Editing Drehimpulsdarstellung und Streuphasen

<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|6|4}}</noinclude>
Annahme: Kugelsymmetrisches Streupotenzial V(r )

Erforderlich ist die Umrechung der Impulsdarstellung <math>\left| {\bar{k}} \right\rangle </math>

in die Drehimpulsdarstellung <math>\left| lm \right\rangle </math>

freier Teilchen.

'''Ziel:'''

Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen mit kleinem l als Näherung für KLEINE Energien

<math>E=\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{k}}}^{2}}}{2m}</math>

klein

Die auslaufende Welle schreibt sich dann entwickelt:

<math>\Psi (\bar{r})=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{r}{{u}_{l}}(r){{P}_{l}}(\cos \vartheta )</math>

( Mit den Legendre- Polynomen <math>{{P}_{l}}(\cos \vartheta )</math>

)

Es können die Kugelflächenfunktionen genommen werden, die von m, also <math>\phi </math>

unabhängig sind wegen des kugelsymmetrischen Potenzials -> es treten nur Drehimpulseigenfunktionen mit m=0 auf !

'''Einlaufende ebene Welle'''

<math>{{\Psi }_{e}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}={{e}^{ikr\cos \vartheta }}=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{r}{{u}_{l}}(r){{P}_{l}}(\cos \vartheta )</math>

die einlaufende Welle ist also ein Legendre- Polynom vom Grad l

Es gilt die Orthogonalität: <math>\int_{-1}^{1}{d\xi }{{P}_{l}}(\xi ){{P}_{l\acute{\ }}}(\xi )=\frac{2}{2l+1}{{\delta }_{ll\acute{\ }}}</math>

Dabei taucht der Entartungsgrad <math>2l+1</math>

als inverser Normierungsfaktor auf. ( Der Betrag der Legendre- Polynome ist also indirekt proportional zum Entartungsgrad !)

Aus der Orthogonalitätsrelation erhält man mit Multiplikation mit <math>{{P}_{l\acute{\ }}}(\cos \vartheta )</math>

und Integration <math>d\xi </math>

dass:

<math>\begin{align}

& \frac{2l\acute{\ }+1}{2}\int_{-1}^{1}{d\xi }{{e}^{ikr\xi }}{{P}_{l\acute{\ }}}(\xi )=\frac{1}{r}{{u}_{l\acute{\ }}}(r) \\

& {{e}^{ikr\xi }}:=u\acute{\ } \\

& {{P}_{l\acute{\ }}}(\xi ):=v \\

\end{align}</math>

im asymptotischen Verhalten <math>r\to \infty </math>

gewinnt man ( Striche eingespart) durch Wiederholtes Anwenden der partiellen Integration:

<math>\frac{1}{r}{{u}_{l}}(r)=\frac{2l+1}{2}\left\{ \frac{1}{ikr}\left[ {{e}^{ikr\xi }}{{P}_{l}}(\xi ) \right]_{-1}^{+1}-\frac{1}{{{\left( ikr \right)}^{2}}}\left[ {{e}^{ikr\xi }}{{P}_{l}}\acute{\ }(\xi ) \right]_{-1}^{+1}+\frac{1}{{{\left( ikr \right)}^{3}}}\left[ {{e}^{ikr\xi }}{{P}_{l}}\acute{\ }\acute{\ }(\xi ) \right]_{-1}^{+1}+... \right\}</math>

Mit

<math>\begin{align}

& {{P}_{l}}(1)=1 \\

& {{P}_{l}}(-1)={{(-1)}^{l}} \\

\end{align}</math>

<math>\begin{align}

& \begin{matrix}

\lim   \\

r\to \infty   \\

\end{matrix}\frac{1}{r}{{u}_{l}}(r)=\frac{2l+1}{2}\frac{1}{ikr}\left\{ {{e}^{ikr}}-{{(-1)}^{l}}{{e}^{-ikr}} \right\}=\frac{2l+1}{2}\frac{1}{ikr}{{i}^{l}}\left\{ {{e}^{i\left( kr-l\frac{\pi }{2} \right)}}-{{e}^{-i\left( kr-l\frac{\pi }{2} \right)}} \right\} \\

& \Rightarrow \begin{matrix}

\lim   \\

r\to \infty   \\

\end{matrix}\frac{1}{r}{{u}_{l}}(r)=\left( 2l+1 \right)\frac{{{i}^{l}}}{kr}\sin \left( kr-l\frac{\pi }{2} \right) \\

\end{align}</math>

<u>'''Zusammenhang mit der freien Schrödingergleichung'''</u>

<math>{{\Psi }_{e}}(\bar{r})=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{r}{{u}_{l}}(r){{P}_{l}}(\cos \vartheta )</math>

ist Lösung der freien Schrödingergleichung

<math>\left( -\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta -E \right){{\Psi }_{e}}=0</math>

