Grundlage fĂŒr den Aufbau des Periodensystems der Elemente. Gilt natĂŒrlich NICHT fĂŒr Bosonen! =====Antisymmetrisierungs- Operator===== Im 2- Teilchen Raum: <math>\hat{A}:=\frac{1}{2}\left( 1-{{{\hat{P}}}_{(12)}} \right)</math> Im N- Teilchen- Raum <math>\hat{A}:=\frac{1}{N!}\sum\limits_{r=1}^{N!}{{}}{{\left( -1 \right)}^{p}}{{\hat{P}}_{(r)}}</math> Dabei stellt <math>{{\hat{P}}_{(r)}}</math> die r-te Permutation von (1,2,3,4...,N) her. Es gibt insgesamt N! Permutationen (inklusive r=1 â IdentitĂ€t). P, also der Exponent an -1 ist die Zahl der Vertauschung von je 2 Teilchen, also: :<math>{{\left( -1 \right)}^{p}}=\pm 1</math> fĂŒr gerade bzw. ungerade Permutation. Mit Hilfe von <math>\hat{A}:=\frac{1}{N!}\sum\limits_{r=1}^{N!}{{}}{{\left( -1 \right)}^{p}}{{\hat{P}}_{(r)}}</math> lassen sich quantenmechanische ZustĂ€nde antisymmetrisieren. Dabei gilt: :<math>{{\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{N}} \right\rangle }_{a}}:=\hat{A}\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{N}} \right\rangle </math> Beispiel fĂŒr N=3: :<math>{{\left| a,b,c \right\rangle }_{a}}=\frac{1}{6}\left\{ \left| abc \right\rangle +\left| bca \right\rangle +\left| cab \right\rangle -\left| bac \right\rangle -\left| cba \right\rangle -\left| acb \right\rangle \right\}</math> Dieser Zustand ist antisymmetrisch bei der Vertauschung von jeweils 2 Teilchen! ====Symmetrisierungsoperator==== :<math>\hat{S}:=\frac{1}{N!}\sum\limits_{r=1}^{N!}{{}}{{\hat{P}}_{(r)}}</math> :<math>{{\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{N}} \right\rangle }_{S}}:=\hat{P}\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{N}} \right\rangle </math> Der Operator erzeugt einen Zustand der symmetrisch ist bei der Vertauschung von je 2 Teilchen. :<math>\hat{A}</math> und<math>\hat{S}</math> sind hermitesch und idempotent: <math>\hat{A}={{\hat{A}}^{2}};{{\hat{S}}^{2}}=\hat{S}</math>. Das bedeutet: Sie sind Projektoren. Sie projizieren einen Zustand auf den SYMMETRISCHEN oder den ANTISYMMETRISCHEN Anteil. '''N=2:''' :<math>\hat{S}+\hat{A}=1</math>. Dies entspricht einer VollstĂ€ndigkeitsrelation. Nun können wir deutlich sehen, was eine solche VOLLSTĂNDIGKEIT eigentlich bedeutet. Hier: der Operator symmetrisiert oder antisymmetrisiert. Dies ist genau dann vollstĂ€ndig, wenn JEDE 2- Teilchen- Funktion entweder symmetrisch oder antisymmetrisch ist. :<math>\hat{S}</math> projiziert auf den symmetrischen Unterraum des Hilbertraumes <math>H\times H</math>. <math>\hat{A}</math> dagegen projiziert auf den antisymmetrischen Unterraum des Hilbertraumes <math>H\times H</math>. FĂŒr N>2 (Siehe oben, kompliziertere Symmetrien denkbar) projizieren <math>\hat{S}+\hat{A}</math> auf einen echten Teilraum des Hilbertraumes <math>H\times H</math>. :<math>\sum\limits_{r=1}^{N!}{{}}{{\left( -1 \right)}^{p}}{{\hat{P}}_{(r)}}</math> oder <math>\sum\limits_{r=1}^{N!}{{}}{{\hat{P}}_{(r)}}</math> wĂŒrden insgesamt, als Gesamtzustand gesehen, einen nichtnormierten Zustand erzeugen, der nĂ€mlich aus<math>N!</math> normierten ZustĂ€nden besteht . Durch den Vorfaktor <math>\frac{1}{N!}</math> wird die Normierung garantiert! ====Wechselwirkungsfreie, identische Teilchen==== :<math>\begin{align} & \hat{H}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}{{{\hat{H}}}_{i}} \\ & {{{\hat{H}}}_{i}}=\frac{{{{\hat{p}}}_{i}}^{2}}{2m}+V({{{\bar{r}}}_{i}}) \\ \end{align}</math> Schrödingergleichung: <math>\hat{H}\left| {{a}_{1}},...,{{a}_{N}} \right\rangle =E\left| {{a}_{1}},...,{{a}_{N}} \right\rangle </math> lĂ€Ăt sich separieren (keine Wechselwirkung, fĂŒr jedes neue Teilchen wird der Hilbertraum einfach erweitert): :<math>\left| {{a}_{1}},...,{{a}_{N}} \right\rangle ={{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{1}}{{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{2}}...