Editing Grenzbedingungen für Felder

<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|5|4}}</noinclude>

_ Frage ist: Wie verhalten sich
:<math>\bar{B},\bar{H},\bar{D},\bar{E}</math>
an Grenzflächen, die verschiedene elektrische und magnetische Materialien (Vakuum/ Materie) trennen ?

'''Integration der Maxwell- Gleichungen über ein Volumen V:'''



:<math>\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho \left( \bar{r},t \right)=Q=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)</math>

:<math>\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right)</math>

'''Bildlich:'''

'''Normalkomponenten:'''
'''Betrachte einen Zylinder, '''der senkrecht auf einer Grenzfläche steht.
Nun nimmt man die Maxwellgleichungen in integraler Schreibweise an und läßt den Zylinder unter Berücksichtigung von Integrationssätzen gegen Null- Höhe gehen:

also: Für die Normalkomponenten: h → 0

Während also die Normalkomponente des B- Feldes an der Grenzfläche stetig ist,
springt die Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung um die Ladung, die an der Grenzfläche sitzt:
Unter der Annahme, dass die Grenzfläche die freie Flächenladungsdichte
:<math>\sigma </math>
trägt:

:<math>\begin{align}
& \rho \left( \bar{r},t \right)=\sigma \left( x,y,t \right)\delta \left( z \right) \\
& {{{\bar{e}}}_{z}}\equiv \bar{n} \\
& \Rightarrow \begin{matrix}
\lim   \\
h->0  \\
\end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho \left( \bar{r},t \right)=Q=\int_{F}^{{}}{{}}df\sigma \left( x,y,t \right) \\
& \begin{matrix}
\lim   \\
h->0  \\
\end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\left( {{{\bar{D}}}^{(1)}}-{{{\bar{D}}}^{(2)}} \right)=\int_{F}^{{}}{{}}df\bar{n}\left( {{{\bar{D}}}^{(1)}}-{{{\bar{D}}}^{(2)}} \right)=\int_{F}^{{}}{{}}df\sigma \left( x,y,t \right) \\
\end{align}</math>

:<math>\begin{matrix}
\lim   \\
h->0  \\
\end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{B}=\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\left( {{{\bar{B}}}^{(1)}}-{{{\bar{B}}}^{(2)}} \right)=\int_{F}^{{}}{{}}df\bar{n}\left( {{{\bar{B}}}^{(1)}}-{{{\bar{B}}}^{(2)}} \right)=0</math>

Somit müssen die Integranden übereinstimmen:

:<math>\bar{n}\left( {{{\bar{B}}}^{(1)}}-{{{\bar{B}}}^{(2)}} \right)=0</math>

:<math>\bar{n}\left( {{{\bar{D}}}^{(1)}}-{{{\bar{D}}}^{(2)}} \right)=\sigma \left( x,y,t \right)</math>

<u>'''Tangentialkomponenten'''</u>

<u>'''Anwendung des verallgemeinerten Gaußschen Satz:'''</u>

:<math>1)\nabla \times \bar{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0</math>

:<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\frac{4\pi }{c}\bar{j}</math>

:<math>\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times \bar{E}=-\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}</math>

:<math>\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right)</math>

Auch hier: h→ 0

:<math>\begin{align}
& \int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times \bar{E}=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times \bar{E}=-\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
& \int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times H\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right) \\
& \begin{matrix}
\lim   \\
h->0  \\
\end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times \bar{E}=\oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( {{{\bar{E}}}^{(1)}}-{{{\bar{E}}}^{(2)}} \right) \\
& \begin{matrix}
\lim   \\
h->0  \\
\end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times H\left( \bar{r},t \right)=\oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(1)}}-H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(2)}} \right) \\
\end{align}</math>

In beiden Fällen die Tangentialkomponenten der Felder! senkrecht auf Flächenvektor und Feld

Wegen:

:<math>\begin{align}
& \begin{matrix}
\lim   \\
h->0  \\
\end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times \bar{E}=\oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( {{{\bar{E}}}^{(1)}}-{{{\bar{E}}}^{(2)}} \right)=-\begin{matrix}
\lim   \\
h->0  \\
\end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
& \begin{matrix}
\lim   \\
h->0  \\
\end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times H\left( \bar{r},t \right)=\oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(1)}}-H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(2)}} \right)=\begin{matrix}
\lim   \\
h->0  \\
\end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right) \\
\end{align}</math>

Annahme: Grenzfläche trägt (freie) Flächenstromdichte
:<math>\begin{align}
& {\bar{g}} \\
& \Rightarrow \bar{j}\left( \bar{r},t \right)=\bar{g}\left( x,y,t \right)\delta \left( z \right) \\
\end{align}</math>

wie es bei metallen der Fall ist!,
dann:

:<math>\begin{matrix}
\lim   \\
h->0  \\
\end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\bar{j}=\int_{F}^{{}}{{}}df\bar{g}</math>

Weiter:

:<math>\begin{align}
& \begin{matrix}
\lim   \\
h->0  \\
\end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
& \begin{matrix}
\lim   \\
h->0  \\
\end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \\
\end{align}</math>

können für Volumenintegrale mit verschwindendem Volumen nur einen Beitrag liefern, wenn
:<math>\frac{\partial }{\partial t}\bar{B},\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}</math>
Unendlichkeitsstellen besitzen.

