Editing Fermis Goldene Regel

Sei <math>H\left( t \right)={{H}_{0}}+V\left( t \right)</math> und es gelte die Schödingergleichung mit <math>\hbar =1</math>

:<math>\frac{d}{dt}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle =-\text{i}\hat{H}\left( t \right)\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle </math>

Definiert man ein Wechselwirkungsbild bezüglich <math>{{H}_{0}}</math>mit <math>U_{0}^{+}=U_{0}^{+}\left( t \right)={{e}^{i{{H}_{0}}t}}</math> also

:<math>{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=U_{0}^{+}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle ={{e}^{\text{i}{{H}_{0}}t}}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle </math>,

so folgt für die Entwicklung des Zustands im Wechselwirkungsbild (mit Produktregel) 
:<math>\frac{d}{dt}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=\text{i}{{H}_{0}}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}+U_{0}^{+}\frac{d}{dt}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle .</math>

Setzt man dies in die Schrödingergleichung ein so erhält man
:<math>\begin{align}
  & \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=\text{i}{{H}_{0}}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}-\text{i}U_{0}^{+}\left( {{H}_{0}}+V\left( t \right) \right)\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle  \\ 
 & =\text{i}\left( {{H}_{0}}-U_{0}^{+}\left( {{H}_{0}}+V\left( t \right) \right){{U}_{0}} \right){{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}  
\end{align}</math>
:mit <math>\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle ={{U}_{0}}U_{0}^{+}\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle ={{U}_{0}}\left( t \right){{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}={{e}^{-\text{i}{{H}_{0}}t}}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}</math>.

Unter Verwendung von <math>\left[ {{H}_{0}},{{U}_{0}}\left( t \right) \right]=0</math> erhält man 

:<math>\frac{d}{dt}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=-\text{i}\underbrace{\left( U_{0}^{+}V\left( t \right){{U}_{0}} \right)}_{:={{V}_{I}}\left( t \right)}{{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}.</math>

Nun kann man mit der Abkürzung <math>{{V}_{I}}\left( t \right):=U_{0}^{+}V\left( t \right){{U}_{0}}</math> und <math>\left| {{\Psi }_{0}} \right\rangle ={{\left| \Psi \left( t=0 \right) \right\rangle }_{I}}</math> die Zeitentwicklung im Wechselwirkungsbild hinschreiben:

:<math>\begin{align}
  & {{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=\left| {{\Psi }_{0}} \right\rangle -\text{i}\int\limits_{0}^{t}{dt'\,{{V}_{I}}\left( t' \right)}{{\left| \Psi \left( t' \right) \right\rangle }_{I}} \\ 
 & =\left| {{\Psi }_{0}} \right\rangle -\text{i}\int\limits_{0}^{t}{dt'\,{{V}_{I}}\left( t' \right)}\left| {{\Psi }_{0}} \right\rangle +O{{\left( {{V}_{I}} \right)}^{2}}  
\end{align}</math>

Nimmt man die Eigenwerte der ungestörten Schrödingergleichung <math>{{H}_{0}}\left| n \right\rangle ={{E }_{n}}\left| n \right\rangle </math>als bekannt an so erhält man mit der Festlegung <math>\left| {{\Psi }_{0}} \right\rangle =\left| i \right\rangle </math>

:<math>\begin{align}
  & {{\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}=\left| i \right\rangle -\text{i}\int\limits_{0}^{t}{dt'\,{{V}_{I}}\left( t' \right)}\left| i \right\rangle +O{{\left( {{V}_{I}} \right)}^{2}} \\ 
 & {{\left\langle  f | \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}}={{\delta }_{i,f}}-\text{i}\int\limits_{0}^{t}{dt'\,\left\langle  f \right|{{V}_{I}}\left( t' \right)}\left| i \right\rangle +O{{\left( {{V}_{I}} \right)}^{2}}  
\end{align}</math>

Für <math>i\ne f</math> folgt in erster Ordnung (also unter Vernachlässigung von <math>O{{\left( {{V}_{I}} \right)}^{2}}</math>)

:<math>{{P}_{i\to f}}\left( t \right):={{\left| \left\langle  f | \Psi \left( t \right) \right\rangle  \right|}^{2}}=\underbrace{{{\left| {{e}^{\text{i}\left( {{E }_{f}}-{{E }_{f}} \right)t}} \right|}^{2}}}_{1}{{\left| {{\left\langle  f | \Psi \left( t \right) \right\rangle }_{I}} \right|}^{2}}={{\left| \int\limits_{0}^{t}{dt'\,\left\langle  f \right|{{V}_{I}}\left( t' \right)\left| i \right\rangle } \right|}^{2}}</math> (das –i verschwindet durch den Betrag).

