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Drehimpuls und Bewegungsgleichungen
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<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|6|3}}</noinclude> ====Drehimpuls==== # diskret: :<math>\begin{align} & \bar{l}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left( {{{\bar{r}}}_{S}}+{{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)\times \left( \bar{V}+\bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right) \\ & \bar{l}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left( {{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{V} \right)+\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \bar{V}+{{{\bar{r}}}_{S}}\times \left( \bar{\omega }\times \sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)+\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right) \\ & \sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \bar{V}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left( {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)=0 \\ & \bar{l}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{m}_{i}}\left( {{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{V} \right)+\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)=M\left( {{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{V} \right)+\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{{\bar{x}}}^{(i)}}\times \left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right) \\ \end{align}</math> Mit <math>M\left( {{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{V} \right)</math> als Schwerpunktsdrehimpuls :<math>\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}{{\bar{x}}^{(i)}}\times \left( \bar{\omega }\times {{{\bar{x}}}^{(i)}} \right)</math> als Relativdrehimpuls # kontinuierliche Situation :<math>\begin{align} & \bar{l}={{{\bar{r}}}_{s}}\times M\bar{V}+\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}}\times \left( \bar{\omega }\times \bar{x} \right) \\ & \bar{L}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}}\times \left( \bar{\omega }\times \bar{x} \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\left[ {{x}^{2}}\bar{\omega }-\left( \bar{x}\cdot \bar{\omega } \right)\bar{x} \right]} \\ \end{align}</math> Also: :<math>\bar{L}=\bar{\bar{J}}\bar{\omega }</math> Dies sieht man an der Komponentenschreibweise: :<math>{{L}_{m}}=\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})}\left[ {{x}^{2}}{{\delta }_{mn}}-{{x}_{m}}{{x}_{n}} \right]{{\omega }_{n}}=\sum\limits_{n=1}^{3}{{}}{{J}_{mn}}{{\omega }_{n}}</math> Nebenbemerkung: Im Allgemeinen ist :<math>\bar{L}</math> nicht parallel zu :<math>\bar{\omega }</math>, nur falls :<math>\bar{\omega }</math> in Richtung der Hauptträgheitsachse liegt! ====Allgemeine Bewegungsgleichung für den Gesamtdrehimpuls==== :<math>\frac{d}{dt}\bar{l}=\sum\limits_{i}{{{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}}}</math>. Dabei sind :<math>{{\bar{F}}_{i}}</math> äußere, eingeprägte Kräfte. Die resultierende Kraft :<math>\bar{F}({{\bar{r}}_{S}})=\sum\limits_{i}{{}}{{\bar{F}}_{i}}</math> soll auf den Schwerpunkt wirken, so dass gilt: :<math>\sum\limits_{i}{{}}\frac{{{{\bar{F}}}_{i}}}{{{m}_{i}}}=\frac{\bar{F}({{{\bar{r}}}_{S}})}{M}</math> Somit: :<math>\frac{d}{dt}\bar{l}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}\times \frac{{{{\bar{F}}}_{i}}}{{{m}_{i}}}={{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{F}({{{\bar{r}}}_{S}})}</math> Bekanntlich gilt für die Schwerpunktsbewegung: :<math>M{{\ddot{\bar{r}}}_{S}}=\bar{F}({{\bar{r}}_{S}})</math> (Newton) :<math>\frac{d}{dt}\bar{l}=\frac{d}{dt}\left( {{{\bar{r}}}_{s}}\times M\bar{V}+\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}x\rho (\bar{x})\bar{x}}\times \left( \bar{\omega }\times \bar{x} \right) \right)=\frac{d}{dt}\left( {{{\bar{r}}}_{s}}\times M{{{\dot{\bar{r}}}}_{s}} \right)+\frac{d}{dt}\bar{L}=M{{\dot{\bar{r}}}_{s}}\times {{\dot{\bar{r}}}_{s}}+{{\bar{r}}_{S}}\times M{{\ddot{\bar{r}}}_{S}}+\frac{d}{dt}\bar{L}</math> :<math>\begin{align} & M{{{\dot{\bar{r}}}}_{s}}\times {{{\dot{\bar{r}}}}_{s}}=0 \\ & {{{\bar{r}}}_{S}}\times M{{{\ddot{\bar{r}}}}_{S}}={{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{F}({{{\bar{r}}}_{S}}) \\ \end{align}</math> :<math>\frac{d}{dt}\bar{l}={{\bar{r}}_{S}}\times \bar{F}({{\bar{r}}_{S}})+\frac{d}{dt}\bar{L}</math> Gleichzeitig gilt: :<math>\frac{d}{dt}\bar{l}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}\times \frac{{{{\bar{F}}}_{i}}}{{{m}_{i}}}={{{\bar{r}}}_{S}}\times \bar{F}({{{\bar{r}}}_{S}})}</math> Somit: :<math>\frac{d}{dt}\bar{L}=0</math> Der