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Formaler Aufbau der Quantenmechanik
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<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=2|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. T. Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}=Formaler Aufbau der Quantenmechanik=</noinclude> Ein Anfang der Quantenmechanik ist der {{FB|Kommutator|Ort-Impuls}} {{NumBlk|:| :<math>\left[ \underline{x},\underline{p} \right]=\mathfrak{i} \hbar </math> : |(2.1)|RawN=.}} mit den Operatoren{{FB|Ortsoperator}} <math>\hat{x}</math>(Ort) <math>\hat{p}</math>(Impuls{{FB|Impulsoperator}}), einer {{FB|UnschĂ€rferelation}} {{NumBlk|:| :<math>\Delta x\Delta p\ge \frac{\hbar }{2}</math> : |(2.2)|RawN=.}} und quantenmechanischen ZustĂ€nden, die mit Wellenfunktionen, z.B. <math>\Psi \left( {\underline{x}} \right)</math>beschrieben werden. Diese ZustĂ€nde sind Elemente eines Hilbertraums, auf dem die Operatoren der MessgröĂen operieren. ===Hilbertraum=== {{NumBlk|:|Definition|(2.3)|RawN=.}}: Ein {{FB|Hilbertraum}} ist ein vollstĂ€ndiger unitĂ€rer Raum. {{NumBlk|:|Definition|(2.4)|RawN=.}}: Ein Vektorraum mit Skalarprodukt <math>\left\langle \Phi | \Psi \right\rangle </math> und (induzierter) Norm <math>\left\| \Psi \right\|:=\sqrt{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle }</math> heiĂt {{FB|unitĂ€rer Raum}}. {{NumBlk|:|Definition|(2.5)|RawN=.}}: Eine '''{{FB|Norm}}''' eines komplexen Vektorraums V ist ein Abbildung <math>V\to {{\mathbb{R}}^{+}}</math>, so dass fĂŒr <math>\Psi ,\Phi \in V</math> gilt # <math>\left\| \Psi \right\|\ge 0,\left\| \Psi \right\|=0\Leftrightarrow \Psi =0</math> # <math>\left\| c\Psi \right\|=c\left\| \Psi \right\|,\quad c\in \mathbb{C}</math> # <math>\left\| \Psi +\Phi \right\|\le \left\| \Psi \right\|+\left\| \Phi \right\|</math> {{NumBlk|:|Definition|(2.6)|RawN=.}}: Ein '''{{FB|Skalarprodukt}}''' eines Vektorraums V ist eine Abbildung <math>\left( V,V \right)\to \mathbb{C}</math>, so dass fĂŒr <math>\psi ,\phi ,\chi \in V</math>gilt: :<math>\begin{align} & \left\langle \psi | \psi \right\rangle \ge 0 \\ & \left\langle \psi +\phi | \chi \right\rangle =\left\langle \psi | \chi \right\rangle +\left\langle \phi | \chi \right\rangle \\ & \left\langle \psi | c\phi \right\rangle =c\left\langle \psi | \phi \right\rangle \quad c\in \mathbb{C} \\ & \left\langle \psi | \phi \right\rangle ={{\left\langle \phi | \psi \right\rangle }^{*}}=\overline{\left\langle \phi | \psi \right\rangle } \\ \end{align}</math> {{NumBlk|:|Definition|(2.7)|RawN=.}}: Ein Folge <math>\left\{ {{\Psi }_{n}} \right\}</math>in einem normierten Raum heiĂt {{FB|Cauchy-Folge}}, falls <math>\forall \varepsilon >0\exists N\left( \varepsilon \right)</math> ganz so dass <math>\forall n,m>N\left( \varepsilon \right)\Rightarrow \left\| {{\Psi }_{n}}-{{\Psi }_{m}} \right\|<\varepsilon </math>. {{NumBlk|:|Definition|(2.8)|RawN=.}}: Ein unitĂ€rer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert heiĂt vollstĂ€ndig{{FB|vollstĂ€ndiger unitĂ€rer Raum}}. Beispiele: # Hilbertraum <math>\mathcal{H}={{\mathbb{C}}^{n}}</math>, n-dimensionaler komplexer Vektorraum mit Basis <math>{{\underline{e}}_{1}}=\left( \begin{align} & 1 \\ & 0 \\ & \vdots \\ & 0 \\ \end{align} \right)\quad {{\underline{e}}_{2}}=\left( \begin{align} & 0 \\ & 1 \\ & \vdots \\ & 0 \\ \end{align} \right)\quad ...