{{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{N}}</math> :<math>{{\left| {{a}_{j}} \right\rangle }_{k}}</math> ist dabei der j. Satz Quantenzahlen, der dem k. Teilchen zugeordnet wird. NatĂŒrlich nummeriert man die QuantenzahlensĂ€tze nach den Teilchen, auf denen sie Sitzen. Um aber den Effekt vom Tauschen von Quantenzahlen zu analysieren macht man hypothetisch den Schritt, dass ein Satz Quantenzahlen, der dem 3. Teilchen gehört, nun auf dem 4. Teilchen sitzt. Also wĂŒrde man schreiben <math>{{\left| {{a}_{3}} \right\rangle }_{4}}</math> Dabei bezeichnet der innere Index den Quantenzahlensatz und der Ă€uĂere Index die Teilchen- Nummer. Jedes Element der Schrödingergleichung wirkt dann separat auf den ihm zugeordneten Zustand: :<math>\begin{align} & {{{\hat{H}}}_{i}}{{\left| {{a}_{i}} \right\rangle }_{i}}={{E}_{i}}{{\left| {{a}_{i}} \right\rangle }_{i}} \\ & E=\sum\limits_{i}{{}}{{E}_{i}} \\ \end{align}</math> ====Fermionen : Antisymmetrisierung==== :<math>{{\left| {{a}_{1}},...,{{a}_{N}} \right\rangle }_{a}}=\hat{A}\left( {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{1}}{{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{2}}...{{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{N}} \right)=\frac{1}{N!}\left| \begin{matrix} {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{1}} & {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{2}} & ... & {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{N}} \\ {{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{1}} & {{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{2}} & ... & {{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{N}} \\. .. & ... & ... & ... \\ {{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{1}} & {{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{2}} & ... & {{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{N}} \\ \end{matrix} \right|</math> Der Antisymmetrisierte Zustand ergibt sich als normierte Determinante einer Matrix, der die Teilchen Spaltenweise und ihre Quantenzahlen als separierte EinzelzustĂ€nde zeilenweise aufgedröselt sind. Diese Determinante heiĂt auch Slater- Determinante. Auf der Diagonalen sitzen die Teilchen mit denen ihnen natĂŒrlicherweise zugeordneten QuantenzahlensĂ€tzen. AuĂerhalb der Diagonale treten die systematisiert abgeklapperten hypothetischen Vertauschungen von Quantenzahlen auf. Die Determinante verschwindet, wenn 2 Zeilen gleich sind, also 2 Teilchen den gleichen Satz Quantenzahlen haben! Nur dann können zwei Zeilen gleich werden. Oder aber, wenn 2 Spalten gleich sind, was man so verstehen könnte, dass man sich zwei Teilchen, denen man die Nummern 1 und 2 geben sollte, als gleich definiert und ihnen beiden die Nummer 1 zuordnet!, also alle Quantenzahlen fĂŒr 2 beliebige Teilchen gleich sind. Ein solcher Zustand existiert einfach nicht â Pauli- Prinzip!! ====Bosonen: Symmetrisierung==== :<math>{{\left| {{a}_{1}},...,{{a}_{N}} \right\rangle }_{S}}=\hat{S}\left( {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{1}}{{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{2}}...{{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{N}} \right)</math> ====Normierung==== fĂŒr orthonogonale und normierte 1- Teilchen- ZustĂ€nde: :<math>\begin{align} & {{f}_{n}}{{^{2}}_{a}}\left\langle {{a}_{1}},...,{{a}_{N}} \right|{{\left| {{a}_{1}},...,{{a}_{N}} \right\rangle }_{a}}={{f}_{n}}^{2}\left( _{1}\left\langle {{a}_{1}} \right|{{...}_{N}}\left\langle {{a}_{N}} \right| \right)\hat{A}\hat{A}\left( {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{1}}...{{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{N}} \right) \\ & ={{f}_{n}}^{2}\left( _{1}\left\langle {{a}_{1}} \right|{{...