Editing Eichinvarianz

<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|3|6}}</noinclude>

Die Felder
:<math>\bar{E},\bar{B}</math>
werden durch die Potenziale
:<math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
dargestellt.:

:<math>\begin{align}
& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
\end{align}</math>

Dabei drängt sich die Frage auf, welche die allgemeinste Transformation

:<math>\begin{align}
& \Phi \left( \bar{r},t \right)\to \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\
& \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\to \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\
\end{align}</math>

ist, welche die Felder E und B unverändert läßt.

Also:

:<math>\begin{align}
& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\
& \Rightarrow \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right)=\bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\nabla G\left( \bar{r},t \right) \\
& \Rightarrow -\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\nabla G\left( \bar{r},t \right) \right) \\
& \Rightarrow \nabla \left( \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}G\left( \bar{r},t \right) \right)=0 \\
& \Rightarrow \left( \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}G\left( \bar{r},t \right) \right)=g(t)(r-unabh\ddot{a}ngig) \\
\end{align}</math>

Mit

:<math>\begin{align}
& F\left( \bar{r},t \right):=G\left( \bar{r},t \right)-\int_{to}^{t}{dt\acute{\ }g(t\acute{\ })} \\
& \Rightarrow \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right)=\bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\nabla F\left( \bar{r},t \right) \\
& \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)=\Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}F\left( \bar{r},t \right) \\
\end{align}</math>

mit eine völlig beliebigen Eichfunktion
:<math>F\left( \bar{r},t \right)</math>.

Alle physikalischen Aussagen müssen invariant sein! Aber nicht nur
:<math>\bar{E},\bar{B}</math>
sondern auch
:<math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
sind physikalisch relevant.
So muss auch
:<math>\oint\limits_{\partial F}{d\bar{s}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\int_{F}^{{}}{d\bar{f}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\Phi \left( \bar{r},t \right)}</math>
erfüllt sein.

Dies ist gewährleistet, wenn die Maxwellgleichungen  erfüllt sind.
Durch

:<math>\begin{align}
& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
\end{align}</math>

sind die '''homogenen '''Maxwellgleichungen bereits erfüllt:

:<math>\begin{align}
& \nabla \times \bar{E}=-\nabla \times \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
& \nabla \cdot \bar{B}=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=0 \\
\end{align}</math>

Auch die Umkehrung gilt:

:<math>\begin{align}
& \nabla \cdot \bar{B}=0 \\
& \Rightarrow \exists \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\Rightarrow \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B} \\
& \nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=-\nabla \times \frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)\Rightarrow \nabla \times \left( \bar{E}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=0 \\
& \Rightarrow \exists \Phi \left( \bar{r},t \right)\Rightarrow \bar{E}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right) \\
\end{align}</math>

Wähle nun eine Eichung derart, dass die inhomogenen Maxwellgleichungen besonders einfach werden

Ziel: Entkopplung der DGLs für
:<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right),\Phi \left( \bar{r},t \right)</math>
:

# <u>'''Lorentz- Eichung:'''</u>

:<math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=0</math>

Genau dadurch werden die Feldgleichungen entkoppelt:
1)
:<math>\begin{align}
& -\nabla \cdot \bar{E}=\nabla \cdot \left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
& \Delta \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
\end{align}</math>

Was mit Hilfe der Lorentzeichung wird zu

:<math>\Delta \Phi \left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math>

'''Für A:'''
2)
:<math>\begin{align}
& \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\nabla \times \bar{B}-{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}=\bar{j} \\
& \Rightarrow \nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)={{\mu }_{0}}\bar{j} \\
& \nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=+\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
& \Rightarrow \Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right) \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
\end{align}</math>

Was mit der Lorentz- Eichung

:<math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=0</math>

wird zu

:<math>\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}</math>

Dies kann in Viererschreibweise mit dem dÁlembertschen Operator # mit

:<math>\#:=\Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}</math>

zusammengefasst werden:

:<math>\begin{align}
& \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
\end{align}</math>

Dies sind die inhomogenen Wellengleichungen für die Potenziale (entkoppelt mittels Lorentz- Eichung)
Es ergibt sich im SI- System:

:<math>\frac{1}{\sqrt{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}:=c=2,994\cdot {{10}^{8}}\frac{m}{s}</math>
als Lichtgeschwindigkeit

Dies ist einfach die ermittelte Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen im Vakuum!

