Editing Freie Wellenausbreitung im Vakuum

<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|4|1}}</noinclude>

Betrachte einen Raumbereich ohne Quellen:

:<math>\rho =0</math>

:<math>\bar{j}=0</math>

Damit:

:<math>\#\Phi =-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho =0\Rightarrow \#\Phi =0</math>

:<math>\#\bar{A}=-{{\mu }_{0}}\bar{j}=0\Rightarrow \#\bar{A}=0</math>

Dies sind die homogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung

Wegen

:<math>\begin{align}
& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
\end{align}</math>

gilt auch

:<math>\begin{align}
& \#\bar{E}=0 \\
& \#\bar{B}=0 \\
\end{align}</math>

Dies folgt auch direkt aus

:<math>\begin{align}
& \nabla \times \bar{B}={{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\dot{\bar{E}} \\
& \nabla \times \bar{E}=-\dot{\bar{B}} \\
& \Rightarrow mit\quad \nabla \cdot \bar{E}=0 \\
& \left( \Delta -{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}} \right)\bar{E}=0 \\
\end{align}</math>

<u>'''Allgemeine Lösung '''</u>von
:<math>u(\bar{r},t)=0</math>
:

:<math>u(\bar{r},t)=F(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)</math>

mit einer beliebigen, zweifach diffbaren Funktion
:<math>F(\phi )</math> und <math>\varpi =c\left| {\bar{k}} \right|</math>
(dÁlembertsche Lösung)
Beweis:

:<math>\#F(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)=\left( {{{\bar{k}}}^{2}}-\frac{{{\varpi }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)F\acute{\ }\acute{\ }\left( \phi  \right)=0</math>

Nebenbemerkung:
:<math>F(\phi )</math>
muss nicht periodisch in
:<math>\phi </math>
sein!
Gegenbeispiel sind solitäre Lösungen / solitäre Wellen = Solitonen :


Der Wellenvektor
:<math>\bar{k}</math>
zeigt in Ausbreitungsrichtung:


Es gilt:
:<math>\nabla \phi (\bar{r},t)=\bar{k}</math>

Die markierten Flächen sind sogenannte Phasenflächen. Dies sind Flächen konstanter Phase:

:<math>\bar{k}\bar{r}-\varpi t=\phi (\bar{r},t)=const!</math>

Somit ergibt sich für ebene Wellen die Bedingung:

:<math>\bar{k}\left( \bar{r}-\frac{1}{{{k}^{2}}}\bar{k}\left( \varpi t+\phi  \right) \right)=0</math>

Die  Ausbreitung der Orte konstanter Phase folgt der Bedingung:

:<math>\bar{r}(t)=\frac{1}{{{k}^{2}}}\bar{k}\left( \varpi t+\phi  \right)</math>

Somit ergibt sich die Phasengeschwindigkeit

:<math>\begin{align}
& {{v}_{ph}}=\left. \frac{d\bar{r}(t)}{dt} \right|_{\phi =const}^{{}}=\frac{{\bar{k}}}{{{k}^{2}}}\varpi =c\frac{{\bar{k}}}{k} \\
& \frac{{\bar{k}}}{k}:=\bar{n} \\
\end{align}</math>

spezielle Lösung:  Harmonische Ebene Welle

:<math>u(\bar{r},t)=\tilde{u}(\bar{k}){{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)}}</math>

mit der komplexen Amplitude

:<math>\tilde{u}(\bar{k})</math>

Die lineare Superposition der Wellen ist wegen der Linearität möglich und lautet formal für die allgemeine Dispersionsrelation
:<math>\varpi (\bar{k})</math>

:<math>u(\bar{r},t)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}k}\tilde{u}(\bar{k}){{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi (\bar{k})t)}}</math>

Literatur: Vergleiche FK Brillouin, L. Wave propagation and group velocity

Sei

:<math>\tilde{u}(\bar{k})</math> um <math>{{\bar{k}}_{0}}</math>
herum lokalisiert:

So ergibt sich ein '''Wellenpaket ''', welches im Ortsraum lokalisiert ist!

