Editing Drehimpuls- Eigenzustände
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{{Scripthinweis|Quantenmechanik|3|1}} | |||
Drehimpulsoperator:<math>\hat{\bar{L}}=\hat{\bar{r}}\times \hat{\bar{p}}</math> | Drehimpulsoperator:<math>\hat{\bar{L}}=\hat{\bar{r}}\times \hat{\bar{p}}</math> | ||
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In Komponenten:<math>{{\hat{L}}_{j}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{r}}_{k}}{{\hat{p}}_{l}}</math> | In Komponenten:<math>{{\hat{L}}_{j}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{r}}_{k}}{{\hat{p}}_{l}}</math> | ||
<math>\hat{\bar{L}}=\hat{\bar{r}}\times \hat{\bar{p}}</math> | |||
ist hermitesch:<math>{{\hat{L}}_{j}}^{+}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\left( {{{\hat{r}}}_{k}}{{{\hat{p}}}_{l}} \right)}^{+}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{p}}_{l}}^{+}{{\hat{r}}_{k}}^{+}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{p}}_{l}}{{\hat{r}}_{k}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{r}}_{k}}{{\hat{p}}_{l}}</math> | ist hermitesch:<math>{{\hat{L}}_{j}}^{+}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\left( {{{\hat{r}}}_{k}}{{{\hat{p}}}_{l}} \right)}^{+}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{p}}_{l}}^{+}{{\hat{r}}_{k}}^{+}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{p}}_{l}}{{\hat{r}}_{k}}={{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{r}}_{k}}{{\hat{p}}_{l}}</math> | ||
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<u>'''Vertauschungs- Relationen:'''</u> | <u>'''Vertauschungs- Relationen:'''</u> | ||
Allgemein: <math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\hat{L}}_{l}}</math> | Allgemein: <math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\hat{L}}_{l}}</math> | ||
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und <math>{{\hat{L}}^{2}}</math> | und <math>{{\hat{L}}^{2}}</math> | ||
. | . | ||
'''Definition von Leiteroperatoren (vergl. harmonischer Oszi):<math>'''\begin{align} | '''Definition von Leiteroperatoren (vergl. harmonischer Oszi):<math>'''\begin{align} | ||
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'''Vertauschungsrelationen<math>'''\left[ {{{\hat{L}}}_{+}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{1}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]+i\left[ {{{\hat{L}}}_{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=-i\hbar {{\hat{L}}_{2}}-\hbar {{\hat{L}}_{1}}=-\hbar \left( {{{\hat{L}}}_{1}}+i{{{\hat{L}}}_{2}} \right)</math> | '''Vertauschungsrelationen<math>'''\left[ {{{\hat{L}}}_{+}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=\left[ {{{\hat{L}}}_{1}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]+i\left[ {{{\hat{L}}}_{2}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=-i\hbar {{\hat{L}}_{2}}-\hbar {{\hat{L}}_{1}}=-\hbar \left( {{{\hat{L}}}_{1}}+i{{{\hat{L}}}_{2}} \right)</math> | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left[ {{{\hat{L}}}_{+}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=-\hbar {{{\hat{L}}}_{+}} \\ | & \left[ {{{\hat{L}}}_{+}},{{{\hat{L}}}_{3}} \right]=-\hbar {{{\hat{L}}}_{+}} \\ | ||
Line 134: | Line 129: | ||
: | : | ||