\quad {{\underline{e}}_{n}}=\left( \begin{align} & 0 \\ & 0 \\ & \vdots \\ & 1 \\ \end{align} \right)</math>. # Hilbertraum <math>{{\mathcal{H}}_{L}}</math>der quadratintegrierbaren Wellenfunktionen eines Potentialtopfes mit unendlich hohen WĂ€nden in 1 Dimension # :<math>\Psi \left( {\underline{x}} \right)</math> auf <math>x\in \left[ 0,L \right],\Psi \left( 0 \right)=\Psi \left( L \right)=0</math> :<math>-\frac{\hbar }{2m}\Psi '{{'}_{n}}\left( x \right)={{E}_{n}}{{\Psi }_{n}}\left( x \right)</math> {{NumBlk|:|Basis :<math>{{\Psi }_{n}}\left( x \right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{n\pi x}{L} \right),\quad {{E}_{n}}=\frac{{{\left( \hbar n\pi \right)}^{2}}}{2m{{L}^{2}}},\quad n\in \mathbb{N}</math> : |(2.9)|RawN=.}} Skalarprodukt :<math>\begin{align} & \left\langle \Psi | \Phi \right\rangle =\int\limits_{0}^{L}{{{\Psi }^{*}}\left( x \right)\Phi \left( x \right)dx} \\ & \left\langle {{\Psi }_{n}} | {{\Psi }_{m}} \right\rangle ={{\delta }_{mn}} \\ \end{align}</math> * {{FB|VollstĂ€ndigkeit}}: <math>\Phi \left( x \right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\underbrace{\left\langle {{\Psi }_{n}} | \Phi \right\rangle }_{\text{Fourierkoeffizient}}{{\Psi }_{n}}\left( {\underline{x}} \right)\quad \forall \Phi \in {{\mathcal{H}}_{L}}}</math> vergleich mit <math>\underline{y}=\sum\limits_{n=1}^{d}{\left\langle {{{\underline{e}}}_{n}} | {\underline{y}} \right\rangle {{{\underline{e}}}_{n}}\quad k\forall \underline{y}\in {{\mathbb{C}}^{n}}}</math> <FONT COLOR="#3300CC">(AUFGABE)</FONT>: # Definiere <math>\Phi \in {{\mathcal{H}}_{L}}</math>mit <math>\Phi \left( x \right)=Nx\left( L-x \right)</math> # bestimme N so dass <math>\left\| \Phi \right\|=1</math> # Beweise die Formel <math>\frac{{{\pi }^{3}}}{32}=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{{{\left( 2k+1 \right)}^{3}}}}</math> # Beweise die {{FB|Cauchy-Scharz Ungleichung}} <math>\left| \left\langle \alpha | \beta \right\rangle \right|\le \left\| \alpha \right\|\left\| b \right\|</math>fĂŒr <math>\left| \alpha \right\rangle ,\left| \beta \right\rangle \in \mathcal{H}</math> Definition: <math>\left\{ {{\Psi }_{n}} \right\}</math> {{FB|vollstĂ€ndiges Orthogonalsystem}} eins HR<math>\mathcal{H}</math> {{NumBlk|:| :<math>\Leftrightarrow \left\langle {{\Psi }_{n}} | {{\Psi }_{n'}} \right\rangle ={{\delta }_{nn'}}</math> und <math>\Phi =\sum\limits_{n}{\left\langle {{\Psi }_{n}} | \Phi \right\rangle {{\Psi }_{n}}\quad \forall \Phi \in \mathcal{H}}</math> |(2.10)|RawN=.}} ---- Satz (Parseval) {{NumBlk|:| :<math>\Phi =\sum\limits_{n}{\left\langle {{\Psi }_{n}} | \Phi \right\rangle {{\Psi }_{n}}\Leftrightarrow {{\left\| \Phi \right\|}^{2}}=\sum\limits_{n}{{{\left| \left\langle {{\Psi }_{n}} | \Phi \right\rangle \right|}^{2}}}}</math> : |(2.11)|RawN=.}} Bemerkung: * VollstĂ€ndige ânormierte RĂ€umeâ heiĂen BanachrĂ€ume{{FB|Banachraum}} (haben kein Skalarprodukt) * Mehr Details: Funktionalanalysis z.B. Bornstein/Senendajew Taschenbuch der Mathematik, ergĂ€nzende Kapitel ===Dirac-Notation=== Bequeme Notation fĂŒr Κ, Skalarprodukte <math>\left\langle \Psi | \Phi \right\rangle </math>etc. eines Hilbertraum :<math>\mathcal{H}</math> # {{NumBlk|:| {{FB|ZustĂ€nde}} <math>\Phi \leftrightarrow \left| \Phi \right\rangle </math> # âKetâ, âDirac-Ketâ |(2.12)|RawN=.