Denn: Die Taylorentwicklung der Phase um
:<math>{{\bar{k}}_{0}}</math> ergibt <math>\begin{align}
& \varpi (\bar{k})\approx \varpi ({{{\bar{k}}}_{0}})+\left( \bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \right){{\nabla }_{k}}\varpi (\bar{k}){{\left. {} \right|}_{\bar{k}={{{\bar{k}}}_{0}}}}+\frac{1}{2!}{{\left( \bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \right)}^{2}}{{\left( {{\nabla }_{k}} \right)}^{2}}\varpi (\bar{k}){{\left. {} \right|}_{\bar{k}={{{\bar{k}}}_{0}}}}+... \\
& {{\nabla }_{k}}\varpi (\bar{k}){{\left. {} \right|}_{\bar{k}={{{\bar{k}}}_{0}}}}={{{\bar{v}}}_{g}} \\
& \varpi (\bar{k})\approx \varpi ({{{\bar{k}}}_{0}})+\left( \bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \right){{{\bar{v}}}_{g}} \\
\end{align}</math>

Diese lineare Näherung ergibt nun gerade

:<math>\begin{align}
& u(\bar{r},t)={{e}^{i({{{\bar{k}}}_{0}}\bar{r}-{{\varpi }_{0}}t)}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}\tilde{k}}\tilde{u}({{{\bar{k}}}_{0}}+\tilde{\bar{k}}){{e}^{i\tilde{\bar{k}}(\bar{r}-{{{\bar{v}}}_{g}}t)}} \\
& \tilde{\bar{k}}=\bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \\
\end{align}</math>

Dies ist zu interpretieren als

:<math>{{e}^{i({{{\bar{k}}}_{0}}\bar{r}-{{\varpi }_{0}}t)}}</math>
eine Trägerwelle mit der Phasengschwindigkeit
:<math>{{\bar{v}}_{ph}}=\frac{{{\varpi }_{0}}}{{{k}_{0}}}</math>

:<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}\tilde{k}}\tilde{u}({{\bar{k}}_{0}}+\tilde{\bar{k}}){{e}^{i\tilde{\bar{k}}(\bar{r}-{{{\bar{v}}}_{g}}t)}}</math>
als Einhüllende, deren Maximum sich mit der Gruppengeschwindigkeit

:<math>{{\bar{v}}_{g}}={{\nabla }_{k}}\varpi \left( {\bar{k}} \right)</math>
bewegt:


Wir erhalten die Dispersionsrelation
:<math>\varpi \left( {\bar{k}} \right)</math>

elektromagnetische Wellen im Vakuum:
:<math>\varpi \left( {\bar{k}} \right)=c\left| {\bar{k}} \right|\Rightarrow {{\bar{v}}_{g}}=c\frac{{\bar{k}}}{\left| {\bar{k}} \right|}={{\bar{v}}_{ph}}=\frac{1}{\sqrt{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}\bar{n}</math>

es gibt also keine Dispersion (kein zerfließen!)

Im Gegensatz zu elektromagentischen Wellen in dispersiven Medien oder quantenmechanischen Materiewellen im Vakuum!

<u>'''Polarisation'''</u>

Betrachte eine elektromagnetische Welle:

:<math>\begin{align}
& \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)}} \\
& \bar{B}(\bar{r},t)={{{\bar{B}}}_{0}}{{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)}} \\
\end{align}</math>

Allgemein gilt:

:<math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
heißt transversal, wenn
:<math>\nabla \cdot \bar{E}(\bar{r},t)=0</math>
(quellenfrei)

:<math>\Rightarrow i\bar{k}\cdot \bar{E}(\bar{r},t)=0\Rightarrow \bar{k}\bot \bar{E}(\bar{r},t)</math>

:<math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
heißt longitudinal, wenn
:<math>\nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)=0</math>
(wirbelfrei)

:<math>\Rightarrow i\bar{k}\times \bar{E}(\bar{r},t)=0\Rightarrow \bar{k}||\bar{E}(\bar{r},t)</math>

Für
:<math>\rho =0</math>
ist wegen
:<math>\nabla \cdot \bar{E}(\bar{r},t)=0</math>
das elektrische Feld transversal.
Wegen
:<math>\nabla \cdot \bar{B}(\bar{r},t)=0</math>
ist das magnetische Feld stets transversal!