Mit <math>E=\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{k}}}^{2}}}{2m}</math>

Separation in Kugelkoordinaten  erlaubt:

<math>\begin{align}

& {{{\hat{L}}}^{2}}Y_{l}^{m=0}={{\hbar }^{2}}l(l+1)Y_{l}^{m=0} \\

& Y_{l}^{m=0}\tilde{\ }{{P}_{l}}(\cos \vartheta ) \\

\end{align}</math>

Es folgt die Bestimmungsgleichung für die radialen Funktionen:

<math>\begin{align}

& {{u}_{l}}\acute{\ }\acute{\ }(r)+\left( {{k}^{2}}-\frac{l(l+1)}{{{r}^{2}}} \right){{u}_{l}}(r)=0 \\

& mit \\

& {{u}_{l}}(0)=0 \\

\end{align}</math>

Vergl. S. 84, §3.3

Voraussetzung ist die REGULARITÄT: <math>\left\langle V \right\rangle <\infty </math>

Die Lösung nach Schwabel , Seite 278  lautet:

<math>\frac{1}{r}{{u}_{l}}(r)=\frac{2l+1}{{{(-i)}^{l}}}{{j}_{l}}(kr)</math>

Also die sphärischen Besselfunktionen !

Die radialen Lösungen für das Streuproblem ( Entwicklungsterme für die einfallende Welle) sind die sphärischen Besselfunktionen

<u>'''Asymptotische Streuphasen'''</u>

Wieder entwickeln wir in  Kugelflächenfunktionen. Diesmal jedoch die asymptotische Streuwelle:

<math>\begin{matrix}

\lim   \\

r\to \infty   \\

\end{matrix}{{\Psi }_{S}}(\bar{r})=f(\vartheta )\frac{{{e}^{ikr}}}{r}</math>

Es folgt:

<math>f(\vartheta )=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{{f}_{l}}}{{P}_{l}}(\cos \vartheta )</math>

Setzen wir dies in den Wirkungsquerschnitt ein, so folgt für den totalen Wirkungsquerschnitt

<math>\begin{array}{*{35}{l}}

{} & {{\sigma }_{tot.}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega }{{\left| f(\vartheta ) \right|}^{2}}  \\
{} & auerdem  \\
{} & \int_{-1}^{1}{d\xi }{{P}_{l}}(\xi ){{P}_{l\overset{\acute{\ }}{\mathop{\ }}\,}}(\xi )=\frac{2}{2l+1}{{\delta }_{ll\overset{\acute{\ }}{\mathop{\ }}\,}}  \\
{} & \Rightarrow {{\sigma }_{tot.}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega }{{\left| f(\vartheta ) \right|}^{2}}=2\pi \sum\limits_{l=0}^{\infty }{\frac{2}{2l+1}{{\left| {{f}_{l}} \right|}^{2}}=:}\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}{{\sigma }_{l}}  \\
\end{array}</math>

Man spricht in diesem Fall von einer Entwicklung nach PARTIALWELLEN , l=0,1,2,3...

<math>{{\sigma }_{l}}=\frac{4\pi }{2l+1}{{\left| {{f}_{l}} \right|}^{2}}</math>

Die <math>{{f}_{l}}</math>
müssen dabei noch bestimmt werden:
<math>\begin{align}
& \begin{matrix}
\lim   \\
r\to \infty   \\
\end{matrix}\Psi (\bar{r})={{e}^{ikr\cos \vartheta }}+f(\vartheta )\frac{{{e}^{ikr}}}{r} \\
& \begin{matrix}
\lim   \\
r\to \infty   \\
\end{matrix}\sum\limits_{l}{{}}\frac{{{u}_{l}}}{r}{{P}_{l}}(\xi )=\sum\limits_{l}{{}}\left\{ \left( 2l+1 \right)\frac{{{i}^{l}}}{kr}\sin \left( kr-l\frac{\pi }{2} \right)+{{f}_{l}}\frac{{{e}^{ikr}}}{r} \right\}{{P}_{l}}(\xi ) \\
\end{align}</math>

