Editing Fermis Goldene Regel
Jump to navigation
Jump to search
The edit can be undone. Please check the comparison below to verify that this is what you want to do, and then publish the changes below to finish undoing the edit.
Latest revision | Your text | ||
Line 42: | Line 42: | ||
:<math>\,\left\langle f \right|{{V}_{I}}\left( t \right)\left| i \right\rangle =\,\left\langle f \right|U_{0}^{+}V{{U}_{0}}\left| i \right\rangle =\,{{e}^{i\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t}}\left\langle f \right|V\left| i \right\rangle </math> | :<math>\,\left\langle f \right|{{V}_{I}}\left( t \right)\left| i \right\rangle =\,\left\langle f \right|U_{0}^{+}V{{U}_{0}}\left| i \right\rangle =\,{{e}^{i\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t}}\left\langle f \right|V\left| i \right\rangle </math> | ||
<math>{{P}_{i\to f}}\left( t \right):={{\left| \left\langle f \right|V\left| i \right\rangle \right|}^{2}}{{\left| \int\limits_{0}^{t}{dt'\,\,{{e}^{i\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t'}}} \right|}^{2}}</math> | |||
Unter Verwendung der Definition der [http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Analytische_Definition|Sinusfunktion] ergibt das Integral | Unter Verwendung der Definition der [http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Analytische_Definition|Sinusfunktion] ergibt das Integral | ||
Line 54: | Line 54: | ||
Nach NOLTING macht jedoch Sinn, ein kontinuierliches Spektrum zu betrachten und Übergänge in ein Energieintervall zu betrachten. Also muss ersetzt man (grob gesagt) die Deltafunktion durch die Zustandsdichte <math>\rho(E)</math>. | Nach NOLTING macht jedoch Sinn, ein kontinuierliches Spektrum zu betrachten und Übergänge in ein Energieintervall zu betrachten. Also muss ersetzt man (grob gesagt) die Deltafunktion durch die Zustandsdichte <math>\rho(E)</math>. | ||
<math>{{\Gamma }_{i\to f}}=\frac{2\pi }{\left( \hbar \right)}\rho \left( {{E}_{f}} \right){{\left| \left\langle f \right|V\left| i \right\rangle \right|}^{2}}</math> | |||
Zu bemerken ist noch, dass | Zu bemerken ist noch, dass | ||
Line 63: | Line 63: | ||
Dabei wurde bei ... | Dabei wurde bei ... | ||
<math>{{\delta }_{\epsilon }}(x)=\frac{1}{\pi x}\sin \left( \frac{x}{\epsilon } \right)</math> | |||
mit <math>\int\limits_{-\infty }^{\infty }{dx\operatorname{sinc}\left( x \right)}=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{dx{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( x \right)}=\pi </math> folgt dass | mit <math>\int\limits_{-\infty }^{\infty }{dx\operatorname{sinc}\left( x \right)}=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{dx{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( x \right)}=\pi </math> folgt dass | ||
<math>\begin{align} | |||
& \underset{E \to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{E }f\left( \frac{x}{E } \right)=\delta \left( x \right) \\ | & \underset{E \to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{E }f\left( \frac{x}{E } \right)=\delta \left( x \right) \\ | ||
& \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,tf\left( tx \right)=\delta \left( x \right) \\ | & \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,tf\left( tx \right)=\delta \left( x \right) \\ |