Editing Drehimpulsdarstellung und Streuphasen
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<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|6|4}}</noinclude> | <noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|6|4}}</noinclude> | ||
Annahme: Kugelsymmetrisches Streupotenzial V(r) | Annahme: Kugelsymmetrisches Streupotenzial V(r ) | ||
Erforderlich ist die Umrechung der Impulsdarstellung <math>\left| {\bar{k}} \right\rangle </math> in die Drehimpulsdarstellung <math>\left| lm \right\rangle </math> freier Teilchen. | Erforderlich ist die Umrechung der Impulsdarstellung <math>\left| {\bar{k}} \right\rangle </math> in die Drehimpulsdarstellung <math>\left| lm \right\rangle </math> freier Teilchen. | ||
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Die auslaufende Welle schreibt sich dann entwickelt: | Die auslaufende Welle schreibt sich dann entwickelt: | ||
<math>\Psi (\bar{r})=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{r}{{u}_{l}}(r){{P}_{l}}(\cos \vartheta )</math> | |||
(Mit den Legendre- Polynomen <math>{{P}_{l}}(\cos \vartheta )</math>) | (Mit den Legendre- Polynomen <math>{{P}_{l}}(\cos \vartheta )</math>) | ||
Es können die Kugelflächenfunktionen genommen werden, die von m, also <math>\phi </math> unabhängig sind wegen des kugelsymmetrischen Potenzials | Es können die Kugelflächenfunktionen genommen werden, die von m, also <math>\phi </math> unabhängig sind wegen des kugelsymmetrischen Potenzials -> es treten nur Drehimpulseigenfunktionen mit m=0 auf ! | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
im asymptotischen Verhalten <math>r\to \infty </math> gewinnt man (Striche eingespart) durch Wiederholtes Anwenden der partiellen Integration: | im asymptotischen Verhalten <math>r\to \infty </math> gewinnt man ( Striche eingespart) durch Wiederholtes Anwenden der partiellen Integration: | ||
:<math>\frac{1}{r}{{u}_{l}}(r)=\frac{2l+1}{2}\left\{ \frac{1}{ikr}\left[ {{e}^{ikr\xi }}{{P}_{l}}(\xi ) \right]_{-1}^{+1}-\frac{1}{{{\left( ikr \right)}^{2}}}\left[ {{e}^{ikr\xi }}{{P}_{l}}\acute{\ }(\xi ) \right]_{-1}^{+1}+\frac{1}{{{\left( ikr \right)}^{3}}}\left[ {{e}^{ikr\xi }}{{P}_{l}}\acute{\ }\acute{\ }(\xi ) \right]_{-1}^{+1}+... \right\}</math> | :<math>\frac{1}{r}{{u}_{l}}(r)=\frac{2l+1}{2}\left\{ \frac{1}{ikr}\left[ {{e}^{ikr\xi }}{{P}_{l}}(\xi ) \right]_{-1}^{+1}-\frac{1}{{{\left( ikr \right)}^{2}}}\left[ {{e}^{ikr\xi }}{{P}_{l}}\acute{\ }(\xi ) \right]_{-1}^{+1}+\frac{1}{{{\left( ikr \right)}^{3}}}\left[ {{e}^{ikr\xi }}{{P}_{l}}\acute{\ }\acute{\ }(\xi ) \right]_{-1}^{+1}+... \right\}</math> | ||
Line 79: | Line 79: | ||
<math>{{\Psi }_{e}}(\bar{r})=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{r}{{u}_{l}}(r){{P}_{l}}(\cos \vartheta )</math> ist Lösung der freien Schrödingergleichung. | |||
:<math>\left( -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta -E \right){{\Psi }_{e}}=0</math> | :<math>\left( -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta -E \right){{\Psi }_{e}}=0</math> | ||
Line 113: | Line 113: | ||
:<math>\frac{1}{r}{{u}_{l}}(r)=\frac{2l+1}{{{(-i)}^{l}}}{{j}_{l}}(kr)</math> | :<math>\frac{1}{r}{{u}_{l}}(r)=\frac{2l+1}{{{(-i)}^{l}}}{{j}_{l}}(kr)</math> | ||