}} # {{FB|Skalarprodukt}} von <math>\Psi \text{ und }\Phi \leftrightarrow \left\langle \Psi | \Phi \right\rangle ={{\left\langle \Phi | \Psi \right\rangle }^{*}}</math> # VollstĂ€ndigkeitsrelation{{FB|VollstĂ€ndigkeitsrelation}} fĂŒr Basis <math>{{\Psi }_{n}}\leftrightarrow \left| n \right\rangle </math> # :<math>\begin{align} & \left| \Phi \right\rangle =\sum\limits_{n}{\left\langle n | \Phi \right\rangle \left| n \right\rangle } \\ & \left| \Phi \right\rangle =\sum\limits_{n}{\underbrace{\left| n \right\rangle \left\langle n \right|}_{{\underline{1}}}\left. \Phi \right\rangle } \\ \end{align}</math> {{NumBlk|:|â{{FB|vollstĂ€ndige Eins}}â :<math>\underline{1}=\left| n \right\rangle \left\langle n \right|</math> : |(2.13)|RawN=.}} #{{FB|Dualraum}} und Bra-ZustĂ€nde Dualraum <math>{{\mathcal{H}}^{*}}</math>eines Hilbertraum <math>\mathcal{H}</math>: Raum aller linearen Funktionale {{NumBlk|:| :<math>\left\langle \Psi \right|:\mathcal{H}\to \mathbb{C},\quad \left| \Phi \right\rangle \to \left\langle \Psi | \Phi \right\rangle </math> : |(2.14)|RawN=.}} Vektor <math>\left| \Psi \right\rangle </math>als Funktional <math>\left\langle \Psi \right|</math>aufgefasst wie in (2.14) heiĂt âDirac-Braâ oder einfach âBraâ Name von <math>\underbrace{\left\langle \Psi \right.}_{\text{bra}}|\underbrace{\left. \Phi \right\rangle }_{\text{ket}}</math>engl. âbracketâ Geometrische Interpretation im <math>{{\mathbb{R}}^{3}}</math>: # <math>\left| {{\Phi }_{i}} \right\rangle </math>als{{FB|Ket}}s: normale Vektoren # <math>\left\langle {{\Phi }_{i}} \right|</math>als{{FB|Bra}}s: als Abbildung, z.B. <math>\left\langle {{\Phi }_{3}} \right|:\underbrace{\left| \Phi \right\rangle }_{\in {{\mathbb{R}}^{3}}}\to \underbrace{\left\langle {{\Phi }_{3}} | \Phi \right\rangle }_{\in \mathbb{R}}</math>Projektion auf 3-Achse <math>\left\langle {{\Phi }_{1}} \right|,\left\langle {{\Phi }_{2}} \right|,\left\langle {{\Phi }_{3}} \right|</math> Basis fĂŒr Dualraum <math>{{\mathbb{R}}^{3}}</math>, d.h. jedes Funktional <math>\left\langle f \right|</math> (Projektion) als Linearkombination <math>{{c}_{1}}\left\langle {{\Phi }_{1}} \right|+{{c}_{2}}\left\langle {{\Phi }_{2}} \right|+{{c}_{3}}\left\langle {{\Phi }_{3}} \right|\equiv \left\langle f \right|</math> # âTricksâ: Dirac-Notation sehr flexibel, z.B. # <math>{{\left\| \Phi \right\|}^{2}}=\left\langle \Phi | \Phi \right\rangle =\left\langle \Phi |\underline{1}|\Phi \right\rangle =\sum\limits_{n}{\left\langle \Phi | n \right\rangle }\left\langle n | \Phi \right\rangle ={{\sum\limits_{n}{\left| \left\langle n | \Phi \right\rangle \right|}}^{2}}</math> # <u>â{{FB|Einschieben der Eins}}â</u> ===Operatoren in der Quantenmechanik=== Definition: Ein '''{{FB|linearer Operator}}''' <math>\hat{A}:\mathcal{H}\to \mathcal{H}</math> (<math>\mathcal{H}</math> Hilbertraum), erfĂŒllt {{NumBlk|:| :<math>\hat{A}\left( \left| \Psi \right\rangle +c\left| \Phi \right\rangle \right)=\hat{A}\left| \Psi \right\rangle +c\hat{A}\left| \Phi \right\rangle </math> : |(2.15)|RawN=.