<math>{{\hat{L}}^{2}}={{\hat{L}}_{1}}^{2}+{{\hat{L}}_{2}}^{2}+{{\hat{L}}_{3}}^{2}={{\hat{L}}_{3}}^{2}+{{\hat{L}}_{+}}{{\hat{L}}_{-}}-\hbar {{\hat{L}}_{3}}</math> | |||
Warum ? | Warum ? | ||
Line 140: | Line 135: | ||
Nun: | Nun: | ||
Wir suchen einen vollständigen Satz von vertauschbaren. Observablen (nötig für Quantisierung | Wir suchen einen vollständigen Satz von vertauschbaren. Observablen ( nötig für Quantisierung -> Quantisierungsbedingung entspricht Kommutatoren, wir brauchen aber möglichst viele Größen, deren Kommutator verschwindet.). Ziel: Maximalmessung ermöglichen ! | ||
Aber: <math>{{\hat{L}}_{1}},{{\hat{L}}_{2}}</math> | Aber: <math>{{\hat{L}}_{1}},{{\hat{L}}_{2}}</math> | ||
Line 147: | Line 142: | ||
bekommt man dagegen dann einen Ersatz für <math>{{\hat{L}}_{1}},{{\hat{L}}_{2}}</math> | bekommt man dagegen dann einen Ersatz für <math>{{\hat{L}}_{1}},{{\hat{L}}_{2}}</math> | ||
vertauscht. Man hat also wieder einen vollständigen Satz von Observablen)(hinsichtlich des Drehimpulsproblems) (3 Stück, entsprechend der drei nötigen Angaben für die drei Komponenten des Drehimpulsvektors! im Dreidimensionalen. Diesmal vertauscht jedoch alles! | , der mit <math>{{\hat{L}}^{2}}</math> | ||
vertauscht. Man hat also wieder einen vollständigen Satz von Observablen)( hinsichtlich des Drehimpulsproblems) ( 3 Stück, entsprechend der drei nötigen Angaben für die drei Komponenten des Drehimpulsvektors ! im Dreidimensionalen. Diesmal vertauscht jedoch alles ! | |||
Allerdings sind <math>{{\hat{L}}_{+}},{{\hat{L}}_{-}}</math> | Allerdings sind <math>{{\hat{L}}_{+}},{{\hat{L}}_{-}}</math> | ||
Line 159: | Line 154: | ||
und <math>{{\hat{L}}_{3}}</math> | und <math>{{\hat{L}}_{3}}</math> | ||
Wir können das System also über zwei Quantenzahlen charakterisieren! | , wobei die Komponente selbst willkürlich ist. Hier wählen wir die dritte aus. | ||
Wir können das System also über zwei Quantenzahlen charakterisieren ! | |||
====Eigenwerte und Eigenzustände==== | ====Eigenwerte und Eigenzustände==== | ||
Line 173: | Line 168: | ||
gehorchen den Eigenwertgleichungen<math>{{\hat{L}}^{2}}\left| a,b \right\rangle =a\left| a,b \right\rangle </math> | gehorchen den Eigenwertgleichungen<math>{{\hat{L}}^{2}}\left| a,b \right\rangle =a\left| a,b \right\rangle </math> | ||
<math>{{\hat{L}}_{3}}\left| a,b \right\rangle =b\left| a,b \right\rangle </math> | |||
Prinzipiell: Für alle Observablen müssen wir Quantenzahlen einführen. Zum formalen Vorgehen schreibt man diese Quantenzahlen einfach in einen Zustandsvektor. Diese Quantenzahlen sind Eigenwerte der Observablen, also mögliche Messwerte. Unser formaler Zustand aus Quantenzahlen ist per Definition ein Eigenvektor zu diesen Quantenzahlen. | Prinzipiell: Für alle Observablen müssen wir Quantenzahlen einführen. Zum formalen Vorgehen schreibt man diese Quantenzahlen einfach in einen Zustandsvektor. Diese Quantenzahlen sind Eigenwerte der Observablen, also mögliche Messwerte. Unser formaler Zustand aus Quantenzahlen ist per Definition ein Eigenvektor zu diesen Quantenzahlen. | ||
Line 236: | Line 231: | ||
um <math>\hbar </math> | um <math>\hbar </math> | ||
. | . | ||
