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Die elektrostatische Feldenergie
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<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|1|5}}</noinclude> Kraft: :<math>\begin{align} & \bar{F}(\bar{r})=q\bar{E}(\bar{r})=-q\nabla \Phi (\bar{r}) \\ & \Rightarrow V(\bar{r})=\Phi (\bar{r}) \\ \end{align}</math> ist die potenzielle Energie! einer Ladung im Feld <math>\bar{E}(\bar{r})</math> Also: :<math>{{W}_{ij}}={{q}_{i}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{q}_{j}}}{|{{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}}|}={{W}_{ji}}</math> ist die Energie der Ladung <math>{{q}_{i}}</math> an <math>{{\bar{r}}_{i}}</math> im Feld der Ladung :<math>{{q}_{j}}</math> an <math>{{\bar{r}}_{j}}</math>. (In ihrem Potenzial) Die '''gesamte potenzielle Energie eines Systems''' von Ladungen q1.... ergibt sich demnach durch Summation: :<math>W=\frac{1}{2}\sum\limits_{\begin{smallmatrix} i,j \\ i\ne j \end{smallmatrix}}^{{}}{{}}{{W}_{ij}}=\frac{1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{\begin{smallmatrix} i,j \\ i\ne j \end{smallmatrix}}^{{}}{{}}\frac{{{q}_{i}}{{q}_{j}}}{|{{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}}|}={{W}_{ji}}</math> und bei einer kontinuierlichen Ladungsverteilung: :<math>W=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\rho (\bar{r}){{d}^{3}}r}=\frac{1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho (\bar{r})\rho (\bar{r}\acute{\ })}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math> :<math>W=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\rho (\bar{r}){{d}^{3}}r}</math> Mit <math>\rho (\bar{r})={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}</math> folgt: :<math>W=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\nabla \cdot \bar{E}{{d}^{3}}r}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\left[ \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\nabla \cdot \left( \Phi (\bar{r})\bar{E} \right){{d}^{3}}r}-\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\left( \nabla \Phi (\bar{r}) \right)\cdot \bar{E}{{d}^{3}}r} \right]</math> Mit Hilfe des {{FB|Gaußschen Satz}} folgt dann: :<math>\begin{align} & W=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\left[ \int_{{{S}_{\infty }}}^{{}}{\left( \Phi (\bar{r})\bar{E} \right)d\bar{f}}+\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{{\bar{E}}}^{2}}(\bar{r}){{d}^{3}}r} \right] \\ & \begin{matrix} \lim \\ r\to \infty \\ \end{matrix}\left( \Phi (\bar{r})\bar{E} \right)=0 \\ & \\ \end{align}</math> da die Größen ~ 1/3 bzw. 1/r² gehen Also: :<math>W=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{{\bar{E}}}^{2}}(\bar{r}){{d}^{3}}r}=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}rw(\bar{r})}</math> Somit folgt für die {{FB|Energiedichte des elektromagnetischen Feldes}}: :<math>w(\bar{r})=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}(\bar{r})</math> Die {{FB|Selbstenergie}} einer Punktladung ergibt sich zu :<math>\begin{align} & \left| \bar{E}(\bar{r}) \right|=\frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{2}}} \\ & w(\bar{r})=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\left( \frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}} \right)}^{2}}\frac{1}{{{r}^{4}}} \\ \end{align}</math> und die {{FB|Gesamtenergie|elektrostatisches Feld}} ist folglich: :<math>\begin{align} & W=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}w(\bar{r})=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\left( \frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}} \right)}^{2}}4\pi \int_{0}^{\infty }{{{r}^{2}}dr}\frac{1}{{{r}^{4}}} \\ & \int_{0}^{\infty }{{{r}^{2}}dr}\frac{1}{{{r}^{4}}}=\int_{0}^{\infty }{dr}\frac{1}{{{r}^{2}}}=\left[ \frac{1}{r} \right]_{0}^{\infty }\to \infty \\ \end{align}</math> Dies divergiert jedoch!! Beim Übergang von Punktladungen zu kontinuierlichen Ladungsverteilungen wird <math>i\ne j</math> nicht mehr ausgeschlossen. Das bede4utet, zusätzlich zur Wechselwirkungsenergie wird die Energie berücksichtigt, die Zum Aufbau der Punktladung durch Zusammenführung aus dem Unendlichen benötigt wird, mitgenommen. Dies ist jedoch bei einer Punktladung unendlich viel. Also ist der begriff der Punktladung in einem Widerspruch zum feldtheoretischen Begriff der Energiedichte (wen wunderts ?)
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