Editing Drehimpuls und Bewegungsgleichungen

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|6|3}}</noinclude>

====Drehimpuls====
# diskret:

:<math>\begin{align}
  & \bar{l}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left( {{{\bar{r}}}_{S}}+{{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)\times \left( \bar{V}+\bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right) \\
 & \bar{l}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left( {{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{V} \right)+\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \bar{V}+{{{\bar{r}}}_{S}}\times \left( \bar{\omega }\times \sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)+\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right) \\
 & \sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \bar{V}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left( {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)=0 \\
 & \bar{l}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left( {{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{V} \right)+\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)=M\left( {{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{V} \right)+\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right) \\
\end{align}</math> Mit <math>M\left( {{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{V} \right)</math>
 als Schwerpunktsdrehimpuls


:<math>\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{\bar{x}}^{(i)}}\times \left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)</math>
 als Relativdrehimpuls

# kontinuierliche Situation


:<math>\begin{align}
  & \bar{l}={{{\bar{r}}}_{s}}\times M\bar{V}+\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}}\times \left( \bar{\omega }\times \bar{x} \right) \\
 & \bar{L}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}}\times \left( \bar{\omega }\times \bar{x} \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\left[ {{x}^{2}}\bar{\omega }-\left( \bar{x}\cdot \bar{\omega } \right)\bar{x} \right]} \\
\end{align}</math>


Also:


:<math>\bar{L}=\bar{\bar{J}}\bar{\omega }</math>


Dies sieht man an der Komponentenschreibweise:


:<math>{{L}_{m}}=\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})}\left[ {{x}^{2}}{{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}{{x}_{n}} \right]{{\omega }_{n}}=\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}{{J}_{mn}}{{\omega }_{n}}</math>


Nebenbemerkung:

Im Allgemeinen ist
:<math>\bar{L}</math>
nicht parallel zu
:<math>\bar{\omega }</math>
, nur falls
:<math>\bar{\omega }</math>
in Richtung der Hauptträgheitsachse liegt !

====Allgemeine Bewegungsgleichung für den Gesamtdrehimpuls====


:<math>\frac{d}{dt}\bar{l}=\sum\limits_{i}{{{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}}}</math>
. Dabei sind
:<math>{{\bar{F}}_{i}}</math>
äußere, eingeprägte Kräfte. Die resultierende Kraft
:<math>\bar{F}({{\bar{r}}_{S}})=\sum\limits_{i}{{}}{{\bar{F}}_{i}}</math>
soll auf den Schwerpunkt wirken, so dass gilt:


:<math>\sum\limits_{i}{{}}\frac{{{{\bar{F}}}_{i}}}{{{m}_{i}}}=\frac{\bar{F}({{{\bar{r}}}_{S}})}{M}</math>


Somit:


:<math>\frac{d}{dt}\bar{l}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}\times \frac{{{{\bar{F}}}_{i}}}{{{m}_{i}}}={{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{F}({{{\bar{r}}}_{S}})}</math>


Bekanntlich gilt für die Schwerpunktsbewegung:


:<math>M{{\ddot{\bar{r}}}_{S}}=\bar{F}({{\bar{r}}_{S}})</math>
(Newton)


:<math>\frac{d}{dt}\bar{l}=\frac{d}{dt}\left( {{{\bar{r}}}_{s}}\times M\bar{V}+\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}}\times \left( \bar{\omega }\times \bar{x} \right) \right)=\frac{d}{dt}\left( {{{\bar{r}}}_{s}}\times M{{{\dot{\bar{r}}}}_{s}} \right)+\frac{d}{dt}\bar{L}=M{{\dot{\bar{r}}}_{s}}\times {{\dot{\bar{r}}}_{s}}+{{\bar{r}}_{S}}\times M{{\ddot{\bar{r}}}_{S}}+\frac{d}{dt}\bar{L}</math>



:<math>\begin{align}
  & M{{{\dot{\bar{r}}}}_{s}}\times {{{\dot{\bar{r}}}}_{s}}=0 \\
 & {{{\bar{r}}}_{S}}\times M{{{\ddot{\bar{r}}}}_{S}}={{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{F}({{{\bar{r}}}_{S}}) \\
\end{align}</math>



:<math>\frac{d}{dt}\bar{l}={{\bar{r}}_{S}}\times \bar{F}({{\bar{r}}_{S}})+\frac{d}{dt}\bar{L}</math>


Gleichzeitig gilt:
:<math>\frac{d}{dt}\bar{l}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}\times \frac{{{{\bar{F}}}_{i}}}{{{m}_{i}}}={{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{F}({{{\bar{r}}}_{S}})}</math>


Somit:


:<math>\frac{d}{dt}\bar{L}=0</math>
 Der Relativdrehimpuls ist im Schwerpunktsystem mit raumfesten Achsen konstant.

Also: Es verschwindet die Zeitableitung des relativdrehimpulses im Schwerpunktsystem mit RAUMFESTEN Achsen .

Die Transformation muss nun noch ins körperfeste, rotatorisch mitbewegte System
:<math>\bar{K}</math>
erfolgen:

Dabei sieht der Beobachter im RAUMFESTEN System neben der zeitlichen Änderung
:<math>\left( \frac{d}{dt} \right)\acute{\ }</math>
, die im mitbewegten System ebenfalls stattfindet noch die Rotation des mitbewegten Systems überlagert.