}} Beispiele: # {{FB|Ortsoperator}}<math>\hat{x}</math> {{FB|Impulsoperator}} <math>\hat{p}=\frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }</math> fĂŒr <math>\mathcal{H}={{\mathcal{H}}_{L}}:\quad \hat{x}:\Psi \left( x \right)\to x\Psi \left( x \right)\quad \hat{p}:\Psi \left( x \right)\to \frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\Psi '\left( x \right)</math> # n x n-Matrizen auf <math>{{\mathbb{C}}^{2}}</math> :<math>{{\mathbb{C}}^{2}}</math>ist in der Tat der einfachste nichttriviale Hilbertraum, auf dem sich Quantenmechanik machen lĂ€sst! Beispiel Spin Âœ, Pauli-Matrizen. Definition Der {{FB|Erwartungswert}} eines Operators <math>\hat{A}</math>im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math>ist {{NumBlk|:| :<math>{{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{\Psi }}:=\frac{\left\langle \Psi | \hat{A}\Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle }:=\frac{\left\langle \Psi \left| {\hat{A}} \right|\Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle }</math> : |(2.16)|RawN=.}} {{NumBlk|:|Definition|(2.17)|RawN=.}}: {{FB|Matrixelement}} eines Operators <math>\left\langle n\left| {\hat{A}} \right|m \right\rangle </math> Beispiele <math>\left| n \right\rangle \to {{\Psi }_{n}}\left( x \right)</math>Wellenfunktion des eindimensionalen Oszillators, normiert. :<math>\hat{A}={{\hat{x}}^{2}}</math> Dann ist <math>{{\left\langle {\hat{x}} \right\rangle }_{n}}=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{\Psi }_{n}}^{*}\left( x \right){{x}^{2}}{{\Psi }_{n}}\left( x \right)dx=}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{x}^{2}}\underbrace{{{\left| \Psi \left( x \right) \right|}^{2}}}_{\text{Wahrscheinlichkeitsdichte}}dx}</math> {{NumBlk|:|Definition|(2.18)|RawN=.}}: Der zu einem linearen Hilbertraum-Operator A '''adjungierte Operator{{FB|adjungierter Operator}}''' A<sup>+</sup> ist definiert durch :<math>\left\langle \Psi | A\Phi \right\rangle =\left\langle {{A}^{+}}\Psi | \Phi \right\rangle \quad \forall \Psi ,\Phi \in \mathcal{H}</math> {{NumBlk|:|Definition|(2.19)|RawN=.}}: Ein linearer Operator heiĂt {{FB|hermitesch}} ({{FB|selbstadjungiert}})<ref>i.A. ungleich (der Unterscheid ist manchmal wichtig)</ref>, <math>{{A}^{+}}=A</math> wenn :<math>\left\langle \Psi | A\Phi \right\rangle =\left\langle A\Psi | \Phi \right\rangle \quad \forall \Psi ,\Phi \in \mathcal{H}</math> Axiom: In der Quantenmechanik werden physikalische MessgröĂen als Observable bezeichnet und durch selbstadjungierte Operatoren auf einem Hilbertraum dargestellt. * Energie <math>\mathcal{H}</math>Hamiltonoperator {{NumBlk|:| :<math>\hat{H}=\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}+V\left( {\underline{r}} \right)</math> : |(2.20)|RawN=.}} fĂŒr nichtrelativistische Teilchen der Masse * Ort <math>\hat{r}</math>, Impuls <math>\hat{p}=\frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }</math>, Drehimpuls{{FB|Drehimpuls}} <math>\hat{L}=\hat{r}\times \hat{p}</math> * Spin Âœ (HelizitĂ€t) in Richtung <math>\hat{n}</math>fĂŒr Dirac-Teilchen, * :<math>\frac{1}{2}\hat{n}\Sigma =\frac{1}{2}\left( \begin{matrix} \hat{n}\underline{\sigma } & 0 \\ 0 & \hat{n}\underline{\sigma } \\ \end{matrix} \right)</math> vgl. Satz: Die Eigenwerte selbstadjungierter Operatoren sind reell die Eigenkets sind orthogonal. Damit erhĂ€lt man die {{FB|Spektralzerlegung}} von Operatoren <math>\hat{A}</math>nach seinen EigenzustĂ€nden, d.h. {{NumBlk|:| :<math>\hat{A}\left| n \right\rangle ={{a}_{n}}\left| n \right\rangle \Rightarrow \hat{A}=\sum\limits_{n}{{{a}_{n}}{{{\hat{P}}}_{n}}}</math> : |(2.21)|RawN=.