Weiter folgt aus:

:<math>\nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)+\dot{\bar{B}}=0</math>

dass die transversale Komponente des elektrischen Feldes durch die zeitliche Änderung des Magnetfeldes gegeben ist!

:<math>\begin{align}
& \nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)+\dot{\bar{B}}=0 \\
& \Rightarrow \left( i\bar{k}\times {{{\bar{E}}}_{0}}-i\varpi {{{\bar{B}}}_{0}} \right){{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right)}}=0 \\
& \varpi =c\left| {\bar{k}} \right| \\
& \Rightarrow {{{\bar{B}}}_{0}}=\frac{1}{c}\frac{{\bar{k}}}{\left| {\bar{k}} \right|}\times {{{\bar{E}}}_{0}}:=\frac{1}{c}\bar{n}\times {{{\bar{E}}}_{0}} \\
\end{align}</math>

Folglich bilden
:<math>\bar{k},{{\bar{E}}_{0}},{{\bar{B}}_{0}}</math>
ein Rechtssystem!

Die Richtung von
:<math>\operatorname{Re}\left\{ {{{\bar{E}}}_{0}},{{{\bar{B}}}_{0}} \right\}</math>
legt die Polarisation fest:

Sei
:<math>\bar{k}||{{\bar{e}}_{3}}</math>
- Achse, also:

:<math>\begin{align}
& {{{\bar{E}}}_{0}}={{E}_{01}}{{{\bar{e}}}_{1}}+{{E}_{02}}{{{\bar{e}}}_{2}} \\
& {{E}_{0i}}={{a}_{i}}{{e}^{i{{\delta }_{i}}}}\in C \\
& {{a}_{i}},{{\delta }_{i}}\in R \\
& i=1,2 \\
\end{align}</math>

Das physikalische Feld ergibt sich zu
:<math>\begin{align}
& {{{\bar{E}}}_{1}}(\bar{r},t)=\operatorname{Re}\left\{ {{a}_{1}}{{e}^{i\left( {{\delta }_{1}}+\bar{k}\bar{r}-\varpi t \right)}} \right\}={{a}_{1}}\cos \left( \phi +{{\delta }_{1}} \right) \\
& \phi :=\bar{k}\bar{r}-\varpi t \\
\end{align}</math> und <math>{{\bar{E}}_{2}}(\bar{r},t)=\operatorname{Re}\left\{ {{a}_{2}}{{e}^{i\left( {{\delta }_{2}}+\phi  \right)}} \right\}={{a}_{2}}\cos \left( \phi +{{\delta }_{2}} \right)</math>

Aus

:<math>\begin{align}
& \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}(\bar{r},t)=\cos \phi \cos {{\delta }_{1}}-\sin \phi \sin {{\delta }_{1}} \\
& \frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}(\bar{r},t)=\cos \phi \cos {{\delta }_{2}}-\sin \phi \sin {{\delta }_{2}} \\
\end{align}</math>

Kann
:<math>\phi </math>
und somit
:<math>\left( \bar{r},t \right)</math>
eliminiert werden:

:<math>\begin{align}
& \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\sin {{\delta }_{2}}-\frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}\sin {{\delta }_{1}}=\cos \phi \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right) \\
& \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\cos {{\delta }_{2}}-\frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}\cos {{\delta }_{1}}=\sin \phi \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right) \\
& \Rightarrow {{1}^{2}}+{{2}^{2}}\Rightarrow {{\left( \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2} \right)}^{2}}-2\frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}\cos \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)={{\sin }^{2}}\left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right) \\
\end{align}</math>

Dies ist jedoch eine Ellipsengleichung für
:<math>{{\bar{E}}_{1}},{{\bar{E}}_{2}}</math>
:


Der Feldvektor
:<math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
läuft als Funktion von
:<math>\phi </math>
auf einer Ellipse senkrecht zu
:<math>\bar{k}</math>
um die Achse der Ausbreitungsrichtung. Man spricht von elliptischer Polarisation:


Dabei entspricht die Darstellung dem Ortsvektor
:<math>\bar{r}</math>
für eine feste Zeit t oder der vorhergehenden zeit -t für einen festen Ort
:<math>\bar{r}</math>.