Also die sphärischen Besselfunktionen! | Also die sphärischen Besselfunktionen ! | ||
Die radialen Lösungen für das Streuproblem (Entwicklungsterme für die einfallende Welle) sind die sphärischen Besselfunktionen | Die radialen Lösungen für das Streuproblem ( Entwicklungsterme für die einfallende Welle) sind die sphärischen Besselfunktionen | ||
Line 132: | Line 132: | ||
Es folgt: | Es folgt: | ||
<math>f(\vartheta )=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{{f}_{l}}}{{P}_{l}}(\cos \vartheta )</math> | |||
Setzen wir dies in den {{FB|Wirkungsquerschnitt}} ein, so folgt für den totalen Wirkungsquerschnitt | Setzen wir dies in den {{FB|Wirkungsquerschnitt}} ein, so folgt für den totalen Wirkungsquerschnitt | ||
Line 144: | Line 144: | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
Man spricht in diesem Fall von einer Entwicklung nach {{FB|Partialwellen}}, l=0,1,2,3... | Man spricht in diesem Fall von einer Entwicklung nach {{FB|Partialwellen}} , l=0,1,2,3... | ||
:<math>{{\sigma }_{l}}=\frac{4\pi }{2l+1}{{\left| {{f}_{l}} \right|}^{2}}</math> | :<math>{{\sigma }_{l}}=\frac{4\pi }{2l+1}{{\left| {{f}_{l}} \right|}^{2}}</math> | ||
Line 198: | Line 198: | ||
Bei genügend kleinen Energien <math>E=\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{k}}}^{2}}}{2m}</math> | Bei genügend kleinen Energien <math>E=\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{k}}}^{2}}}{2m}</math> | ||
werden nur die niedrigsten Partialwellen (für kleine l) gestreut. | werden nur die niedrigsten Partialwellen ( für kleine l) gestreut. | ||
Denn: | Denn: | ||
in<math>\sigma =\sum\limits_{l}{{{\sigma }_{l}}=\sum\limits_{l}{{}}}\frac{4\pi }{{{k}^{2}}}\left( 2l+1 \right){{\sin }^{2}}{{\delta }_{l}}</math> | in<math>\sigma =\sum\limits_{l}{{{\sigma }_{l}}=\sum\limits_{l}{{}}}\frac{4\pi }{{{k}^{2}}}\left( 2l+1 \right){{\sin }^{2}}{{\delta }_{l}}</math> | ||
tragen nur die l mit <math>l\le ka</math> bei. | tragen nur die l mit <math>l\le ka</math> bei. | ||
Dabei ist a die Reichweite des Potenzials! | Dabei ist a die Reichweite des Potenzials ! | ||
Grund (aus semiklassischer Betrachtung): | Grund (aus semiklassischer Betrachtung): | ||
Es falle ein Teilchen mit <math>\bar{p}=\hbar \bar{k}</math> | Es falle ein Teilchen mit <math>\bar{p}=\hbar \bar{k}</math> | ||
Line 213: | Line 213: | ||
Stoßparameter <math>b=\frac{\sqrt{l(l+1)}}{k}\le a\Rightarrow l\approx \sqrt{l(l+1)}\le ka</math> | Stoßparameter <math>b=\frac{\sqrt{l(l+1)}}{k}\le a\Rightarrow l\approx \sqrt{l(l+1)}\le ka</math> | ||
Die Beziehungen gelten jedoch nur näherungsweise! | Die Beziehungen gelten jedoch nur näherungsweise ! | ||
Das folgende Bild zeigt die Streuwelle <math>{{\Psi }_{S}}(\bar{r})=f(\vartheta )\frac{{{e}^{ikr}}}{r}</math> für die Streuung einer ebenen Welle <math>{{e}^{ikz}}</math> an einem abstoßenden Potenzial. | Das folgende Bild zeigt die Streuwelle <math>{{\Psi }_{S}}(\bar{r})=f(\vartheta )\frac{{{e}^{ikr}}}{r}</math> für die Streuung einer ebenen Welle <math>{{e}^{ikz}}</math> an einem abstoßenden Potenzial. | ||
Hier ist der Verlauf der Streuquerschnitte <math>{{\sigma }_{l}}</math> der jeweils l-ten Partialwelle zu sehen: | Hier ist der Verlauf der Streuquerschnitte <math>{{\sigma }_{l}}</math> der jeweils l-ten Partialwelle zu sehen: |