Relativdrehimpuls ist im Schwerpunktsystem mit raumfesten Achsen konstant. Also: Es verschwindet die Zeitableitung des relativdrehimpulses im Schwerpunktsystem mit RAUMFESTEN Achsen. Die Transformation muss nun noch ins körperfeste, rotatorisch mitbewegte System :<math>\bar{K}</math> erfolgen: Dabei sieht der Beobachter im RAUMFESTEN System neben der zeitlichen Änderung :<math>\left( \frac{d}{dt} \right)\acute{\ }</math>, die im mitbewegten System ebenfalls stattfindet noch die Rotation des mitbewegten Systems überlagert. Also: :<math>\left( \frac{d}{dt} \right)={{\left( \frac{d}{dt} \right)}^{\acute{\ }}}+\bar{\omega }\times </math> Somit gilt für das körperfeste System :<math>\bar{K}</math> : :<math>\begin{align} & \dot{\bar{L}}+\bar{\omega }\times \bar{L}=0 \\ & {{\left( \frac{d}{dt} \right)}^{\acute{\ }}}\bar{L}+\bar{\omega }\times \bar{L}=0 \\ \end{align}</math> '''Mit ''' :<math>\bar{L}=\bar{\bar{J}}\bar{\omega }</math> '''folgt '''im körperfesten System,wo gilt: :<math>\dot{\bar{\bar{J}}}</math> =0 :<math>\bar{\bar{J}}\dot{\bar{\omega }}+\bar{\omega }\times \bar{\bar{J}}\bar{\omega }=0</math> Dies ist eine nichtlineare DGL in :<math>\bar{\omega }</math> : Im Schwerpunktsystem ergeben sich die EULERSCHEN Gleichungen für den kräftefreien Kreisel, falls :<math>\bar{\bar{J}}</math> diagonal (Hauptträgheitsachsensystem): :<math>\begin{align} & {{J}_{1}}{{{\dot{\omega }}}_{1}}=\left( {{J}_{2}}-{{J}_{3}} \right){{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}} \\ & {{J}_{2}}{{{\dot{\omega }}}_{2}}=\left( {{J}_{3}}-{{J}_{1}} \right){{\omega }_{3}}{{\omega }_{1}} \\ & {{J}_{3}}{{{\dot{\omega }}}_{3}}=\left( {{J}_{1}}-{{J}_{2}} \right){{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}} \\ \end{align}</math> '''Beispiel: Symmetrischer Kreisel: ''' :<math>{{J}_{1}}={{J}_{2}}\equiv J\ne {{J}_{3}}</math> :<math>{{\dot{\omega }}_{3}}=0</math>, also :<math>{{\omega }_{3}}=const</math> im mitrotierenden System :<math>\begin{align} & J{{{\dot{\omega }}}_{1}}=\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right){{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}} \\ & {{{\ddot{\omega }}}_{1}}=\frac{\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right)}{J}{{{\dot{\omega }}}_{2}}{{\omega }_{3}}=-{{\left[ \frac{\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right)}{J}{{\omega }_{3}} \right]}^{2}}{{\omega }_{1}} \\ \end{align}</math> Diese Gleichung kann zweimal integriert werden. Mit den Integrationskonstanten :<math>{{\omega }_{\bot }},{{\phi }_{0}}</math> und der Zusammenfassung :<math>{{\omega }_{0}}:=\frac{\left( J-{{J}_{3}} \right)}{J}{{\omega }_{3}}</math> folgt: :<math>{{\omega }_{1}}={{\omega }_{\bot }}\cos \left( {{\omega }_{0}}t+{{\phi }_{0}} \right)</math> Dies kann in :<math>J{{\dot{\omega }}_{1}}=\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right){{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}}</math> eingesetzt werden und es ergibt sich: :<math>{{\omega }_{2}}=-{{\omega }_{\bot }}\sin \left( {{\omega }_{0}}t+{{\phi }_{0}} \right)</math> Die Definitionen sind an folgender Figur ersichtlich: Dabei ist x3 die Figurenachse (Achse durch die Drehachse von J3) Es gilt: :<math>{{\omega }_{1}}{{(t)}^{2}}+{{\omega }_{2}}{{(t)}^{2}}={{\omega }_{\bot }}^{2}=const</math> :<math>{{\omega }_{1}}{{(t)}^{2}}+{{\omega }_{2}}{{(t)}^{2}}+{{\omega }_{3}}{{(t)}^{2}}={{\omega }_{\bot }}^{2}+{{\omega }_{3}}{{(t)}^{2}}=const</math> Das heißt :<math>\bar{\omega }</math> und damit auch :<math>\bar{L}</math> mit <math>{{L}_{i}}={{J}_{i}}{{\omega }_{i}}</math> rotieren um die Figurenachse :<math>\bar{f}||{{x}_{3}}</math> Veranschaulicht man diese Situation im Schwerpunktsystem mit '''raumfesten '''Achsen, so gilt mit :<math>\frac{d}{dt}\bar{L}=0\Rightarrow \bar{L}\ fest</math> :<math>\bar{\omega }</math> und <math>\bar{f}</math> präzedieren um die raumfeste Achse :<math>\bar{L}</math>. Dabei müssen :<math>\bar{\omega }</math>, :<math>\bar{f}</math> und <math>\bar{L}</math> stets in einer Ebene liegen. '''Anwendung:''' Erde als abgeplattetes Rotationsellipsoid: :<math>\begin{align} & \frac{\left( {{J}_{{}}}-{{J}_{3}} \right)}{J}\approx \frac{1}{300} \\ & \frac{2\pi }{{{\omega }_{3}}}=1Tag \\ \end{align}</math> Damit kann die Präzessionsperiode leicht berechnet werden: :<math>T=\frac{2\pi }{{{\omega }_{0}}}=\frac{2\pi J}{{{\omega }_{3}}(J-{{J}_{3}})}=\frac{J}{(J-{{J}_{3}})}\cdot 1Tag=300Tage</math> Die Erde präzediert also einmal in 300 Tagen um ihre eigene Achse! rac{2}{5}M{{R}^{2}}+M{{R}^{2}}=\frac{7}{5}M{{R}^{2}}</math>
Summary:
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