Editing Ferromagnetismus
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<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|5| | <noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|5|7}}</noinclude> | ||
Paramagnetismus: vorhandene magnetische Momente werden durch ein äußeres Magnetfeld ausgerichtet ! Keine WW der Elementarmagnete untereinander | |||
Ferromagnetismus: Korrelation der permanenten Elementarmagnete untereinander ! -> spontane Magnetisierung ! | |||
'''Diamagnetismus: '''die magnetischen Momente werden erst durch ein äußeres Magnetfeld induziert -> Abstoßung ( Lenzsche Regel) ! | |||
====Modell eines Paramagneten==== | |||
N ortsfeste ( und somit unterscheidbare Teilchen !) mit Drehimpuls <math>\bar{L}</math> | |||
im Magnetfeld der Induktion <math>\bar{B}</math> | |||
: | |||
'''Drehimpulsquantisierung:''' | |||
Energie: | |||
<math>\begin{align} | |||
& E=-\mu B{{m}_{l}} \\ | |||
& {{m}_{l}}=-l,-l+1,-l+2,...,l-1,l \\ | |||
& \mu =g\frac{e\hbar }{2m}=g{{\mu }_{Bohr}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
mit <math>{{\mu }_{Bohr}}</math> | |||
= Bohrsches Magneton ! | |||
z.B. Spin: <math>l=\frac{1}{2},g=2,{{m}_{l}}=\pm 1</math> | |||
Bahn: <math>l=1,g=1,{{m}_{l}}=-1,0,1</math> | |||
<u>'''Einteilchen- Zustandssumme'''</u> | |||
<math>\begin{align} | |||
& Z=\sum\limits_{{{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\exp \left( \beta \mu B{{m}_{l}} \right) \\ | |||
& \nu :={{m}_{l}}+l \\ | |||
& \Rightarrow Z=\exp \left( -\beta \mu Bl \right)\sum\limits_{\nu =0}^{2l}{{}}{{\left( \exp \left( \beta \mu B \right) \right)}^{\nu }}=\exp \left( -\beta \mu Bl \right)\frac{\exp \left( \beta \mu B\left( 2l+1 \right) \right)-1}{\exp \left( \beta \mu B \right)-1}=\frac{\sinh \left( \beta \mu B\left( l+\frac{1}{2} \right) \right)}{\sinh \left( \frac{1}{2}\beta \mu B \right)} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Beispiel: l = 1/2: | |||
<math>\Rightarrow Z=\frac{\sinh \left( \beta \mu B \right)}{\sinh \left( \frac{1}{2}\beta \mu B \right)}=2\cosh \left( \frac{1}{2}\beta \mu B \right)</math> | |||
Als '''Einteilchenzustandssumme''' | |||
<u>'''Magnetisierung M '''</u> ( = mittleres magnetisches Moment pro Volumen ) | |||
<math>\begin{align} | |||
& M=\frac{N}{V}\sum\limits_{{{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\mu {{m}_{l}}{{Z}^{-1}}\exp \left( \beta \mu B{{m}_{l}} \right)=\frac{N}{V}\frac{1}{Z}\sum\limits_{{{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\mu {{m}_{l}}\exp \left( \beta \mu B{{m}_{l}} \right) \\ | |||
& =\frac{N}{V}\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial B}\ln Z \\ | |||
& =\frac{N}{V}\mu \left[ \left( l+\frac{1}{2} \right)\coth \left[ \beta \mu B\left( l+\frac{1}{2} \right) \right]-\frac{1}{2}\coth \left[ \frac{1}{2}\beta \mu B \right] \right] \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Brillouin- Funktion | |||
z.B. l= 1/2: | |||
<math>M=\frac{N}{V}\mu \frac{1}{2}\tanh \left( \frac{1}{2}\beta \mu B \right)</math> | |||
( Lorgevin- Funktion ) | |||
Dies entspricht einer thermischen Zustandsgleichung | |||
<math>M\left( T,V,B \right)</math> | |||
====Hohe Temperaturen==== | |||
<math>kT>>\mu B</math> | |||
Beispiel: B= 1 Tesla -> T >> 1K | |||
Entwicklung | |||
<math>\begin{align} | |||
& \coth x\approx \frac{1}{x}+\frac{x}{3}+... \\ | |||
& x<<1 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
<math>\Rightarrow M=\frac{N}{V}\frac{l\left( l+1 \right)}{3}\beta {{\mu }^{2}}B</math> | |||
'''linear '''in B ! | |||
speziell: l= 1/2: | |||
<math>\Rightarrow M\left( T,V,B \right)=\frac{N}{V}\frac{{{\mu }^{2}}B}{4kT}</math> | |||
Curie- Gesetz !! | |||
'''magnetische Suszeptibilität '''<math>{{\chi }_{m}}</math> | |||
definiert durch | |||
<math>M={{\chi }_{m}}H</math> | |||
<math>B={{\mu }_{0}}\left( H+M \right)={{\mu }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{m}} \right)H</math> | |||
mit dem Magnetfeld <math>H</math> | |||
und <math>{{\mu }_{0}}</math> | |||
als absolute Permeabilität | |||
<math>\Rightarrow M=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{m}}}{1+{{\chi }_{m}}}B\approx \frac{1}{{{\mu }_{0}}}{{\chi }_{m}}B</math> | |||
'''Vergleich mit der thermischen Zustandsgleichung:''' | |||
<math>{{\chi }_{m}}={{\mu }_{0}}\frac{N}{V}\frac{l\left( l+1 \right)}{3}\frac{{{\mu }^{2}}}{kT}=\frac{C}{T}</math> | |||
Mit der Curie- Konstanten C ! | |||
( Mit zunehmender Temperatur wird die Ausrichtung der Momente in Feldrichtung durch die Wärmebewegung der Momente gestört ! ) | |||
'''Tiefe Temperaturen, hohe Magnetfelder:''' | |||
<math>\begin{align} | |||
& kT<<\mu B \\ | |||
& \coth x\approx 1 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
für <math>x\to \infty </math> | |||
<math>\Rightarrow M=\frac{N}{V}\mu \left( \left( l+\frac{1}{2} \right)-\frac{1}{2} \right)=\frac{N}{V}\mu l</math> | |||
Also: | |||
Vollständige Ausrichtung aller Momente | |||
---- | |||
<math>\bar{\mu }\uparrow \uparrow \bar{B}</math> | |||
====Vergleich mit der klassischen rechnung==== | |||
<math>\bar{E}=-\bar{m}\bar{B}=-mB\cos \alpha </math> | |||
mit <math>\left| {\bar{m}} \right|</math> | |||
fest ( magnetisches Moment !) und <math>\alpha </math> | |||
Phasenraumvariable !, Winkel zwischen dem B- Feld und den magnetischen Momenten ! | |||
'''Klassische Zustandssumme:''' | |||
<math>Z\tilde{\ }\int_{-1}^{1}{{}}d\left( \cos \alpha \right)\exp \left( \beta mB\left( \cos \alpha \right) \right)\tilde{\ }\frac{\sinh \left( \beta mB \right)}{B}</math> | |||
<math>\begin{align} | |||
& M=\frac{N}{V}\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial B}\ln Z=\frac{N}{V}\frac{B}{\sinh \left( \beta mB \right)}\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial B}\left( \frac{\sinh \left( \beta mB \right)}{B} \right) \\ | |||
& =\frac{N}{V}m\left( \coth \left( \beta mB \right)-\frac{1}{\beta mB} \right) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
<u>'''Vergleich für l=1/2, g=2 ( Spin)'''</u> | |||
<math>\begin{align} | |||
& \frac{MV}{Nm}=\left( \coth \left( \beta mB \right)-\frac{1}{\beta mB} \right)=\left( \coth x-\frac{1}{x} \right) \\ | |||
& x=\frac{mB}{kT} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
klassisch | |||
im Gegensatz zu quantentheoretisch: <math>\frac{MV}{Nm}=\tanh x</math> | |||
Also für x-> 0 ( hohe Temperaturen): | |||
<math>\frac{MV}{Nm}\to \frac{x}{3}</math> | |||
( klassisch) | |||
<math>\frac{MV}{Nm}\to x</math> | |||
( quantentheoretisch !) | |||
und für x -> <math>\infty </math> | |||
