Editing Eigenschaften eindimensionaler stationärer Zustände

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====Stetigkeitsbedingung:====
Bei stückweise stetigem Potenzial ( Sprünge sind erlaubt, dürfen aber nicht die Regel sein). Außerdem ist das Potenzial ansonsten beliebig, sind <math>\Phi (x),\Phi \acute{\ }(x)</math>stetig.

Die eindimensionale Zeitunabhängige Schrödingergleichung lautet:

:<math>\phi \acute{\ }\acute{\ }(x)=\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\left[ V(x)-E \right]\phi (x)</math>

Das Potenzial habe nun einen Sprung bei x=xo:

Wäre nun <math>\phi \acute{\ }(x)\tilde{\ }\Theta \left[ x-{{x}_{0}} \right]</math> unstetig an der Stelle x=xo, so ergebe sich: <math>\phi \acute{\ }\acute{\ }(x)\tilde{\ }\delta \left[ x-{{x}_{0}} \right]</math>. Die rechte Seite der Schrödingergleichung ist jedoch an jedem Punkt beschränkt ( die Wellenfunktion selbst muss normierbar sein). Somit ergibt sich ein Widerspruch.

Oft ist es zweckmäßig die sogenannte Eigenableitung zu verwenden. Diese logarithmische Ableitung ist stetig:

( Eigenableitung = logarithmische Ableitung):

:<math>\frac{d}{dx}\ln \phi (x){{\left. {} \right|}_{x0}}=\frac{\phi \acute{\ }(x)}{\phi (x)}</math>
Für ein <math>\delta </math>- förmiges Potenzial gilt: <math>V(x)=\delta (x-{{x}_{0}})</math>:
:<math>\phi (x)</math>ist stetig
:<math>\phi \acute{\ }(x)</math>hat endlichen Sprung bei x<sub>0</sub>
====Charakterisierung des Energiespektrums====
Gegeben sei ein stückweise stetiges, nach unten beschränktes Potenzial mit <math>{{V}_{+}}\le {{V}_{-}}\le \infty </math>
Für den Bereich <math>E<V(x)</math>( klassische verboten), gilt:
:<math>\frac{\phi \acute{\ }\acute{\ }(x)}{\phi (x)}=\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\left( V(x)-E \right)>0</math>
Also für den Fall <math>\phi (x),\phi \acute{\ }\acute{\ }(x)>0</math>ist die Krümmung konvex und für <math>\phi (x),\phi \acute{\ }\acute{\ }(x)<0</math>(zweite mögliche Alternative) ist die Krümmung konkav.
Jedenfalls ist die Wellenfunktion von der x- Achse "weggekrümmt", also allgemein gesprochen "divergent":
Dies ist deutlicher zu erkennen, wenn man Potenziale einzeichnet, die hier größer sind als die Energie: Es gibt immer exponentielle Dämpfung in derartigen Fällen:


Im Bereich <math>E>V(x)</math>gilt: <math>\frac{\phi \acute{\ }\acute{\ }(x)}{\phi (x)}=<0</math>. Dieser Bereich ist auch klassisch erlaubt.  Hier ist die Krümmung stets zur x- Achse hin, also im Wesentlichen oszillierend:
Damit können wir unsere Eigenfunktionen klassifizieren:
1) <math>E<{{V}_{\min }}(x)</math>: Die Energie liegt überall unterhalb des Potenzials → <math>\phi (x)</math>divergiert nach <math>\infty </math>. Keine Lösung existiert !
# <math>{{V}_{\min }}(x)<E<{{V}_{+}}(x)</math>: Es existieren gebundene Zustände;
* bei symmetrischem ( vollkommen rotationssymmetrisch) Potenzial V existiert mindestens ein gebundener Zustand <math>{{\phi }_{0}}(x)</math> → eindimensionale Potenzialtöpfe sind immer vollkommen rotationssymmetrisch ! → es existiert immer ein gebundener Zustand.
Dies ist anders bei 2- / 3- dimensionalen Potenzialtöpfen ! Wenn diese nicht vollständig rotationssymmetrisch sind, kann es sein, dass kein Zustand existiert, wenn die Töpfe flach genug sind !
* Das Energiespektrum ist diskret und nicht entartet: <math>{{E}_{0}}<{{E}_{1}}<...</math>
entartet heißt: zu einem Eigenwert gehören mehrere, linear unabhängige Eigenfunktionen !
* Knotensatz: Die zum n-ten Eigenwert <math>{{E}_{n}}</math>gehörende Eigenfunktion <math>{{\phi }_{n}}(x)</math>hat n Knoten ( Nullstellen im Inneren des Definitionsbereichs).
====Beweis des Knotensatzes====
Zu JEDEM E existiert genau eine Lösung <math>{{\phi }_{E}}(x)</math>der Gleichung <math>\phi \acute{\ }{{\acute{\ }}_{E}}(x)=\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\left[ V(x)-E \right]{{\phi }_{E}}(x)</math>mit <math>\begin{matrix}
\lim   \\
x\to -\infty   \\
\end{matrix}{{\phi }_{E}}(x)=0</math> ( Bilde z.B. Linearkombination von 2 linear unabhängigen Lösungen).
Dies gilt natürlich nur im nicht entarteten Fall ! Wie er unter 2) für <math>{{V}_{\min }}(x)<E<{{V}_{+}}(x)</math>der Fall ist !
Nun ist dann aber im Allgemeinen <math>\begin{matrix}
\lim   \\
x\to +\infty   \\
\end{matrix}{{\phi }_{E}}(x)\ne 0</math>. Verschiebt man nun E so, dass auch <math>\begin{matrix}
\lim   \\
x\to +\infty   \\
\end{matrix}{{\phi }_{E}}(x)=0</math>  → dann erhalten wir die Energien, die die speziellen diskreten Eigenwerte E repräsentieren.
Die Behauptung ist: zwischen 2 Eigenwerten muss immer ein weiterer Knoten vom Inneren an den Rand wandern:

<u>'''Beweis:'''</u>
Sei <math>{{x}_{0}}(E)</math>eine Nullstelle von <math>{{\phi }_{E}}(x)</math>. Nun bilde man die Wronski- Determinante von <math>{{\phi }_{E}}(x)</math>und von <math>z(x):=\frac{\partial {{\phi }_{E}}(x)}{\partial E}</math>
Es gilt:
:<math>\left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }z-{{\phi }_{E}}z\acute{\ } \right)\left. {} \right|_{-\infty }^{{{x}_{0}}}=\int\limits_{-\infty }^{{{x}_{0}}}{\left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }\acute{\ }z-{{\phi }_{E}}z\acute{\ }\acute{\ } \right)dx}</math>
Dabei:
:<math>\begin{align}
& \left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }z-{{\phi }_{E}}z\acute{\ } \right)\left. {} \right|_{-\infty }^{{{x}_{0}}}={{\phi }_{E}}\acute{\ }({{x}_{0}})z({{x}_{0}})-{{\phi }_{E}}({{x}_{0}})z\acute{\ }({{x}_{0}})-{{\phi }_{E}}\acute{\ }(-\infty )z(-\infty )+{{\phi }_{E}}(-\infty )z\acute{\ }(-\infty ) \\
& {{\phi }_{E}}({{x}_{0}})={{\phi }_{E}}\acute{\ }(-\infty )=0 \\
& \Rightarrow \left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }z-{{\phi }_{E}}z\acute{\ } \right)\left. {} \right|_{-\infty }^{{{x}_{0}}}={{\phi }_{E}}\acute{\ }({{x}_{0}})z({{x}_{0}}) \\
\end{align}</math>
Außerdem:
:<math>\left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }\acute{\ }z-{{\phi }_{E}}z\acute{\ }\acute{\ } \right)={{\phi }_{E}}\acute{\ }\acute{\ }z+{{\phi }_{E}}\acute{\ }z\acute{\ }-{{\phi }_{E}}\acute{\ }z\acute{\ }-{{\phi }_{E}}z\acute{\ }\acute{\ }</math>
Aus der Schrödingergleichung <math>\phi \acute{\ }{{\acute{\ }}_{E}}(x)=\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\left[ V(x)-E \right]{{\phi }_{E}}(x)</math>folgt durch Differenziation nach der Energie:
:<math>z\acute{\ }\acute{\ }=\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\left[ V(x)-E \right]z-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}{{\phi }_{E}}(x)</math>
Kombiniert man  dies mit <math>\phi \acute{\ }{{\acute{\ }}_{E}}(x)=\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\left[ V(x)-E \right]{{\phi }_{E}}(x)</math>und <math>\left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }z-{{\phi }_{E}}z\acute{\ } \right)\left. {} \right|_{-\infty }^{{{x}_{0}}}=\int\limits_{-\infty }^{{{x}_{0}}}{\left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }\acute{\ }z-{{\phi }_{E}}z\acute{\ }\acute{\ } \right)dx}</math>
so folgt:
:<math>{{\phi }_{E}}\acute{\ }({{x}_{0}})z({{x}_{0}})=\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int\limits_{-\infty }^{{{x}_{0}}}{{{\phi }_{E}}^{2}dx}>0</math>Mit<math>\begin{align}
& 0=\frac{d}{dE}{{\phi }_{E}}({{x}_{0}})=\frac{\partial {{\phi }_{E}}({{x}_{0}})}{\partial E}+{{\phi }_{E}}\acute{\ }({{x}_{0}})\frac{\partial {{x}_{0}}}{\partial E} \\
& \frac{\partial {{\phi }_{E}}}{\partial E}=z \\
\end{align}</math>
folgt schließlich:
:<math>0=\frac{d{{x}_{0}}}{dE}=-\frac{z({{x}_{0}})}{{{\phi }_{E}}\acute{\ }({{x}_{0}})}=-z{{({{x}_{0}})}^{2}}{{\left[ \int\limits_{-\infty }^{{{x}_{0}}}{{{\phi }_{E}}^{2}dx} \right]}^{-1}}<0</math>
Also wandern die Nullstellen mit abnehmender Energie nach rechts. Bei jedem Eigenwert verschwindet eine Nullstelle bei <math>\infty </math>.
Für <math>E={{V}_{\min }}</math>hat <math>{{\phi }_{E}}(x)</math>KEINE endliche Nullstelle mehr:
Sonst wäre für <math>-\infty <{{x}_{0}}(E)<+\infty </math>:
:<math>\int\limits_{-\infty }^{{{x}_{0}}}{\left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }{{\phi }_{E}} \right)dx}=-\int\limits_{-\infty }^{{{x}_{0}}}{\left( {{\phi }_{E}}\acute{\ }{{\phi }_{E}}\acute{\ } \right)dx}=\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}(V-E)\int\limits_{-\infty }^{{{x}_{0}}}{{{\phi }_{E}}^{2}dx}>0</math>
Also ein Widerspruch !
====Illustration des Knotensatzes für spezielle Potenziale:====