Also:


:<math>\left( \frac{d}{dt} \right)={{\left( \frac{d}{dt} \right)}^{\acute{\ }}}+\bar{\omega }\times </math>


Somit gilt für das körperfeste System
:<math>\bar{K}</math>
:


:<math>\begin{align}
  & \dot{\bar{L}}+\bar{\omega }\times \bar{L}=0 \\
 & {{\left( \frac{d}{dt} \right)}^{\acute{\ }}}\bar{L}+\bar{\omega }\times \bar{L}=0 \\
\end{align}</math>


'''Mit '''
:<math>\bar{L}=\bar{\bar{J}}\bar{\omega }</math>
'''folgt '''im körperfesten System,wo gilt:
:<math>\dot{\bar{\bar{J}}}</math>
=0


:<math>\bar{\bar{J}}\dot{\bar{\omega }}+\bar{\omega }\times \bar{\bar{J}}\bar{\omega }=0</math>


Dies ist eine nichtlineare DGL in
:<math>\bar{\omega }</math>
:

Im Schwerpunktsystem ergeben sich die EULERSCHEN Gleichungen für den kräftefreien Kreisel, falls
:<math>\bar{\bar{J}}</math>
diagonal ( Hauptträgheitsachsensystem):


:<math>\begin{align}
  & {{J}_{1}}{{{\dot{\omega }}}_{1}}=\left( {{J}_{2}}-{{J}_{3}} \right){{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}} \\
 & {{J}_{2}}{{{\dot{\omega }}}_{2}}=\left( {{J}_{3}}-{{J}_{1}} \right){{\omega }_{3}}{{\omega }_{1}} \\
 & {{J}_{3}}{{{\dot{\omega }}}_{3}}=\left( {{J}_{1}}-{{J}_{2}} \right){{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}} \\
\end{align}</math>


'''Beispiel:  Symmetrischer Kreisel: '''
:<math>{{J}_{1}}={{J}_{2}}\equiv J\ne {{J}_{3}}</math>



:<math>{{\dot{\omega }}_{3}}=0</math>
, also
:<math>{{\omega }_{3}}=const</math>
im mitrotierenden System


:<math>\begin{align}
  & J{{{\dot{\omega }}}_{1}}=\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right){{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}} \\
 & {{{\ddot{\omega }}}_{1}}=\frac{\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right)}{J}{{{\dot{\omega }}}_{2}}{{\omega }_{3}}=-{{\left[ \frac{\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right)}{J}{{\omega }_{3}} \right]}^{2}}{{\omega }_{1}} \\
\end{align}</math>


Diese Gleichung kann zweimal integriert werden. Mit den Integrationskonstanten


:<math>{{\omega }_{\bot }},{{\phi }_{0}}</math>
und der Zusammenfassung
:<math>{{\omega }_{0}}:=\frac{\left( J-{{J}_{3}} \right)}{J}{{\omega }_{3}}</math>


folgt:


:<math>{{\omega }_{1}}={{\omega }_{\bot }}\cos \left( {{\omega }_{0}}t+{{\phi }_{0}} \right)</math>


Dies kann in


:<math>J{{\dot{\omega }}_{1}}=\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right){{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}}</math>
eingesetzt werden und es ergibt sich:


:<math>{{\omega }_{2}}=-{{\omega }_{\bot }}\sin \left( {{\omega }_{0}}t+{{\phi }_{0}} \right)</math>


Die Definitionen sind an folgender Figur ersichtlich:

Dabei ist x3 die Figurenachse ( Achse durch die Drehachse von J3)

Es gilt:


:<math>{{\omega }_{1}}{{(t)}^{2}}+{{\omega }_{2}}{{(t)}^{2}}={{\omega }_{\bot }}^{2}=const</math>



:<math>{{\omega }_{1}}{{(t)}^{2}}+{{\omega }_{2}}{{(t)}^{2}}+{{\omega }_{3}}{{(t)}^{2}}={{\omega }_{\bot }}^{2}+{{\omega }_{3}}{{(t)}^{2}}=const</math>


Das heißt


:<math>\bar{\omega }</math>
und  damit auch
:<math>\bar{L}</math> mit <math>{{L}_{i}}={{J}_{i}}{{\omega }_{i}}</math>
 rotieren um die Figurenachse
:<math>\bar{f}||{{x}_{3}}</math>


Veranschaulicht man diese Situation im Schwerpunktsystem mit '''raumfesten '''Achsen, so gilt mit
:<math>\frac{d}{dt}\bar{L}=0\Rightarrow \bar{L}\ fest</math>



:<math>\bar{\omega }</math> und <math>\bar{f}</math>
präzedieren um die raumfeste Achse
:<math>\bar{L}</math>
. Dabei müssen
:<math>\bar{\omega }</math>
,
:<math>\bar{f}</math> und <math>\bar{L}</math>
stets in einer Ebene liegen.

'''Anwendung:'''

Erde als abgeplattetes Rotationsellipsoid:


:<math>\begin{align}
  & \frac{\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right)}{J}\approx \frac{1}{300} \\
 & \frac{2\pi }{{{\omega }_{3}}}=1Tag \\
\end{align}</math>


Damit kann die Präzessionsperiode leicht berechnet werden:


:<math>T=\frac{2\pi }{{{\omega }_{0}}}=\frac{2\pi J}{{{\omega }_{3}}(J-{{J}_{3}})}=\frac{J}{(J-{{J}_{3}})}\cdot 1Tag=300Tage</math>


Die Erde präzediert also einmal in 300 Tagen um ihre eigene Achse!
rac{2}{5}M{{R}^{2}}+M{{R}^{2}}=\frac{7}{5}M{{R}^{2}}</math>