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| <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=13|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> | | <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=13|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> |
| [[Datei:12.1.gamma.schema.png|miniatur|zentriert|hochkant=3|<math>\gamma</math>-Zerfall]]
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| ==Erhaltungssätze==
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| ;Energie:
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| :<math>{{E}_{i}}-{{E}_{k}}=\hbar \omega </math>
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| (genauer abzüglich der Rückstoßenergie E<sub>R</sub> wegen
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| :<math>{{P}_{i}}=0\to {{P}_{k}}=E/c\to {{E}_{R}}=p_{k}^{2}/2M={{E}^{2}}/2m{{c}^{2}}</math>
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| z.B:
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| <math>E=1MeV,\quad A=50</math> also
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| <math>{{E}_{R}}\approx \frac{{{\left( {{10}^{6}}eV \right)}^{2}}}{2\times 50\times {{10}^{9}}eV}\approx 10eV</math>
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| ;Drehimpuls:<math>\vec I_i - \vec I_k = \vec L</math> der vom <math>\gamma</math>-Quant weggeführte Drehimpuls, Multipolentwicklung
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| ;Parität:<math>{{P}_{i}}{{P}_{k}}={{P}_{str}}</math> Parität der entsprechenden Multipolstrahlung
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| Multipolordnung <math>2^L</math>:
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| ;L=1:Dipol
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| ;L=2:Quadrupol
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| ;L=3:Oktupol
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| ...etc.
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| Elektrische und magnetische Multipole:
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| *E1 E2 E3 ...
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| *M1 M2 M3 ...
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| mit unterschiedlicher Parität:
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| *elektrische <math>E1^- E2^+ E3^- \dots (-1)^L</math>
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| *magnetische <math>M1^- M2^+ M3^- \dots (-1)^{L+1}</math>
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| Danach wird beispielsweise für den Übergang 2<sup>+</sup> --> 0<sup>+</sup> nur E2-Strahlung
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| emittiert, während für einen <math>5/2^- \to 3/2^+</math>-Übergang theoretisch
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| M4-, E3-, M2- und E1-Strahlung auftreten könnte. Da die Übergangswahrscheinlichkeit
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| für wachsende Multipolordnung sehr stark abnimmt,
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| kommt in der Praxis nur die niedrigste Ordnung - hier nur
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| E1 - vor.
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| ==Abschätzung der übergangswahrscheinlichkeiten==
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| Allgemein für die pro zeiteinheit abgestrahlte Energie einer mit
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| der Beschleunigung b bewegten Ladung e:
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| :<math>\frac{dE}{dt}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{2{{e}^{2}}}{3{{c}^{3}}}{{b}^{2}}</math>
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| Für einen '''elektischen Dipol''' <math>er(t) = e r_0 \cos\omega t</math> gilt für die mittlere abgestrahlte Energie wegen <math>b = \omega^2 \cos \omega t</math> und <math>b^2=\frac{1}{2}\omega^4 r_0^2</math>
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| <math>\frac{d\bar{E}}{dt}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{e}^{2}}}{3{{c}^{3}}}{{\omega }^{4}}r_{0}^{2}</math>
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| Die pro Zeiteinheit abgestrahlten photonen erhält man nach Division
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| von <math>\hbar\omega</math> zu:
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| :<math>A=\frac{d\bar{E}}{dt}/\hbar \omega =\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{3}\frac{1}{\hbar }{{\left( \frac{\omega }{c} \right)}^{3}}{{\left( e{{r}_{0}} \right)}^{2}}=\underbrace{\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{e}^{2}}}{\hbar }}_{\alpha =\frac{1}{137}}\omega {{\left( \frac{\omega {{r}_{0}}}{c} \right)}^{2}}</math>
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| Für eine grobe Abschätzung ersetzt man <math>r_0</math> durch den Kernradius R.
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| Damit ist die entscheidende Größe
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| <math>\frac{\omega R}{c}=\frac{R}{\lambda }</math>
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| das Verhältnis von Kernradius
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| zur Wellenlänge/2<math>\pi</math> der Strahlung. Mit <math>R \approx 1,2 \sqrt[3]{A}10^{-15} m</math>
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| und <math>\bar\lambda \approx 200 \times10^{-15} m/E[MeV]</math> ergibt sich für mittelschwere Kerne und <math>E \approx 1 MeV</math> für dieses Verhältnis <math>R/\lambda \approx 10^-2</math>. Wegen <math>\omega \approx 10^{21}s^{-1}</math>
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| für <math>E \approx 1 MeV</math> erhält man für die übergangswahrscheinlichkeit <math>A \approx \frac{1}{137}10^{21-4}s^{-1} \approx 10^{15}s^{-1}</math>. Für höhere elektrische Multipole wird der Faktor
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| <math>{{\left( \frac{\omega R}{c} \right)}^{2}}</math>
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| durch
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| <math>{{\left( \frac{\omega R}{c} \right)}^{2L}}</math>
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| ersetzt. Aufeinanderfolgende Multipolordnungen
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| unterscheiden sich also bei <math>E \approx 1 MeV</math> um ca. 4 - 5
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| Größenordnungen.
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| Für '''magnetische Dipolstrahlung''' wird eR durch <math>\mu_K</math> ersetzt. Magnetische und elektrische Dipolübergänge unterscheiden sich demnachbei den Übergangswahrscheinlichkeiten um den Faktor <math>(\mu_K/eR)^2</math>.
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| Aus der Unschärferelation <math>Rm_v \approx \hbar</math> erhält man für diesen Faktor
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| <math>{{\left( \frac{e\hbar }{2{{m}_{p}}c}/eR \right)}^{2}}\approx {{\left( \frac{v}{c} \right)}^{2}}\approx {{10}^{-2}}-{{10}^{-3}}</math>. Für höhere magnetische Multipolordnungen
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| wird <math>\mu_K</math> durch <math>\mu_L\cdot R^{L-1}</math> ersetzt, so daß dieser Faktor auch für höhere Multipolordnungen gilt.
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| Zusammenfassend:
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{A(ML)}{A(EL)}\approx {{\left( \frac{v}{c} \right)}^{2}} \\
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| & \frac{A(EL+1)}{A(EL)}\approx {{\left( \frac{R}{{\bar \lambda}} \right)}^{2}} \\
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| \end{align}</math>
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| Die experimentellen Werte sind für E1 um ca. <math>10^3 - 10^6</math> langsamer,
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| für E2 um ca <math>10^2</math> schneller und für die übrigen Übergänge um ca. <math>10^1
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| - 10^2</math> langsamer als die (Blatt-Weisskopf)-Abschätzungen.
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| Bei hohen Kernspindifferenzen zwischen den Übergangsniveaus ergeben
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| sich sehr große Halbwertzeiten (sec <-> Jahre) des angeregten
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| Niveaus (isomere Zustände). Sie häufen sich für Kerne mit Z oder N
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| kurz vor Erreichen der magischen Zahlen 50, 82, 126.
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| Bei hohen Multipolordnungen und/oder kleinen Übergangsenergien
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| tritt als Konkurrenzprozeß die {{FB|innere Konversion}} in den Vordergrund,
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| bei der statt eines <math>\gamma</math>-Quants ein Hüllenelektron mit <math>E = E_\gamma
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| - E_B</math> (<math>E_B</math> Bindungsenergie) emittiert wird. Dieser Effekt entspricht
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| dem {{FB|Augereffekt}} in der Atomhülle.
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