Annahme:

:<math>\bar{B},\bar{D}</math> und <math>\frac{\partial }{\partial t}\bar{B},\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}</math>
sind beschränkt:

:<math>\begin{align}
& \begin{matrix}
\lim   \\
h->0  \\
\end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0 \\
& \begin{matrix}
\lim   \\
h->0  \\
\end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=0 \\
& \begin{matrix}
\lim   \\
h->0  \\
\end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right)=\int_{F}^{{}}{{}}df\bar{g}(x,y,t) \\
& \oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( {{{\bar{E}}}^{(1)}}-{{{\bar{E}}}^{(2)}} \right)=0 \\
& \oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(1)}}-H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(2)}} \right)=\int_{F}^{{}}{{}}df\bar{g}(x,y,t) \\
\end{align}</math>

Somit haben wir die Grenzbedingungen für die Tangentialkomponenten:

:<math>\begin{align}
& \bar{n}\times \left( {{{\bar{E}}}^{(1)}}-{{{\bar{E}}}^{(2)}} \right)=0 \\
& \bar{n}\times \left( H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(1)}}-H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(2)}} \right)=\bar{g}(x,y,t) \\
\end{align}</math>

Das heißt:

Die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes E ist am Grenzübergang stetig
Die Tangentialkomponente des magnetischen Feldes H springt am Grenzübergang um die Flächenstromdichte!

Bildlich:
Sitzen Ladungen an einer Grenzfläche, so ist die Normalkomponente von D (wichtig: Polarisationseffekt → Polarisation muss irgendwo mit auftauchen) nicht stetig!
Fließen flächenartige Ströme entlang einer Grenzfläche, so ist die Tangentialkomponente von H nicht stetig!

<u>'''Zusammenfassung:'''</u>

:<math>\delta \bar{E}:=\left( {{{\bar{E}}}^{(1)}}-{{{\bar{E}}}^{(2)}} \right)</math>

<u>'''Maxwellgleichung					Grenzbedingung'''</u>

:<math>\begin{align}
& 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \bar{n}\times \delta \bar{E}=0 \\
& 2)\nabla \cdot \bar{B}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \bar{n}\cdot \delta \bar{B}=0 \\
\end{align}</math>

:<math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \bar{n}\cdot \delta \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\sigma </math>

:<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \bar{n}\times \delta H\left( \bar{r},t \right)=\bar{g}</math>

Also: die Tangenzialkomponente von E ist stetig
Die Normalkomponente von D springt um die Flächenladungsdichte (Flächendivergenz)
Die Tangentialkomponente von H springt (Flächenrotation) um die Flächenstromdichte
Die Normalkomponente von B ist stetig.

'''Beispiele:'''

# Grenzfläche zwischen 2 dielektrischen Materialien  mit

:<math>\begin{align}
& {{\varepsilon }^{(1)}}<{{\varepsilon }^{(2)}} \\
& \sigma =0 \\
\end{align}</math>


Zuerst zeichne man sich ein derartiges Diagramm hin!

:<math>\begin{align}
& {{{\bar{E}}}_{t}}^{(1)}={{{\bar{E}}}_{t}}^{(2)} \\
& {{{\bar{D}}}_{n}}^{(1)}={{{\bar{D}}}_{n}}^{(2)} \\
\end{align}</math>

letzteres wegen der verschwindenden Flächenladungsdichte!

:<math>\begin{align}
& {{{\bar{E}}}_{t}}^{(1)}={{{\bar{E}}}_{t}}^{(2)} \\
& {{{\bar{D}}}_{n}}^{(1)}={{{\bar{D}}}_{n}}^{(2)}\Rightarrow {{\varepsilon }_{1}}{{{\bar{E}}}_{n}}^{(1)}={{\varepsilon }_{2}}{{{\bar{E}}}_{n}}^{(2)} \\
& \Rightarrow {{{\bar{E}}}_{n}}^{(2)}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{{{\varepsilon }_{2}}}{{{\bar{E}}}_{n}}^{(1)} \\
& \tan {{\alpha }_{1}}=\frac{{{{\bar{E}}}_{t}}^{(1)}}{{{{\bar{E}}}_{n}}^{(1)}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{{{\varepsilon }_{2}}}\frac{{{{\bar{E}}}_{t}}^{(2)}}{{{{\bar{E}}}_{n}}^{(2)}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{{{\varepsilon }_{2}}}\tan {{\alpha }_{2}} \\
\end{align}</math>

Dies ist das Brechungsgesetz für die Feldlinien

Achtung! Das Snelliussche Brechungsgesetz müsste man sich für den Verlauf des Energiestroms berechnen

# <u>'''Grenzfläche zwischen Vakuum (Luft) und magnetischem Material'''</u>

<u>'''2.1 Sei '''</u>speziell
:<math>\bar{B}\bot </math>
Grenzfläche (z.B. zwischen den Polschuhen eines Ringmagneten mit Luft dazwischen / Material genauso!)):
In diesem Fall (keine Oberflächenströme) ist
:<math>\bar{B}</math>
grundsätzlich stetig!
B ist eh immer grundsätzlich stetig! Wegen der Divergenzgleichung wird B immer (wie D´) für Normalkomponenten herangezogen.

# <u>'''Paramagnetisch:'''</u>

:<math>\begin{align}
& \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}=\bar{M}+\bar{H} \\
& \bar{M}\uparrow \uparrow \bar{H} \\
\end{align}</math>


# <u>'''Paramagnetisch:'''</u>

:<math>\begin{align}
& \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}=\bar{M}+\bar{H} \\
& \bar{M}\uparrow \downarrow \bar{H} \\
\end{align}</math>


<u>'''2.2 Sei '''</u>speziell
:<math>\bar{B}||</math>
Grenzfläche (z.B. lange Spule mit Luft dazwischen / Material genauso!)):
Wir müssen nun Tangentialkomponenten untersuchen. Dazu nimmt man die Rotationsgleichungen (E und H):

In diesem Fall ist
:<math>\bar{H}</math>
stetig für
:<math>\bar{g}=0</math>
(kein Oberflächenstrom)