Editing Dirac-Gleichung und Spin: nichtrelativistischer Grenzfall

<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=5|Prof=Prof. Dr. T. Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>



Mit (Vektor) Potential haben wir die {{FB|Dirac-Gleichung|Elektromagnetismus}} als

{{NumBlk|:|	

:<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{\alpha }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)+\beta m+e\phi  \right)\Psi ,\quad \hbar =c=1</math>

:	|(1.37)|RawN=.}}

Jetzt erfolgt die Zerlegung <math>\Psi =\left( \begin{align}

& \varphi  \\

& \chi  \\

\end{align} \right)\underbrace{{{e}^{-\mathfrak{i} mt}}}_{\text{Ruheenergie-Phasenfaktor}}=\left( \begin{align}

& \varphi  \\

& \chi  \\

\end{align} \right){{e}^{\frac{-\mathfrak{i} m{{c}^{2}}t}{\hbar }}}</math>, mit den 2er Spinoren

:<math>\varphi =\left( \begin{align}

& {{\varphi }_{1}} \\

& {{\varphi }_{2}} \\

\end{align} \right),\quad \chi =\left( \begin{align}

& {{\chi }_{1}} \\

& {{\chi }_{2}} \\

\end{align} \right).</math>


Damit folgt dann

{{NumBlk|:|	

:<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\left( \begin{align}

& \varphi  \\

& \chi  \\

\end{align} \right)=\left( \begin{align}

& \underline{\sigma }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)\chi  \\

& \underline{\sigma }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)\varphi  \\

\end{align} \right)+e\phi \left( \begin{align}

& \varphi  \\

& \chi  \\

\end{align} \right)-2m{{c}^{2}}\left( \begin{align}

& 0 \\

& \chi  \\

\end{align} \right)</math>

:	|(1.38)|RawN=.}}

Beachte das jetzt überall <math>\varphi =\varphi \left( \underline{x},t \right)</math>gilt

Jetzt: Näherung/Annahme das <u>kinetische und potentielle Energie viel kleiner als Ruhemasse</u> <math>m{{c}^{2}}</math> ist

{{NumBlk|:|	

:<math>\begin{align}

& mc{{\chi }^{2}}\gg \left| i\hbar {{\partial }_{t}}\chi  \right|,\quad mc{{\chi }^{2}}\gg \left| e\phi \varphi  \right| \\

& \Rightarrow \chi \approx \frac{1}{2m{{c}^{2}}}\underline{\sigma }\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)\varphi  \\

\end{align}</math>

:	|(1.39)|RawN=.}}
einsetzen in die Gleichung (1.38) liefert

{{NumBlk|:|	<math>i{{\partial }_{t}}\varphi =\frac{1}{2m}\left( \underline{\sigma }{{\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)}^{2}} \right)\varphi +e\phi \varphi </math>

	|(1.40)|RawN=.}}

Jetzt folgendes „Theorem“ benutzen

{{NumBlk|:|	

:<math>\begin{align}

\left( \underline{\sigma }\underline{A} \right)\left( \underline{\sigma }\underline{B} \right)=\underline{A}\underline{B}\underline{\underline{1}}+\mathfrak{i} \underline{\sigma }\left( \underline{A}\times \underline{B} \right) \\
\end{align}
</math>
:	|(1.41)|RawN=.}}
mit
:<math>\begin{align}
  \underline{A}=\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}} \right),\underline{B}=\left( {{B}_{1}},{{B}_{2}},{{B}_{3}} \right),\underline{A},\underline{B}
\text{ vektorwertiger Operator und} \\

\underline{\sigma }=\left( {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{1}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{2}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{3}} \right)


\text{Vektor der Pauli-Matrizen} \\
\end{align}
</math>
Beweis von (1.41) mittels (Anti) {{FB|Kommutator-Eigenschaften}}
<font color="#3399FF">'''''(AUFGABE)'''''</FONT>

{{NumBlk|:|	

:<math>\begin{align}

& \left\{ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right\}:={{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}+{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\underline{\underline{1}} \\

& \left[ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right]:={{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}-{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}=2\mathfrak{i} {{\varepsilon }_{ijk}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{k}} \\

\end{align}</math>|(1.42)|RawN=.}}


Es gilt weiterhin <font color="#3399FF">(AUFGABE)</FONT>, beachte <math>\underline{p}=\frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }</math> und <math>\underline{A}=\underline{A}\left( \underline{x},t \right)</math>

{{NumBlk|:|	<math>\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)\times \left( \underline{p}-e\underline{A} \right)=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{\left( \underline{\nabla }\times \underline{A} \right)}_{\text{Magnetfeld}}=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{{\underline{B}}}_{\text{Magnetfeld}}</math>	|(1.43)|RawN=.}}

Mit (1.43) folgt aus (1.41) die Kopplung von Spin und Magnetfeld

{{NumBlk|:|{{FB|Pauli-Gleichung}}	<math>i{{\partial }_{t}}\varphi =\left[ \frac{1}{2m}{{\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)}^{2}}-\underbrace{\frac{e\hbar }{2m}\underline{\sigma }.\underline{B}}_{\text{Pauli-Term}}+e\phi  \right]\varphi </math>

	|(1.44)|RawN=.}}

mit dem 2-Komponentigen Spinor <math>\varphi =\left( \begin{align}

& {{\varphi }_{1}} \\

& {{\varphi }_{2}} \\

\end{align} \right)</math>
==siehe auch==
[[Der_nichtrelativistische_Grenzfall#Nichtrelativistische_Näherung:]]
<noinclude>==Literatur==
<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: GREINER'''</FONT></noinclude>