<u>'''Spezialfälle:'''</u>

<u>'''Linear polarisierte Welle:'''</u>

:<math>\begin{align}
& {{\delta }_{1}}={{\delta }_{2}}+n\pi \Rightarrow \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=0,\cos \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=\pm 1 \\
& \Rightarrow \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\pm \frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}=0 \\
\end{align}</math>

Dies ist jedoch eine Geradengleichung:

:<math>\bar{E}(\bar{r},t)={{\bar{E}}_{0}}\cos \phi (\bar{r},t)</math>

mit reeller Amplitude

:<math>{{\bar{E}}_{0}}</math>

<u>'''Zirkular polarisierte Welle'''</u>

:<math>\begin{align}
& a1=a2=a \\
& {{\delta }_{1}}={{\delta }_{2}}+\left( 2n+1 \right)\frac{\pi }{2}\Rightarrow \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=\pm 1,\cos \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=0 \\
& \Rightarrow {{{\bar{E}}}_{1}}^{2}+{{{\bar{E}}}_{2}}^{2}={{a}^{2}} \\
\end{align}</math>

Dies entspricht der Überlagerung zweier linear polarisierter Wellen, die um
:<math>\frac{\pi }{2}</math>
phasenverschoben sind!
Der Feldvektor des elektrischen Feldes läuft auf einem Kreis um

:<math>\bar{E}(\bar{r},t)=a\left( \begin{matrix}
\cos \phi   \\
\pm \sin \phi   \\
\end{matrix} \right)</math>

Je nach Vorzeichen spricht man von links- bzw. rechtszirkular polarisiertem Licht:

Dabei läuft
:<math>\bar{B}(\bar{r},t)</math> dem <math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
- Vektor um
:<math>\frac{\pi }{2}</math>
verschoben nach bzw. voraus!

<u>'''Energiedichte der elektromagnetischen Welle:'''</u>

:<math>{{\bar{E}}_{0}}(\bar{r},t)</math>
reell:
:<math>\begin{align}
& \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}\cos \left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right) \\
& \bar{B}(\bar{r},t)={{{\bar{B}}}_{0}}\cos \left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right) \\
\end{align}</math> mit <math>{{\bar{B}}_{0}}=\frac{1}{c}\bar{n}\times {{\bar{E}}_{0}}</math>

Die Energiedichte ergibt sich gemäß

:<math>w=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}+\frac{1}{2{{\mu }_{0}}}{{\bar{B}}^{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}+\frac{1}{2{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}}{{\bar{E}}^{2}}=2\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}</math>

Für die Energiestromdichte gilt:

:<math>\begin{align}
& \bar{S}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{E}\times \bar{B} \\
& \bar{S}=\frac{1}{c{{\mu }_{0}}}\bar{E}\times \left( \bar{n}\times \bar{E} \right)=\sqrt{\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{\mu }_{0}}}}{{{\bar{E}}}^{2}}\bar{n}=c{{\varepsilon }_{0}}{{{\bar{E}}}^{2}}\bar{n}=cw\bar{n} \\
\end{align}</math>

Also:
Die Energie wird mit Lichtgeschwindigkeit in Richtung
:<math>\bar{n}=\frac{{\bar{k}}}{\left| {\bar{k}} \right|}</math>
transportiert
Für ine Kugelwelle:
:<math>\bar{E}(\bar{r},t)=\frac{1}{r}{{\bar{E}}_{0}}\cos \left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right)</math>
verteilt sich die Energie auf eine Kugelschale:

für die Energie in einer Kugelschale mit dem Radius r und der Dicke dr gilt:

:<math>W(r)=4\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}^{2}}(\bar{r},t)</math>

Dabei kann der Exponent der Feldfunktion zeitlich gemittelt werden (sinus²) und es ergibt sich ein Faktor 1/2:

:<math>W(r)=4\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}^{2}}(\bar{r},t)=2\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}\frac{{{{\bar{E}}}_{0}}^{2}}{{{r}^{2}}}=const.</math>