-> wir bekommen hier Informationen, indem wir Produkte aus Operatoren auf unsere formalen Eigenzustände wirken lassen. Dieses Vorgehen ist sehr typisch, kann man sich mal merken ! | |||
Die n- bzw. m- malige Anwendung bei festem <math>{{b}_{0}}</math> | Die n- bzw. m- malige Anwendung bei festem <math>{{b}_{0}}</math> | ||
Line 331: | Line 326: | ||
mit <math>m=-l,-l+1,-l+2,...,l-2,l-1,l</math> | mit <math>m=-l,-l+1,-l+2,...,l-2,l-1,l</math> | ||
m=-l | m=-l -> gehört zu bmin | ||
m=+l | m=+l -> gehört zu b max | ||
Es können keine weiteren Eigenwerte von <math>{{\hat{L}}_{3}}</math> | Es können keine weiteren Eigenwerte von <math>{{\hat{L}}_{3}}</math> | ||
Line 362: | Line 357: | ||
erhöhen bzw. erniedrigen, ist also eine Konsequenz aus dem Kommutator <math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\hat{L}}_{l}}</math> | erhöhen bzw. erniedrigen, ist also eine Konsequenz aus dem Kommutator <math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\hat{L}}_{l}}</math> | ||
, | |||
, besser, wegen dem zyklischen Anspruch an j,k,l:<math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{L}}_{l}}</math> | |||
. | |||
. Der wurde nämlich oben mit eingesetzt um die Eigenwertprobleme zu bestimmen. ( siehe oben). | |||
Also bedingt der Kommutator <math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{L}}_{l}}</math> | Also bedingt der Kommutator <math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{L}}_{l}}</math> | ||
Line 382: | Line 377: | ||
'''0''' | '''0''' | ||
'''0''' | '''0''' | ||
<math>\frac{1}{2}</math> | |||
<math>\hbar \sqrt{\frac{3}{4}}</math> | <math>\hbar \sqrt{\frac{3}{4}}</math> | ||
<math>-\frac{1}{2},+\frac{1}{2}</math> | <math>-\frac{1}{2},+\frac{1}{2}</math> | ||
Line 390: | Line 385: | ||
<math>-1,0,1</math> | <math>-1,0,1</math> | ||
<math>\frac{3}{2}</math> | |||
<math>\hbar \sqrt{\frac{15}{4}}</math> | <math>\hbar \sqrt{\frac{15}{4}}</math> | ||
<math>-\frac{3}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}</math> | <math>-\frac{3}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}</math> | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{{\hat{L}}}^{2}}\left| l,m \right\rangle ={{\hbar }^{2}}l(l+1)\left| l,m \right\rangle \\ | & {{{\hat{L}}}^{2}}\left| l,m \right\rangle ={{\hbar }^{2}}l(l+1)\left| l,m \right\rangle \\ | ||
Line 406: | Line 401: | ||
<u>'''Darstellung der Richtungsquantisierung:'''</u> | <u>'''Darstellung der Richtungsquantisierung:'''</u> | ||
<u>'''m=1/2 ''' | <u>'''m=1/2 '''-> </u>Der Drehimpuls steht parallel zur x3- Achse | ||
m=-1/2 | m=-1/2 -> der Drehimpuls steht antiparallel zur x3- Achse | ||
Zur Übung ist zu zeigen:<math>\left\langle l,m \right|{{\hat{L}}_{i}}\left| l,m \right\rangle =0</math> | Zur Übung ist zu zeigen:<math>\left\langle l,m \right|{{\hat{L}}_{i}}\left| l,m \right\rangle =0</math> | ||
Line 416: | Line 411: | ||
soll berechnet werden | soll berechnet werden | ||
'''Nebenbemerkung: ''' Die Drehimpulsquantisierung ist eine Folge der Nichtvertauschbarkeit der einzelnen Komponenten des Drehimpulses! | '''Nebenbemerkung: ''' Die Drehimpulsquantisierung ist eine Folge der Nichtvertauschbarkeit der einzelnen Komponenten des Drehimpulses ! |