}_{N}}\left\langle {{a}_{N}} \right| \right)\hat{A}\left( {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{1}}...{{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{N}} \right)={{f}_{n}}^{2}\left( _{1}\left\langle {{a}_{1}} \right|{{...}_{N}}\left\langle {{a}_{N}} \right| \right)\frac{1}{N!}\left| \begin{matrix} {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{1}} & {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{2}} & ... & {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{N}} \\ {{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{1}} & {{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{2}} & ... & {{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{N}} \\. .. & ... & ... & ... \\ {{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{1}} & {{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{2}} & ... & {{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{N}} \\ \end{matrix} \right| \\ & ={{f}_{n}}^{2}\frac{1}{N!}\left| \begin{matrix} _{1}\left\langle {{a}_{1}} \right|{{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{1}} & _{2}\left\langle {{a}_{2}} \right|{{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{2}} & ... & _{N}\left\langle {{a}_{N}} \right|{{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{N}} \\ _{1}\left\langle {{a}_{1}} \right|{{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{1}} & _{2}\left\langle {{a}_{2}} \right|{{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{2}} & ... & _{N}\left\langle {{a}_{N}} \right|{{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{N}} \\. .. & ... & ... & ... \\ _{1}\left\langle {{a}_{1}} \right|{{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{1}} & _{2}\left\langle {{a}_{2}} \right|{{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{2}} & ... & _{N}\left\langle {{a}_{N}} \right|{{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{N}} \\ \end{matrix} \right| \\ & _{1}\left\langle {{a}_{1}} \right|{{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{1}}=1 \\ & _{1}\left\langle {{a}_{i}} \right|{{\left| {{a}_{j}} \right\rangle }_{1}}=0\quad i\ne j \\ & \Rightarrow {{f}_{n}}^{2}\frac{1}{N!}\left| \begin{matrix} _{1}\left\langle {{a}_{1}} \right|{{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{1}} & _{2}\left\langle {{a}_{2}} \right|{{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{2}} & ... & _{N}\left\langle {{a}_{N}} \right|{{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{N}} \\ _{1}\left\langle {{a}_{1}} \right|{{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{1}} & _{2}\left\langle {{a}_{2}} \right|{{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{2}} & ... & _{N}\left\langle {{a}_{N}} \right|{{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{N}} \\. .. & ... & ... & ... \\ _{1}\left\langle {{a}_{1}} \right|{{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{1}} & _{2}\left\langle {{a}_{2}} \right|{{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{2}} & ... & _{N}\left\langle {{a}_{N}} \right|{{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{N}} \\ \end{matrix} \right|={{f}_{n}}^{2}\frac{1}{N!}\left| \begin{matrix} 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & ... & 0 \\. .. & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 \\ \end{matrix} \right|={{f}_{n}}^{2}\frac{1}{N!}\equiv 1! \\ & \Rightarrow {{f}_{n}}=\sqrt{N!} \\ \end{align}</math> ====Normierte Antisymmetrische ZustĂ€nde==== :<math>{{\left| {{a}_{1}},...,{{a}_{N}} \right\rangle }_{a}}^{-}=\sqrt{N!}\hat{A}\left( {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{1}}...{{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{N}} \right)=\frac{1}{\sqrt{N!