}} mit <math>{{\hat{P}}_{n}}</math>dem orthogonalen Projektor auf Unterraum der von den Eigenvektoren zum Eigenwert a<sub>n</sub> aufgespannt wird. Falls a<sub>n</sub> nicht entartet, gilt :<math>{{\hat{P}}_{n}}=\left| n \right\rangle \left\langle n \right|</math>, <math>\left| n \right\rangle </math>normiert. Axiom: Die möglichen Messwerte einer Observablen Ă im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> sind die Eigenwerte a<sub>n</sub>, die mit Wahrscheinlichkeit {{NumBlk|:| <math>prob\left( {{a}_{n}} \right)=\frac{\left\langle \Psi \left| {{{\hat{P}}}_{n}} \right|\Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi | \Psi \right\rangle }</math> |(2.22)|RawN=.}} auftreten. Wird a<sub>n</sub> gemessen, so geht <math>\left| \Psi \right\rangle </math>instantan in <math>\frac{{{P}_{n}}\left| \Psi \right\rangle }{\sqrt{\left\langle \Psi \left| {{P}_{n}} \right|\Psi \right\rangle }}</math> ĂŒber (âKopenhagener Deutungâ, âReduktion des Wellenpaketsâ). ===Das Zweiniveausystem als einfachstes Quantensystem=== Wir betrachten ein Teilchen, das zwischen zwei Potentialmulden (L links) und (R rechts) hin und her-tunnelt. In grober Vereinfachung betrachten wir nur die Energie der tiefsten ZustĂ€nde links und rechts <math>{{\varepsilon }_{L}}</math>und <math>{{\varepsilon }_{R}}</math> Ohne tunneln wĂ€re der Hamiltonoperator fĂŒr dieses vereinfachte System {{NumBlk|:| :<math>{{\hat{H}}_{0}}={{\varepsilon }_{L}}\left| L \right\rangle \left\langle L \right|+{{\varepsilon }_{R}}\left| R \right\rangle \left\langle R \right|</math> : |(2.23)|RawN=.}} Im Matrix- Schreibweise als {{FB|Qubit}} im Hilbertraum <math>\mathcal{H}={{\mathbb{C}}^{2}}</math> {{NumBlk|:| :<math>\left| L \right\rangle =\left( \begin{align} & 1 \\ & 0 \\ \end{align} \right);\quad \left| R \right\rangle =\left( \begin{align} & 0 \\ & 1 \\ \end{align} \right);\quad {{\hat{H}}_{0}}=\left( \begin{matrix} {{\varepsilon }_{L}} & 0 \\ 0 & {{\varepsilon }_{R}} \\ \end{matrix} \right)</math> : |(2.24)|RawN=.}} Den (komplizierten) {{FB|Tunneleffekt}} bestreiben wir vereinfacht durch ein â{{FB|effektives Potential}}â <math>\hat{V}</math>in <math>\mathcal{H}</math>, d.h. durch den {{NumBlk|:|{{FB|Tunnel-Operator}} <math>\hat{V}={{T}_{c}}\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)={{T}_{c}}{{\sigma }_{x}}</math> : |(2.25)|RawN=.}} Den Gesamt-Hamilton-Operator beschreiben wir durch die Summe {{NumBlk|:| :<math>\hat{H}={{\hat{H}}_{0}}+\hat{V}</math> : |(2.26)|RawN=.}} <FONT COLOR="#3300CC">'''''AUFGABENâŠ'''''</FONT> ===Zeitentwicklung in der Quantenmechanik=== Ausgangspunkt: Bewegungsgleichung (Schrödinger, Dirac) der Form {{NumBlk|:| :<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle =\hat{H}\left( t \right)\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle </math> : |(2.27)|RawN=.}} Hier ist :<math>\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle </math> zeitabhĂ€ngig und auch der Hamiltonian :<math>\hat{H}\left( t \right)</math> kann zeitabhĂ€ngig sein, z.B. <math>\hat{H}=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+V\left( x,t \right)</math> (zeitabhĂ€ngiges Potential) ====ZeitunabhĂ€ngiger Hamiltonian==== In diesem Fall formale Lösung von (2.27) durch {{NumBlk|:| :<math>\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle ={{e}^{-i\hat{H}\left( t-{{t}_{0}} \right)}}\left| \Psi \left( {{t}_{0}} \right) \right\rangle \quad ,\quad t>{{t}_{0}}</math> : |(2.28)|RawN=.