Für <math>V\left( t \right)=V\theta \left( t \right)</math> folgt nun, 
:<math>\,\left\langle  f \right|{{V}_{I}}\left( t \right)\left| i \right\rangle =\,\left\langle  f \right|U_{0}^{+}V{{U}_{0}}\left| i \right\rangle =\,{{e}^{i\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t}}\left\langle  f \right|V\left| i \right\rangle </math>

:<math>{{P}_{i\to f}}\left( t \right):={{\left| \left\langle  f \right|V\left| i \right\rangle  \right|}^{2}}{{\left| \int\limits_{0}^{t}{dt'\,\,{{e}^{i\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t'}}} \right|}^{2}}</math>

Unter Verwendung der Definition der [http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Analytische_Definition|Sinusfunktion] ergibt das Integral 
:<math>{{\left| \int\limits_{0}^{t}{dt'\,\,{{e}^{\text{i}\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t'}}} \right|}^{2}}={{\left| \frac{{{e}^{\text{i}\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t}}-1}{\text{i}\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)} \right|}^{2}}=\frac{{{\sin }^{2}}\left( \frac{{{E }_{f}}-{{E }_{i}}}{2}t \right)}{{{\left( \frac{{{E }_{f}}-{{E }_{i}}}{2} \right)}^{2}}}={{t}^{2}}{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( \frac{{{E }_{f}}-{{E }_{i}}}{2}t \right)</math>

Um die Rate, die durch
:<math>{{\Gamma }_{i\to f}}:=\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{t}{{P}_{i\to f}}\left( t \right)={{\left| \left\langle  f \right|V\left| i \right\rangle  \right|}^{2}}\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,t{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( \frac{{{E }_{f}}-{{E }_{i}}}{2}t \right)</math>
:definiert ist, zu berechnen kann man den "Trick", Umschreiben der [[Sinc-Funktion]] als [http://de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution#Beispiele_f.C3.BCr_Dirac-Folgen|Dirac-Folge ], verwenden.

:<math>{{\Gamma }_{i\to f}}={{\left| \left\langle  f \right|V\left| i \right\rangle  \right|}^{2}}\pi \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{t}{\pi }{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( \frac{{{E }_{f}}-{{E }_{i}}}{2}t \right)=2\pi {{\left| \left\langle  f \right|V\left| i \right\rangle  \right|}^{2}}\delta \left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)</math>

Nach NOLTING macht jedoch Sinn, ein kontinuierliches Spektrum zu betrachten und Übergänge in ein Energieintervall zu betrachten. Also muss ersetzt man (grob gesagt) die Deltafunktion durch die Zustandsdichte <math>\rho(E)</math>. 
:<math>{{\Gamma }_{i\to f}}=\frac{2\pi }{\left( \hbar  \right)}\rho \left( {{E}_{f}} \right){{\left| \left\langle  f \right|V\left| i \right\rangle  \right|}^{2}}</math>

Zu bemerken ist noch, dass 
* <math>\rho \left( {{E}_{f}} \right)\approx \rho \left( {{E}_{i}} \right)</math>.
* die http://de.wikipedia.org/wiki/Energie-Zeit-Unschärferelation für <math>t<\infty</math> folgt.



Dabei wurde bei ...
:<math>{{\delta }_{\epsilon }}(x)=\frac{1}{\pi x}\sin \left( \frac{x}{\epsilon } \right)</math>
 mit <math>\int\limits_{-\infty }^{\infty }{dx\operatorname{sinc}\left( x \right)}=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{dx{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( x \right)}=\pi </math> folgt dass 
:<math>\begin{align}
  & \underset{E \to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{E }f\left( \frac{x}{E } \right)=\delta \left( x \right) \\ 
 & \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,tf\left( tx \right)=\delta \left( x \right) \\ 
 & \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,t\frac{1}{\pi }{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( tx \right)=\delta \left( x \right)  
\end{align}</math>
Mit <math>x=\frac{{{E }_{f}}-{{E }_{i}}}{2}</math>und <math>\delta \left( kx \right)=\frac{1}{k}\delta \left( x \right)</math> folgt


verwendet
[[Kategorie:Quantenmechanik]]