}}\left| \begin{matrix} {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{1}} & {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{2}} & ... & {{\left| {{a}_{1}} \right\rangle }_{N}} \\ {{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{1}} & {{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{2}} & ... & {{\left| {{a}_{2}} \right\rangle }_{N}} \\. .. & ... & ... & ... \\ {{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{1}} & {{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{2}} & ... & {{\left| {{a}_{N}} \right\rangle }_{N}} \\ \end{matrix} \right|</math> ====Ortsdarstellung==== :<math>\left\langle {{{\bar{r}}}_{1}}...{{{\hat{r}}}_{N}} \right|{{\left| {{a}_{1}},...,{{a}_{N}} \right\rangle }_{a}}^{-}={{\Psi }^{-}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}},...,{{{\bar{r}}}_{N}} \right)=\frac{1}{\sqrt{N!}}\left| \begin{matrix} {{\Psi }_{{{a}_{1}}}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}} \right) & {{\Psi }_{{{a}_{1}}}}\left( {{{\bar{r}}}_{2}} \right) & ... & {{\Psi }_{{{a}_{1}}}}\left( {{{\bar{r}}}_{N}} \right) \\ {{\Psi }_{{{a}_{2}}}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}} \right) & {{\Psi }_{{{a}_{2}}}}\left( {{{\bar{r}}}_{2}} \right) & ... & {{\Psi }_{{{a}_{2}}}}\left( {{{\bar{r}}}_{N}} \right) \\. .. & ... & ... & ... \\ {{\Psi }_{{{a}_{N}}}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}} \right) & {{\Psi }_{{{a}_{N}}}}\left( {{{\bar{r}}}_{2}} \right) & ... & {{\Psi }_{{{a}_{N}}}}\left( {{{\bar{r}}}_{N}} \right) \\ \end{matrix} \right|</math> ====Unterschiede zur klassischen Statistik unterscheidbarer Teilchen (N=2)==== :<math>{{\left| {{\Psi }_{ab}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}} \right) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle {{{\bar{r}}}_{1}}{{{\bar{r}}}_{2}} | ab \right\rangle \right|}^{2}}={{\left| _{1}\left\langle {{{\bar{r}}}_{1}} \right|{{\left| a \right\rangle }_{1}}_{2}\left\langle {{{\bar{r}}}_{2}} \right|{{\left| b \right\rangle }_{2}} \right|}^{2}}={{\left| {{\Psi }_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}} \right) \right|}^{2}}{{\left| {{\Psi }_{b}}\left( {{{\bar{r}}}_{2}} \right) \right|}^{2}}</math> Klassisch. Dies stimmt jedoch in der Quantenmechanik nicht mehr. VollstĂ€ndig wird die Relation, wenn man den resultierenden Mehrteilchenzustand und seine Wahrscheinlichkeitsverteilung :<math>{{\left| \left\langle {{{\bar{r}}}_{1}}{{{\bar{r}}}_{2}} | ab \right\rangle \right|}^{2}}</math> symmetrisiert, bzw. antisymmetrisiert: :<math>{{\left| \left\langle {{{\bar{r}}}_{1}}{{{\bar{r}}}_{2}} \right|{{\left| ab \right\rangle }_{s,a}} \right|}^{2}}</math> Es folgt: :<math>\begin{align} & {{\left| {{\Psi }_{ab}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}} \right) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle {{{\bar{r}}}_{1}}{{{\bar{r}}}_{2}} | ab \right\rangle s,a \right|}^{2}}=\frac{1}{2}{{\left| _{1}\left\langle {{{\bar{r}}}_{1}} \right|{{\left| a \right\rangle }_{1}}_{2}\left\langle {{{\bar{r}}}_{2}} \right|{{\left| b \right\rangle }_{2}}{{\pm }_{1}}\left\langle {{{\bar{r}}}_{1}} \right|{{\left| a \right\rangle }_{1}}_{2}\left\langle {{{\bar{r}}}_{2}} \right|{{\left| b \right\rangle }_{2}} \right|}^{2}} \\ & =\frac{1}{2}{{\left| {{\Psi }_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}} \right){{\Psi }_{b}}\left( {{{\bar{r}}}_{2}} \right)\pm {{\Psi }_{b}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}} \right){{\Psi }_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{2}} \right) \right|}^{2}} \\ \end{align}</math> Mit dem Austauschterm <math>{{\Psi }_{b}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}} \right){{\Psi }_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{2}} \right)</math> â Grundlagen der quantenmechanischen Korrelation, Entanglement. <u>'''Spezialfall: '''</u><math>{{\bar{r}}_{1}}={{\bar{r}}_{2}}=\bar{r}</math> Damit ergibt sich fĂŒr Bosonen: :<math>\begin{align} & {{\left| {{\Psi }_{ab}}\left( \bar{r},\bar{r} \right) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle \bar{r}\bar{r} | ab \right\rangle s \right|}^{2}}=\frac{1}{2}{{\left| _{1}\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| a \right\rangle }_{1}}_{2}\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| b \right\rangle }_{2}}{{+}_{1}}\left\langle _{1} \right|{{\left| a \right\rangle }_{1}}_{2}\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| b \right\rangle }_{2}} \right|}^{2}} \\ & =\frac{1}{2}{{\left| {{\Psi }_{a}}\left( {\bar{r}} \right){{\Psi }_{b}}\left( {\bar{r}} \right)+{{\Psi }_{b}}\left( {\bar{r}} \right){{\Psi }_{a}}\left( {\bar{r}} \right) \right|}^{2}}=2{{\left| {{\Psi }_{a}}\left( {\bar{r}} \right) \right|}^{2}}{{\left| {{\Psi }_{b}}\left( {\bar{r}} \right) \right|}^{2}} \\ \end{align}</math> Dieser Zustand ist der Zustand der Bose- Einstein Kondensation (superfluides Helium beispielsweise). FĂŒr Fermionen: :<math>\begin{align} & {{\left| {{\Psi }_{ab}}\left( \bar{r},\bar{r} \right) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle \bar{r}\bar{r} \right|{{\left| ab \right\rangle }_{a}} \right|}^{2}}=\frac{1}{2}{{\left| _{1}\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| a \right\rangle }_{1}}_{2}\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| b \right\rangle }_{2}}{{-}_{1}}\left\langle _{1} \right|{{\left| a \right\rangle }_{1}}_{2}\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| b \right\rangle }_{2}} \right|}^{2}} \\ & =\frac{1}{2}{{\left| {{\Psi }_{a}}\left( {\bar{r}} \right){{\Psi }_{b}}\left( {\bar{r}} \right)-{{\Psi }_{b}}\left( {\bar{r}} \right){{\Psi }_{a}}\left( {\bar{r}} \right) \right|}^{2}}=0 \\ \end{align}</math> FĂŒr Fermionen betrĂ€gt die Wahrscheinlichekitsamplitude fĂŒr identische Teilchen am gleichen Ort also Null. =====Beispiel: ebene Wellen:===== :<math>\begin{align} & {{\Psi }_{a}}\left( {\bar{r}} \right)={{e}^{ikx}} \\ & {{\Psi }_{b}}\left( {\bar{r}} \right)={{e}^{-ikx}} \\ \end{align}</math> Klassisch folgt: :<math>{{\left| {{\Psi }_{ab}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}} \right) \right|}^{2}}=1</math> Also: beide Teilchen befinden sich irgendwo, aber diese Wahrscheinlichkeit ist konstant, ortsunabhĂ€ngig! In der Quantenmechanik dagegen ergeben sich je nach rĂ€umlichem Abstand der Ereignisse oszillierende Wahrscheinlichkeitsamplituden: Bose: :<math>{{\left| {{\Psi }_{ab}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}} \right) \right|}^{2}}={{\left| {{e}^{ik({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}}+{{e}^{-ik({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}} \right|}^{2}}=2{{\cos }^{2}}k({{x}_{1}}-{{x}_{2}})</math> Das bedeutet, Bosonen haben einen rĂ€umlichen Abstand derart, dass die Phasen bevorzugt 0 oder 180 ° verschoben sind. An diesen AbstĂ€nden interferieren sie konstruktiv und erscheinen uns als phĂ€nomenologische Teilchen. Fermi: :<math>{{\left| {{\Psi }_{ab}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}} \right) \right|}^{2}}={{\left| {{e}^{ik({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}}-{{e}^{-ik({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}} \right|}^{2}}=2{{\sin }^{2}}k({{x}_{1}}-{{x}_{2}})</math> Fermionen interferieren gerade an den Stellen konstruktiv und treten dementsprechend dort in Erscheinung, wo die Wellenfunktionen um Vielfache von 90° phasenverschoben sind und somit den Sinus maximieren!
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