}} als {{FB|Anfangswertproblem}} mit dem {{NumBlk|:| :<math>\hat{U}\left( t,{{t}_{0}} \right)={{e}^{i\hat{H}\left( t-{{t}_{0}} \right)}}\quad t>{{t}_{0}}</math> : |(2.29)|RawN=.}} Ă ist unitĂ€r, <math>{{\hat{U}}^{-1}}={{\hat{U}}^{+}}</math>, denn <math>\hat{H}={{\hat{H}}^{+}}</math>ist selbstadjungiert Die {{FB|Zeitentwicklung}} :<math>\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle =\hat{U}\left( t,{{t}_{0}} \right)\left| \Psi \left( {{t}_{0}} \right) \right\rangle </math> ist eine unitĂ€re Transformation. Erwartungswerte von der Observabelen Ă :<math>{{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{0}}:={{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{\left| \Psi \left( 0 \right) \right\rangle }}=\left\langle \Psi \left( 0 \right)\,\left| \hat{A}\, \right|\,\Psi \left( 0 \right) \right\rangle </math> : zur Zeit <math>{{t}_{0}}=0</math> (<math>\left| \Psi \left( 0 \right) \right\rangle </math> normiert.) :<math>{{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{t}}:={{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }}=\left\langle \Psi \left( t \right)\,\left| \hat{A}\, \right|\,\Psi \left( t \right) \right\rangle </math> : zur Zeit <math>{{t}_{0}}>0</math> Wir haben :<math>{{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{t}}=\left\langle \Psi \left( 0 \right){{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\,\left| \hat{A}\, \right|\,{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}\Psi \left( 0 \right) \right\rangle =\left\langle \Psi \left( 0 \right)\,\underbrace{\left| {{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\hat{A}{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}} \right|}_{\tilde{A}}\,\Psi \left( 0 \right) \right\rangle </math> also {{NumBlk|:| :<math>\tilde{A}\left( t \right):={{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}\hat{A}{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}</math> (Zeitentwicklung von Operator :<math>\hat{A}</math> im Heisenbergbild) | |RawN=.}} Bemerkung: <math>\text{Ket}\quad \hat{B}\left| \Psi \right\rangle \mapsto \left\langle \Psi \right|{{\hat{B}}^{+}}\quad \quad Bra</math> Skalarprodukt: Mathematiker: :<math>\left( \left| \Psi \right\rangle ,\left| \Phi \right\rangle \right)\equiv \left\langle \Psi | \Phi \right\rangle </math> :Physiker-Notation Es gibt also zwei <u>unitĂ€r Ăquivalente</u> Arten der Zeitentwicklung # â{{FB|Schrödinger-Bild}}â Operatoren <math>\hat{A}</math>fest, ZustĂ€nde zeitabhĂ€ngig # <math>\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle =\hat{U}\left( t,{{t}_{0}} \right)\left| \Psi \left( {{t}_{0}} \right) \right\rangle </math> # # â{{FB|Heisenberg-Bild}}â Zustand <math>\left| \Psi \left( {{t}_{0}} \right) \right\rangle </math>fest (Anfangszustand), Operatoren zeitabhĂ€ngig<math>\hat{A}\left( t \right)={{\hat{U}}^{+}}\left( t,{{t}_{0}} \right)\hat{A}\hat{U}\left( t,{{t}_{0}} \right)</math> Im Heisenberg-Bild hat man die Bewegungsgleichung {{NumBlk|:|Heisenberg-Bewegungsgleichung{{FB|Bewegungsgleichung:Heisenberg}} :<math>{{d}_{t}}\hat{A}\left( t \right)=\mathfrak{i} \left[ \hat{H},\hat{A}\left( t \right) \right]</math> : |(2.31)|RawN=.