Editing Drehimpuls- Eigenzustände
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Latest revision | Your text | ||
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und <math>{{\hat{L}}^{2}}</math> | und <math>{{\hat{L}}^{2}}</math> | ||
. | . | ||
'''Definition von Leiteroperatoren (vergl. harmonischer Oszi):<math>'''\begin{align} | '''Definition von Leiteroperatoren (vergl. harmonischer Oszi):<math>'''\begin{align} | ||
Line 140: | Line 140: | ||
Nun: | Nun: | ||
Wir suchen einen vollständigen Satz von vertauschbaren. Observablen (nötig für Quantisierung | Wir suchen einen vollständigen Satz von vertauschbaren. Observablen ( nötig für Quantisierung -> Quantisierungsbedingung entspricht Kommutatoren, wir brauchen aber möglichst viele Größen, deren Kommutator verschwindet.). Ziel: Maximalmessung ermöglichen ! | ||
Aber: <math>{{\hat{L}}_{1}},{{\hat{L}}_{2}}</math> | Aber: <math>{{\hat{L}}_{1}},{{\hat{L}}_{2}}</math> | ||
Line 147: | Line 147: | ||
bekommt man dagegen dann einen Ersatz für <math>{{\hat{L}}_{1}},{{\hat{L}}_{2}}</math> | bekommt man dagegen dann einen Ersatz für <math>{{\hat{L}}_{1}},{{\hat{L}}_{2}}</math> | ||
vertauscht. Man hat also wieder einen vollständigen Satz von Observablen)(hinsichtlich des Drehimpulsproblems) (3 Stück, entsprechend der drei nötigen Angaben für die drei Komponenten des Drehimpulsvektors! im Dreidimensionalen. Diesmal vertauscht jedoch alles! | , der mit <math>{{\hat{L}}^{2}}</math> | ||
vertauscht. Man hat also wieder einen vollständigen Satz von Observablen)( hinsichtlich des Drehimpulsproblems) ( 3 Stück, entsprechend der drei nötigen Angaben für die drei Komponenten des Drehimpulsvektors ! im Dreidimensionalen. Diesmal vertauscht jedoch alles ! | |||
Allerdings sind <math>{{\hat{L}}_{+}},{{\hat{L}}_{-}}</math> | Allerdings sind <math>{{\hat{L}}_{+}},{{\hat{L}}_{-}}</math> | ||
Line 159: | Line 159: | ||
und <math>{{\hat{L}}_{3}}</math> | und <math>{{\hat{L}}_{3}}</math> | ||
Wir können das System also über zwei Quantenzahlen charakterisieren! | , wobei die Komponente selbst willkürlich ist. Hier wählen wir die dritte aus. | ||
Wir können das System also über zwei Quantenzahlen charakterisieren ! | |||
====Eigenwerte und Eigenzustände==== | ====Eigenwerte und Eigenzustände==== | ||
Line 236: | Line 236: | ||
um <math>\hbar </math> | um <math>\hbar </math> | ||
. | . | ||
-> wir bekommen hier Informationen, indem wir Produkte aus Operatoren auf unsere formalen Eigenzustände wirken lassen. Dieses Vorgehen ist sehr typisch, kann man sich mal merken ! | |||
Die n- bzw. m- malige Anwendung bei festem <math>{{b}_{0}}</math> | Die n- bzw. m- malige Anwendung bei festem <math>{{b}_{0}}</math> | ||
Line 331: | Line 331: | ||
mit <math>m=-l,-l+1,-l+2,...,l-2,l-1,l</math> | mit <math>m=-l,-l+1,-l+2,...,l-2,l-1,l</math> | ||
m=-l | m=-l -> gehört zu bmin | ||
m=+l | m=+l -> gehört zu b max | ||
Es können keine weiteren Eigenwerte von <math>{{\hat{L}}_{3}}</math> | Es können keine weiteren Eigenwerte von <math>{{\hat{L}}_{3}}</math> | ||
Line 362: | Line 362: | ||
erhöhen bzw. erniedrigen, ist also eine Konsequenz aus dem Kommutator <math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\hat{L}}_{l}}</math> | erhöhen bzw. erniedrigen, ist also eine Konsequenz aus dem Kommutator <math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\hat{L}}_{l}}</math> | ||
, | |||
, besser, wegen dem zyklischen Anspruch an j,k,l:<math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{L}}_{l}}</math> | |||
. | |||
. Der wurde nämlich oben mit eingesetzt um die Eigenwertprobleme zu bestimmen. ( siehe oben). | |||
Also bedingt der Kommutator <math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{L}}_{l}}</math> | Also bedingt der Kommutator <math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{L}}_{l}}</math> | ||
Line 406: | Line 406: | ||
<u>'''Darstellung der Richtungsquantisierung:'''</u> | <u>'''Darstellung der Richtungsquantisierung:'''</u> | ||
<u>'''m=1/2 ''' | <u>'''m=1/2 '''-> </u>Der Drehimpuls steht parallel zur x3- Achse | ||
m=-1/2 | m=-1/2 -> der Drehimpuls steht antiparallel zur x3- Achse | ||
Zur Übung ist zu zeigen:<math>\left\langle l,m \right|{{\hat{L}}_{i}}\left| l,m \right\rangle =0</math> | Zur Übung ist zu zeigen:<math>\left\langle l,m \right|{{\hat{L}}_{i}}\left| l,m \right\rangle =0</math> | ||
Line 416: | Line 416: | ||
soll berechnet werden | soll berechnet werden | ||
'''Nebenbemerkung: ''' Die Drehimpulsquantisierung ist eine Folge der Nichtvertauschbarkeit der einzelnen Komponenten des Drehimpulses! | '''Nebenbemerkung: ''' Die Drehimpulsquantisierung ist eine Folge der Nichtvertauschbarkeit der einzelnen Komponenten des Drehimpulses ! |