Die zu E1 oder E1´ gehörigen Funktionen besitzen einen Knoten. Nur die Funktion zu E1 ist jedoch eine Eigenfunktion. Die Funktion zu E1´´ weist bereits 2 Knoten auf.
Bei E0 existieren keine Knoten bei E0, E0´und E0 ´´. Allerdings ist nur die zu E0 gehörige Funktion eine Eigenfunktion. Die Funktion zu E0´´´ hat bereits einen Knoten, jedoch ist diese keine Eigenfunktion.
Das zugehörige Potenzial <math>V(x)\to \infty </math>für <math>x\to a,b</math>. Also KEIN Parabelpotenzial !
Die Randbedingungen seien <math>\phi (a)=\phi (b)=0</math>.
Die Forderung <math>\phi (a)=0</math>kann zu jedem E erfüllt werden. Und zwar durch Linearkombination zweier linear unabhängiger Lösungen.
Im Allgemeinen ist dann jedoch
:<math>\phi (b)\ne 0</math>. Verschiebt man E so, dass auch <math>\phi (b)=0</math>, so trifft man die speziellen, diskreten Eigenwerte. zwischen 2 Eigenwerten muss immer ein weiterer Knoten vom Rand ins Innere wandern.
====Speziell: Symmetrische Potenziale:====
Bei symmetrischen Potenzialen: <math>V(x)=V(-x)</math>sind die Eigenfunktionen abwechselnd von gerader Parität, also symmetrisch: <math>\phi (x)=\phi (-x)</math>und antisymmetrisch ( von ungerader Parität): <math>\phi (x)=-\phi (-x)</math>.
Dies kann für Entartung und Nichtentartung gezeigt werden.
# <math>{{V}_{+}}<E<{{V}_{-}}</math> In diesem Fall existiert ein Kontinuum von Streuzuständen ( nicht entartet). Die Welle läuft von rechts ein:
Beispiel mit Potenzialstufe:
Linke Seite:
Die asymptotische Lösung lautet <math>\begin{align}
& \phi (x)\tilde{\ }{{e}^{\pm Mx}} \\
& {{M}^{2}}={{V}_{-}}-E \\
\end{align}</math>
Aber: <math>\phi (x)\tilde{\ }{{e}^{+Mx}}</math>divergiert und ist somit unphysikalisch:
:<math>\phi (x)\tilde{\ }{{e}^{-Mx}}</math>
Rechte Seite:
Die asymptotische Lösung lautet <math>\begin{align}
& \phi (x)\tilde{\ }{{e}^{\pm ikx}} \\
& {{k}^{2}}=E-{{V}_{+}} \\
\end{align}</math>Die Lösung oszilliert also asymptotisch.
# <math>E>{{V}_{-}}</math>: Ergibt ein Kontinuum von Streuzuständen ( 2- fach entartet). Die Welle läuft in diesem Fall von links oder von rechts ein, da die Energie auf beiden Seiten höher als das Potenzial ist. Alle Lösungen oszillieren !
'''Zeige'''
Nicht entartete Eigenfunktionen sind ( bis auf einen trivialen Faktor) reell !