}} HĂ€ufig schreibt man<math>{{\hat{A}}_{H}}\left( t \right)</math>, falls die Operatoren <math>\hat{A}</math>bereits im Schrödinger-Bild eine intrinsische ZeitabhĂ€ngigkeit haben, z.B. durch zeitabhĂ€ngige Ă€uĂere Felder, d.h. {{NumBlk|:| :<math>\hat{A}=\hat{A}\left( t \right)\Rightarrow {{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{t}}=\left\langle \Psi \left( t \right)\,\underbrace{\left| \hat{A}\left( t \right)\, \right|}_{\text{Intrinsisch}}\,\Psi \left( t \right) \right\rangle =\left\langle \Psi \left( 0 \right)\,\underbrace{\left| {{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\hat{A}{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}} \right|}_{{{{\hat{A}}}_{H}}\left( t \right)}\,\Psi \left( 0 \right) \right\rangle </math> : |(2.32)|RawN=.}} so dass <font color="#3300CC">'''''(CHECK)'''''</FONT> {{NumBlk|:| :<math>{{d}_{t}}{{\hat{A}}_{H}}\left( t \right)=i\left[ \hat{H},\hat{A}\left( t \right) \right]+{{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\underbrace{{{d}_{t}}\hat{A}\left( t \right)}_{\text{intrinsisch}}{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}</math> : |(2.33)|RawN=.}} ===ZeitabhĂ€ngiger Hamiltonian: Spin Âœ, 2 Niveausystem, NMR=== Die meisten FĂ€lle mit zeitabhĂ€ngigem <math>\hat{H}\left( t \right)</math>sind exakt nicht mehr lösbar. Hier betrachten wir {{NumBlk|:| :<math>\hat{H}\left( t \right)=\underline{B}\left( t \right)\underline{\sigma }=\left( \begin{matrix} {{B}_{z}}\left( t \right) & B_{||}^{*}\left( t \right) \\ B_{||}^{*}\left( t \right) & -{{B}_{z}}\left( t \right) \\ \end{matrix} \right)\quad {{B}_{||}}\left( t \right)={{B}_{x}}\left( t \right)+\mathfrak{i} {{B}_{y}}\left( t \right)</math> : |(2.34)|RawN=.}} zum Beispiel fĂŒr einen Spin Âœ, beschrieben durch den <math>\underline{\sigma }</math>-Vektor der Pauli-Matrizen, in einem zeitabhĂ€ngigen B-Feld * Hilbertraum hier <math>{{\mathcal{H}}_{Spin}}={{\mathbb{C}}^{2}}</math> * (2.34) einfaches Modell fĂŒr Spin Âœ Freiheitsgrad z.B. ein Elektron in der Pauli-Gleichung <math>i{{\partial }_{t}}\varphi =\left[ \frac{1}{2m}{{\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)}^{2}}-\underbrace{\frac{e\hbar }{2m}\underline{\sigma }.\underline{B}}_{\text{Pauli-Term}}+e\phi \right]\varphi </math> * (1.44) mit Konstante <math>-\frac{e\hbar }{2m}\to 1</math> und Separation des Ortes (<u>x</u>) und Spin Freiheitsgrade {{NumBlk|:| :<math>\varphi \left( \underline{x},t \right)=\underbrace{\Psi \left( \underline{x},t \right)}_{\text{Orts-WF}}\underbrace{\left( \begin{align} & {{\chi }_{1}}\left( t \right) \\ & {{\chi }_{2}}\left( t \right) \\ \end{align} \right)}_{\text{Spin-WF}}</math> : |(2.35)|RawN=.}} in Dirac-Schreibweise {{NumBlk|:| :<math>\begin{align} & \left| \varphi \left( t \right) \right\rangle \quad =\quad \left| \Psi \left( t \right) \right\rangle \quad \otimes \quad \left| \chi \left( t \right) \right\rangle \\ & \mathcal{H}\quad =\quad {{\mathcal{H}}_{Ort}}\quad \otimes \quad {{\mathcal{H}}_{Spin}} \\ \end{align}</math> : |(2.36)|RawN=.}} mit <math>{{\mathcal{H}}_{Ort}}={{L}^{2}}\left( {{\mathbb{R}}^{3}} \right)</math> (Hilbertraum der Quadratintegrabelen Funktionen auf <math>{{\mathbb{R}}^{3}}</math>) und <math>{{\mathcal{H}}_{Spin}}={{\mathbb{C}}^{2}}</math>. Lösung der zeitabhĂ€ngigen Schrödingergleichung fĂŒr (2.34) {{NumBlk|:| <math>\begin{align} & \mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\left| \chi \left( t \right) \right\rangle =\hat{H}\left( t \right)\left| \chi \left( t \right) \right\rangle \\ & \Leftrightarrow \begin{matrix} \begin{align} & \mathfrak{i} {{{\dot{\chi }}}_{1}}={{B}_{z}}{{\chi }_{1}}-B_{||}^{*}{{\chi }_{2}} \\ & \mathfrak{i} {{{\dot{\chi }}}_{2}}=B_{||}^{{}}{{\chi }_{1}}-{{B}_{z}}{{\chi }_{2}} \\ \end{align} & {} \\ \end{matrix} \\ \end{align}</math> |(2.37)|RawN=.