( tiefe Temperaturen): | |||
<math>\frac{MV}{Nm}\to 1-\frac{1}{x}</math> | |||
( klassisch) | |||
<math>\frac{MV}{Nm}\to 1-{{e}^{-2x}}</math> | |||
( quantentheoretisch) | |||
Somit folgt ( die obere Kurve ist die quantentheoretisch ermittelte): | |||
Abszisse: x = mB/(kT) | |||
Ordinate: MV/Nm | |||
Wie man sieht, weichen die beiden Rechnungen stark voneinander ab ! | |||
<u>'''Vergleich für l>>1'''</u> | |||
quantentheoretisch: <math>l+\frac{1}{2}\approx l</math> | |||
und <math>\mu l=m</math> | |||
<math>M=\frac{N}{V}m\left( \coth \left( \beta mB \right)-\frac{1}{2l}\coth \frac{\beta mB}{2l} \right)</math> | |||
Klassisch dann mit der Näherung | |||
<math>\coth \frac{\beta mB}{2l}\approx \frac{2l}{\beta mB}</math> | |||
für | |||
<math>kT>mB</math> | |||
klassisch: | |||
<math>M=\frac{N}{V}m\left( \coth \left( \beta mB \right)-\frac{1}{\beta mB} \right)</math> | |||
( klassische Brillouin- Funktion ) | |||
<u>'''Für l=2 folgt:'''</u> | |||
<u>'''Dabei ist die klassische '''</u>Kurve nun steiler ! Die Abweichung ist immer noch immens, da die quantentheoretische Kurve nun genähert ist ! | |||
Für l=5: | |||
und schließlich l=10: | |||
Dabei wurde wieder | |||
Abszisse: x = mB/(kT) | |||
Ordinate: MV/Nm | |||
====Energie und Entropie==== | |||
Entropie S für <math>l=\frac{1}{2}</math> | |||
N- Teilchen- Zustandssumme <math>{{Z}^{N}}</math> | |||
<math>S=k\left( \ln {{Z}^{N}}+\beta U \right)</math> | |||
Statistischer Operator für kanonische Verteilung: | |||
<math>{{Z}^{-1}}{{e}^{-\beta H}}</math> | |||
<math>\begin{align} | |||
& U=-\frac{\partial }{\partial \beta }\ln {{Z}^{N}}=-N\frac{\partial }{\partial \beta }\ln \left[ 2\cosh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right) \right]=-\frac{N\mu B}{2}\frac{\sinh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right)}{\cosh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right)} \\ | |||
& U\left( T \right)=-\frac{N\mu B}{2}\tanh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
( kalorische Zustandsgleichung <math>U\left( T,B \right)</math> | |||
) | |||
<math>\begin{align} | |||
& S\left( T \right)=kN\left( \ln Z-\beta \frac{\partial }{\partial \beta }\ln Z \right) \\ | |||
& S\left( T \right)=kN\left[ \ln 2+\ln \cosh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right)-\frac{\beta \mu B}{2}\tanh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right) \right] \\ | |||
\end{align}</math> | |||
'''Limes''' | |||
<math>\begin{align} | |||
& T\to \infty \\ | |||
& \Rightarrow S\left( T \right)=kN\ln 2 \\ | |||
& \\ | |||
& T->0 \\ | |||
& \Rightarrow S(T)\to kN\left[ \ln 2+\ln \frac{{{e}^{x}}}{2}-x\left( 1-2{{e}^{-2x}} \right) \right]=2kNx{{e}^{-2x}}\to 0 \\ | |||
& x:=\frac{\mu B}{2kT}\to \infty \\ | |||
\end{align}</math> | |||
'''Im Folgenden ist die Entropie (kN=1) gegen die Temperatur ( arbitrary units) geplottet:''' | |||
Dabei sind die Flacheren Kurven für größere Magnetfelder. Bei jeder Kurve wurde das Magnetfeld ( a.u.) verdoppelt ! | |||
====Adiabatische Entmagnetisierung==== | |||
Bei paramagnetischen Salzen sind bei tiefen Temperaturen die Gitterschwingungen schon eingefroren. Noch tiefere Temperaturen erreicht man dann durch die adiabatische Entmagnetisierung ( insbesondere mit Kernspin) |