<u>'''Coulomb- Eichung'''</u>

(sogenannte Strahlungseichung):

:<math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0</math>

Vergleiche Kapitel 2.3 (Magnetostatik):
Für

:<math>\begin{align}
& \dot{\bar{D}}=0 \\
& \Rightarrow \nabla \times \bar{B}=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A} \right)-\Delta \bar{A}={{\mu }_{0}}\bar{j} \\
\end{align}</math>

(Poissongleichung der Magnetostatik)

<u>'''Zerlegung in longitudinale und transversale Anteile :'''</u>

Allgemein kann man

:<math>\bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>

in ein wirbelfreies Longitudinalfeld:

:<math>{{\bar{E}}_{l}}:=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)</math>

und ein quellenfreies Transversalfeld

:<math>{{\bar{E}}_{t}}=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>

zerlegen.

Tatsächlich gilt:

:<math>\nabla \times {{\bar{E}}_{l}}:=-\nabla \times \left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right) \right)=0</math>

:<math>\nabla \cdot {{\bar{E}}_{t}}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0</math>

Da
:<math>\bar{B}</math>
quellenfrei ist, ist B auch immer transversal:

:<math>\nabla \cdot \bar{B}:=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{A} \right)=0</math>

Also:

:<math>\Phi \left( \bar{r},t \right)</math>
ergibt die longitudinalen Felder und

:<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
die transversalen Felder.

Merke: Felder, die Rotation eines Vektorfeldes sind (Vektorpotenzials) sind grundsätzlich transversaler Natur. (Divergenz verschwindet). Divergenzfelder (als Gradienten eines Skalars) sind immer longitudinal! (Rotation verschwindet).

<u>'''Zerlegung der Stromdichte:'''</u>

:<math>\bar{j}={{\bar{j}}_{l}}+{{\bar{j}}_{t}}</math> mit <math>\nabla \times {{\bar{j}}_{l}}=0</math>

:<math>\nabla \cdot {{\bar{j}}_{t}}=0</math>

Mit

:<math>\begin{align}
& \frac{\partial }{\partial t}\rho +\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{l}}+\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{t}}=0 \\
& \rho ={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {{{\bar{E}}}_{l}} \\
& \nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{t}}=0 \\
& \Rightarrow \nabla \cdot \left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=0 \\
\end{align}</math>

Außerdem gilt nach der Definition von longitudinal:

:<math>\nabla \times \left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=0</math>

Also:

:<math>\left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=const</math>

Da beide Felder aber für r→ 0 verschwinden folgt:

:<math>\left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=0</math>

Also:

:<math>{{\bar{j}}_{l}}={{\varepsilon }_{0}}\nabla \frac{\partial \Phi }{\partial t}</math>

Also:
Die Feldgleichungen

:<math>\begin{align}
& \Delta \Phi +\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
& \nabla \cdot \bar{A}=0 \\
& \Rightarrow \Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
\end{align}</math> und <math>\begin{align}
& \Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right) \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
& \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0 \\
& \nabla {{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)={{{\bar{j}}}_{l}} \\
\end{align}</math>

erhalten dann die Form:

:<math>\Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math> und <math>\begin{align}
& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}{{{\bar{j}}}_{t}} \\
&  \\
\end{align}</math>

In der Coulomb- Eichung!
Also.

:<math>\Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
: longitudinale Felder entsprechend der Elektrostatik

:<math>\#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}{{\bar{j}}_{t}}</math>
als transversale Felder entsprechend elektromagnetischen Wellen.

Das bedeutet : Die Coulombeichung ist zweckmäßig bei Strahlungsproblemen!

Sie liefert eine Poissongleichung für
:<math>\Phi </math>
und eine Wellengleichung für
:<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>.