}} kann fĂŒr zeitabhĂ€ngige <math>{{B}_{||}},{{B}_{z}}</math> i.A. nur '''numerische''' gelöst werden. <FONT COLOR="#3300CC">'''''AUFGABE'''''</FONT>: schreiben Sie eine Code, der (2.37) löst, und diskutiere die Physik die damit beschrieben wird. <u>SpezialfĂ€lle</u> von (2.37) können analytisch gelöst werden # <math>\underline{B}=\text{const}\Rightarrow </math>quantenmechanische Ozillatoren Eigenwerte von <math>\hat{H}</math> sind :<math>{{\varepsilon }_{\pm }}=\pm \left| {\underline{B}} \right|\quad \left| {\underline{B}} \right|=\sqrt{B_{z}^{2}+{{\left| {{B}_{||}} \right|}^{2}}}</math> (CHECK) Ă Zeitentwicklung <math>U\left( t,0 \right)={{e}^{-i\hat{H}t}}=S{{e}^{-iDt}}{{S}^{-1}}</math>mit <math>D=diag\left( {{\varepsilon }_{+}},{{\varepsilon }_{-}} \right)</math> Alternativer Lösungsweg: Ansatz :<math>{{\chi }_{j}}\left( t \right)={{c}_{j}}{{e}^{izt}}</math> in (siehe b) # Rotierende B-Feld Ă Rabi-Oszillationen Hier {{NumBlk|:| :<math>\begin{align} & {{B}_{z}}={{B}_{0}}=\text{const} \\ & {{B}_{||}}={{B}_{1}}{{e}^{\mathfrak{i} \omega t}}=\underbrace{{{B}_{1}}\cos \omega t}_{{{B}_{x}}}+\mathfrak{i} \underbrace{{{B}_{1}}\sin \omega t}_{{{B}_{y}}}\quad {{B}_{1}}\in \mathbb{R} \\ \end{align}</math> : |(2.38)|RawN=.}} :<math>{{B}_{||}}</math> rotiert in x-y-Ebene âDrehwellenmodelleâ {{NumBlk|:| <math>\begin{align} & {{\chi }_{1}}={{c}_{1}}{{e}^{\mathfrak{i} zt-\mathfrak{i} \frac{\omega }{2}t}}\quad \quad \left( z+\frac{\omega }{2} \right){{c}_{1}}={{B}_{0}}{{c}_{1}}+{{B}_{1}}{{c}_{2}} \\ & {{\chi }_{2}}={{c}_{2}}{{e}^{\mathfrak{i} zt+\mathfrak{i} \frac{\omega }{2}t}}\quad \quad \left( z-\frac{\omega }{2} \right){{c}_{1}}={{B}_{1}}{{c}_{1}}-{{B}_{0}}{{c}_{2}} \\ \end{align}</math> |(2.39)|RawN=.}} Nichttriviale Lösung von (2.39) fĂŒr : <math>0=\left| \begin{matrix} z+\frac{\omega }{2}-{{B}_{0}} & -{{B}_{1}} \\ -{{B}_{1}} & z-\frac{\omega }{2}+{{B}_{0}} \\ \end{matrix} \right|={{z}^{2}}-{{\left( {{B}_{0}}-\frac{\omega }{2} \right)}^{2}}-B_{1}^{2}\Rightarrow {{z}_{\pm }}=\pm \sqrt{{{\left( {{B}_{0}}-\frac{\omega }{2} \right)}^{2}}+B_{1}^{2}}=\pm \frac{1}{2}{{\Omega }_{R}}</math> : mit {{NumBlk|:| :<math>{{\Omega }_{R}}:=\sqrt{{{\left( 2{{B}_{0}}-\omega \right)}^{2}}+4B_{1}^{2}}</math> : |(2.40)|RawN=.}} Damit zwei linear unabhĂ€ngige Lösungen fĂŒr <math>{{\chi }_{2}}\left( t \right),{{\chi }_{1}}\left( t \right)</math> {{NumBlk|:| :<math>\begin{align} & {{\chi }_{2}}\left( t \right)={{c}_{+}}{{e}^{\mathfrak{i} \left( \frac{\omega }{2}+\frac{{{\Omega }_{R}}}{2} \right)t}}+{{c}_{-}}{{e}^{\mathfrak{i} \left( \frac{\omega }{2}-\,\frac{{{\Omega }_{R}}}{2} \right)t}}\quad {{c}_{\pm }}\in \mathbb{C} \\ & ={{e}^{\mathfrak{i} \omega t}}\left\{ \alpha \cos \frac{{{\Omega }_{R}}}{2}+\beta \sin \frac{{{\Omega }_{R}}}{2} \right\}\quad \alpha ,\beta \in \mathbb{C} \end{align}</math> : |(2.41)|RawN=.}} fĂŒr <math>{{\chi }_{1}}\left( t \right)</math> entsprechen: Koeffizienten fĂŒr <math>{{\chi }_{2}}\left( t \right),{{\chi }_{1}}\left( t \right)</math> hĂ€ngen ĂŒber (2.37) zusammen. Aufgabe: 1 Fall b) lösen fĂŒr <math>{{\chi }_{1}}\left( 0 \right)=0,{{\chi }_{2}}\left( 0 \right)=1</math> und diskutieren. <references />
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