Dieser asymptotische Verlauf muss sich jedoch auch in der Form
<math>\begin{matrix}
\lim   \\
r\to \infty   \\
\end{matrix}\sum\limits_{l}{{}}\frac{{{u}_{l}}}{r}{{P}_{l}}(\xi )={{C}_{l}}\sin \left( kr-l\frac{\pi }{2}+{{\delta }_{l}} \right)</math>

darstellen lassen. Dabei findet sich  in <math>\sin \left( kr-l\frac{\pi }{2}+{{\delta }_{l}} \right)</math>
die sogenannte asymptotische Phasenverschiebung <math>{{\delta }_{l}}</math>
der auslaufenden (freien) Partialwelle gegenüber der einlaufenden freien Partialwelle.
Der Koeffizient <math>{{C}_{l}}</math>
muss durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden:
<math>\frac{{{C}_{l}}}{2i}\left\{ {{e}^{i\left( kr-l\frac{\pi }{2}+{{\delta }_{l}} \right)}}-{{e}^{-i\left( kr-l\frac{\pi }{2}+{{\delta }_{l}} \right)}} \right\}=\left\{ \frac{\left( 2l+1 \right)}{2i}\frac{{{i}^{l}}}{k}\left[ {{e}^{i\left( kr-l\frac{\pi }{2} \right)}}-{{e}^{-i\left( kr-l\frac{\pi }{2} \right)}} \right]+{{f}_{l}}{{e}^{ikr}} \right\}</math>

Der Koeffizientenvergleich erfolgt über den separierten Vergleich der Terme mit <math>{{e}^{\pm ikr}}</math>
:
<math>{{e}^{-ikr}}:{{C}_{l}}=\frac{\left( 2l+1 \right)}{k}{{i}^{l}}{{e}^{i{{\delta }_{l}}}}</math>

<math>{{e}^{ikr}}:\frac{1}{2i}{{C}_{l}}{{e}^{-il\frac{\pi }{2}}}{{e}^{i{{\delta }_{l}}}}=\frac{\left( 2l+1 \right)}{2i}\frac{{{i}^{l}}}{k}{{e}^{-il\frac{\pi }{2}}}+{{f}_{l}}</math>

Damit folgt:

<math>\begin{align}
& {{f}_{l}}=\frac{2l+1}{2ik}{{i}^{l}}{{e}^{-il\frac{\pi }{2}}}\left( {{e}^{i2{{\delta }_{l}}}}-1 \right)=\frac{2l+1}{2ik}\left( {{e}^{i2{{\delta }_{l}}}}-1 \right) \\
& \Rightarrow {{f}_{l}}=\frac{2l+1}{k}{{e}^{i{{\delta }_{l}}}}\sin {{\delta }_{l}} \\
\end{align}</math>

Mit der Streuamplitude <math>{{f}_{l}}</math>
und der Streuphase <math>{{\delta }_{l}}</math>
der l-ten Partialwelle
Es folgt:
<math>\Rightarrow {{\sigma }_{l}}=\frac{4\pi }{{{k}^{2}}}\left( 2l+1 \right){{\sin }^{2}}{{\delta }_{l}}</math>

Spezialfall für <math>l=0</math>
ist die sogenannte s- Welle.
Diese ist isotrop wegen <math>{{P}_{0}}(\xi )=1</math>
und damit nicht mehr von <math>\vartheta </math>
abhängig.
Ihr Streuquerschnitt lautet
<math>{{\sigma }_{0}}=\frac{4\pi }{{{k}^{2}}}{{\sin }^{2}}{{\delta }_{0}}</math>

Im Prinzip wird <math>{{\delta }_{l}}</math>
aus der Schrödingergleichung mit dem Potenzial V(r) bestimmt.
'''Bemerkung'''
Bei genügend kleinen Energien <math>E=\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{k}}}^{2}}}{2m}</math>
werden nur die niedrigsten Partialwellen ( für kleine l) gestreut.
Denn:
in<math>\sigma =\sum\limits_{l}{{{\sigma }_{l}}=\sum\limits_{l}{{}}}\frac{4\pi }{{{k}^{2}}}\left( 2l+1 \right){{\sin }^{2}}{{\delta }_{l}}</math>

tragen nur die l mit <math>l\le ka</math>
bei.
Dabei ist a  die Reichweite des Potenzials !
Grund ( aus semiklassischer Betrachtung):
Es falle ein Teilchen mit <math>\bar{p}=\hbar \bar{k}</math>
ein:
Dabei:
<math>\left| {\bar{L}} \right|=\left| \bar{r}\times \bar{p} \right|=bp=\hbar kb=\hbar \sqrt{l(l+1)}</math>

Dies impliziert jedoch:
Stoßparameter <math>b=\frac{\sqrt{l(l+1)}}{k}\le a\Rightarrow l\approx \sqrt{l(l+1)}\le ka</math>

Die Beziehungen gelten jedoch nur näherungsweise !
Das folgende Bild zeigt die Streuwelle <math>{{\Psi }_{S}}(\bar{r})=f(\vartheta )\frac{{{e}^{ikr}}}{r}</math>
für die Streuung einer ebenen Welle <math>{{e}^{ikz}}</math>
an einem abstoßenden Potenzial.
Hier ist der Verlauf der Streuquerschnitte <math>{{\sigma }_{l}}</math>
der jeweils l-ten Partialwelle zu sehen: