Editing Die Quantisierung

<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|2|4}}</noinclude>

Physikalische Observablen -à hermitesche Operatoren im Hilbertraum

z.B. Ort: <math>x\to \hat{x}</math>

Geschwindigkeit: <math>\dot{x}\to \dot{\hat{x}}:=\frac{{{{\hat{p}}}_{kin}}}{m}=\frac{\hat{p}-e\bar{A}}{m}</math>

hat nichts mehr mit der Zeitableitung von x zu tun !

Dabei existieren in der Quantenmechanik auch nichtklassische Observablen:

1.  Parität: <math>\hat{P}</math>

als der Spiegeloperator.

Der Spiegeloperator ist in der Ortsdarstellung definiert durch <math>\begin{align}

& \hat{P}\Psi (\bar{r})=\Psi (-\bar{r}) \\

& \hat{P}\left| {\bar{r}} \right\rangle =\left| -\bar{r} \right\rangle  \\

\end{align}</math>

Dies kann jedoch bedeuten: <math>\hat{P}\left| \Psi  \right\rangle =\pm \left| \Psi  \right\rangle </math>

mit dem Pluszeichen für symmetrische und dem Minus für antisymmetrische Zustände.

Die Eigenwerte des Paritätsoperator sind <math>\pm 1</math>
.
 Es gilt: <math>\begin{align}

& {{{\hat{P}}}^{2}}=1 \\

& {{{\hat{P}}}^{-1}}={{{\hat{P}}}^{+}}=\hat{P} \\

\end{align}</math>

2. Der Projektionsoperator. Er löst die Frage: Ist das System im Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>

?

Der Projektionsoperator lautet:

:<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}:=\left| \Psi  \right\rangle \left\langle  \Psi  \right|</math>

Die grundsätzliche Definition eines Projektionsoperators ist lediglich <math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\cdot {{\hat{P}}_{\Psi }}={{\hat{P}}_{\Psi }}</math>

Die Wirkung:

:<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left| \Psi  \right\rangle =\left| \Psi  \right\rangle \left\langle  \Psi   |  \Psi  \right\rangle =\left| \Psi  \right\rangle 1=\left| \Psi  \right\rangle </math>

Eigenwert +1

:<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left| \Phi  \right\rangle =\left| \Psi  \right\rangle \left\langle  \Psi   |  \Phi  \right\rangle =0</math>

Eigenwert 0, falls <math>\left| \Phi  \right\rangle \bot \left| \Psi  \right\rangle </math>

Befindet sich ein Zustand <math>\left| \Phi  \right\rangle </math>

teilweise im Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>
,
 so gilt:

:<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left| \Phi  \right\rangle =\left| \Psi  \right\rangle \left\langle  \Psi   |  \Phi  \right\rangle =c\left| \Psi  \right\rangle </math>

Dabei ist c eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Antreffen des Zustands <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>

in <math>\left| \Phi  \right\rangle </math>
,
 also die Wurzel des Anteils von <math>\left| \Phi  \right\rangle </math>

in  <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>

====Vertauschungsrelationen====
Das Operatorkalkül ermöglicht die Beschreibung mit nicht vertauschbaren Observablen:

:<math>\left[ \hat{F},\hat{G} \right]=0\Leftrightarrow </math>

:<math>\hat{F}</math>

und <math>\hat{G}</math>

besitzen ein gemeinsames System von Eigenzuständen

:<math>\left[ \hat{F},\hat{G} \right]=0\Leftrightarrow </math>

Observablen F und G sind gleichzeitig scharf meßbar

:<math>\left[ \hat{F},\hat{G} \right]\ne 0\Leftrightarrow </math>

Observablen F und G sind NICHT gleichzeitig scharf meßbar.

'''Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen'''

Es gelten die kanonischen Vertauschungsrelationen:

:<math>\begin{align}

& \left[ {{{\hat{p}}}_{i}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}{{\delta }_{ik}}1 \\

& \left[ {{{\hat{p}}}_{i}},{{{\hat{p}}}_{k}} \right]=\left[ {{{\hat{x}}}_{i}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=0 \\

\end{align}</math>

i=1,2,3  kartesische Koordinaten

'''Übungsweise kann man zeigen:'''

:<math>\begin{align}

& \left[ \hat{p},T \right]=? \\

& \left[ F,{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial F}{\partial {{p}_{k}}} \\

& \left[ F,{{{\hat{p}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial F}{\partial {{x}_{k}}} \\

\end{align}</math>

Berechnung in der Ortsdarstellung:

:<math>\left[ {{{\hat{p}}}_{i}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]\Psi (\bar{r})=\frac{\hbar }{i}{{\partial }_{i}}({{x}_{k}}\Psi )-{{x}_{k}}\frac{\hbar }{i}{{\partial }_{i}}\Psi =\frac{\hbar }{i}{{\delta }_{ik}}\Psi </math>

Nebenbemerkung: Hieraus können alle weiteren Kommutatoren berechnet werden.

====Der Meßprozeß:====

:<math>\left| \Phi  \right\rangle -1.MessungvonF\to \left| \Phi \acute{\ } \right\rangle -2.MessungvonF\to \left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle </math>

Dabei ändert sich der Zustand durch die Wechselwirkung mit dem Messapparat.

Die Messwerte sind F´ in <math>\left| \Phi \acute{\ } \right\rangle </math>

und F´´in <math>\left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle </math>
.


Forderung:  F´ = F ´´

→<math>F\acute{\ }=F\acute{\ }\acute{\ }={{F}_{n}}</math>

(Eigenwert)

:<math>\left| \Phi \acute{\ } \right\rangle </math>

=<math>\left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle </math>

=<math>\left| n \right\rangle </math>

Eigenzustand zu <math>\hat{F}</math>

Also: <math>\left| \Phi  \right\rangle \to \left| n \right\rangle </math>

Der beliebige Zustand wird durch die Messung auf einen Eigenzustand projiziert.

Man spricht von einer Reduktion des Zustandsvektors durch die Messung.

Beispiel: '''Stern- Gerlach - Apparatur''':

Von links kommt ein Ensemble von Teilchen mit dem magnetischen Moment mz.

Dabei kennzeichnet rechts <math>\left| -1 \right\rangle </math>

den Eigenzustand zu mz = -1

Erwartungswert = Mittelwert über viele Messungen mit identisch präparierten Ausgangszuständen <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>

:

:<math>\begin{align}

& \left\langle  \Psi  \right|\hat{F}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{n,n\acute{\ }}^{{}}{\left\langle  \Psi   |  n \right\rangle \left\langle  n \right|\hat{F}\left| n\acute{\ } \right\rangle \left\langle  n\acute{\ }  |  \Psi  \right\rangle } \\

& \left\langle  n \right|\hat{F}\left| n\acute{\ } \right\rangle ={{F}_{n}}{{\delta }_{nn\acute{\ }}} \\

& \Rightarrow \left\langle  \Psi  \right|\hat{F}\left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{{F}_{n}}{{\left| \left\langle  n | \Psi  \right\rangle  \right|}^{2}}} \\
\end{align}</math>

Mit der Wahrscheinlichkeit, im Zustand <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>
(vor der Messung) den Messwert Fn zu messen:
:<math>p({{F}_{n}})={{\left| \left\langle  n | \Psi  \right\rangle  \right|}^{2}}</math>

Vergleiche dazu: Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Ortsdarstellung:
:<math>p(\bar{r})={{\left| \Psi (\bar{r}) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle  {\bar{r}} | \Psi  \right\rangle  \right|}^{2}}</math>

Wie wir bereits kennengelernt haben, läßt sich mit dem Projektionsoperator schreiben:
:<math>{{\left| \left\langle  n | \Psi  \right\rangle  \right|}^{2}}=\left\langle  \Psi  | n \right\rangle \left\langle  n | \Psi  \right\rangle =\left\langle  \Psi  \right|{{\hat{P}}_{n}}\left| \Psi  \right\rangle =\left\langle {{{\hat{P}}}_{n}} \right\rangle </math>

=====Maximalmessung:=====
Es können nicht ALLE Observablen gleichzeitig scharf gemessen werden. Gleichzeitige Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen heißt MAXIMALMESSUNG.
Vollständig heißt: Der Satz kann durch keine weiteren unabhängigen Observablen ergänzt werden. Das heißt: Die gemeinsamen Eigenzustände sind auch nicht entartet!
Bei Entartung: weitere vertauschbare Operatoren hinzufügen, bis die gemeinsamen Eigenräume eindimensional sind
der Zustand <math>\left| n,\alpha ,... \right\rangle </math>
ist durch Maximalmessung vollständig bestimmt.
'''Spezialfall:'''
Falls Energie- Eigenwerte nicht entartet sind (z.B. gebundene eindimensionale Zustände), so ist der HAMILTON- OPERATOR <math>\hat{H}</math>
eine vollständige Observable
Bei Entartung: Weitere, mit <math>\hat{H}</math>
vertauschbare Observable hinzufügen (z.B. Drehimpuls, vergl. Kapitel 3)
Der '''Hilbertraum H '''eines physikalischen Systems wird durch die gemeinsamen Eigenvektoren (Basis) eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen aufgespannt.
'''Nichtvertauschbarkeit und Unschärfe'''
Seien <math>\hat{F}</math>
und <math>\hat{G}</math>
hermitesche Operatoren und <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>
ein beliebiger Zustand.
:<math>\begin{align}
& \Delta \hat{F}:=\hat{F}-\left\langle {\hat{F}} \right\rangle  \\
& \Delta \hat{G}:=\hat{G}-\left\langle {\hat{G}} \right\rangle  \\
\end{align}</math>
sind ebenfalls hermitesche Operatoren
Bilde:
:<math>\begin{align}
& f(\lambda ):=\left\langle \left( \Delta \hat{F}+i\lambda \Delta \hat{G} \right)\left( \Delta \hat{F}-i\lambda \Delta \hat{G} \right) \right\rangle  \\
& =\left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle -i\lambda \left\langle \left[ \Delta \hat{F},\Delta \hat{G} \right] \right\rangle +{{\lambda }^{2}}\left\langle {{\left( \Delta \hat{G} \right)}^{2}} \right\rangle  \\
& \left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle :=\alpha \ge 0 \\
& \left\langle \left[ \Delta \hat{F},\Delta \hat{G} \right] \right\rangle :=\beta  \\
& \left\langle {{\left( \Delta \hat{G} \right)}^{2}} \right\rangle :=\gamma \ge 0 \\
\end{align}</math>

Dies ist eine quadratische Funktion von <math>\lambda </math>
mit<math>f(\lambda )\to \infty </math>
für <math>\lambda \to \infty </math>

'''Lemma:'''
Für hermitesche Operatoren <math>\hat{F}</math>
und <math>\hat{G}</math>
gilt:
:<math>\begin{align}
& \left\langle \hat{A}\hat{A} \right\rangle \ge 0 \\
& {{\left\langle i\hat{A} \right\rangle }^{+}}=-\left\langle i\hat{A} \right\rangle  \\
& \left\langle \hat{A}\hat{B} \right\rangle *=\left\langle \hat{B}\hat{A} \right\rangle  \\
\end{align}</math>

Mit <math>\hat{Q}:=\Delta \hat{F}-i\lambda \Delta \hat{G}\Rightarrow {{\hat{Q}}^{+}}:=\Delta \hat{F}+i\lambda \Delta \hat{G}</math>
:
 
Suche nach dem Minimum:
:<math>\begin{align}
& f\acute{\ }(\lambda )=-i\beta +2\lambda \gamma =0 \\
& \Rightarrow {{\lambda }_{0}}=\frac{i}{2}\frac{\beta }{\gamma } \\
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
& \left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle :=\alpha \ge 0 \\
& \left\langle \left[ \Delta \hat{F},\Delta \hat{G} \right] \right\rangle :=\beta  \\
& \left\langle {{\left( \Delta \hat{G} \right)}^{2}} \right\rangle :=\gamma \ge 0 \\
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
& f({{\lambda }_{0}})=\alpha +\frac{{{\beta }^{2}}}{2\gamma }-\frac{{{\beta }^{2}}}{4\gamma }=\alpha +\frac{{{\beta }^{2}}}{4\gamma }\ge 0 \\
& {{\beta }^{2}}={{\left\langle \left[ \Delta \hat{F},\Delta \hat{G} \right] \right\rangle }^{2}}={{\left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle }^{2}}=-\left\langle \left[ \hat{G},\hat{F} \right] \right\rangle \left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle =-\left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle *\left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle =-{{\left| \left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle  \right|}^{2}} \\
& \Rightarrow \left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle \left\langle {{\left( \Delta \hat{G} \right)}^{2}} \right\rangle \ge \frac{1}{4}{{\left| \left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle  \right|}^{2}} \\
\end{align}</math>

Somit jedoch ergibt sich die quantenmechanische Unschärfe gemäß
:<math>\sqrt{\left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle \left\langle {{\left( \Delta \hat{G} \right)}^{2}} \right\rangle }\ge \frac{1}{2}\left| \left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle  \right|</math>
:	('''Unschärferelation''')
Speziell:
:<math>\begin{align}
& \left[ \hat{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i}1 \\
& \sqrt{\left\langle {{\left( \Delta \hat{p} \right)}^{2}} \right\rangle \left\langle {{\left( \Delta \hat{x} \right)}^{2}} \right\rangle }\ge \frac{1}{2}\left| \left\langle \left[ \hat{p},\hat{x} \right] \right\rangle  \right|=\frac{\hbar }{2} \\
\end{align}</math>
Heisenbergsche Unschärferelation für die Orts- und Impulsunschärfe
'''Zusammenfassung'''
Der Zustand des Systems wird im Zustandsvektor <math>\left| \Psi  \right\rangle </math>
ausgedrückt
Die Observable F wird dargestellt durch den hermiteschen Operator <math>\hat{F}</math>.

Die Mittelwerte von Observablen ergeben sich als Erwartungswert <math>\left\langle  \Psi  \right|\hat{F}\left| \Psi  \right\rangle </math>

Die Messung von F liefert einen Messwert, welcher immer Eigenwert der Observablen ist, also Fn. Der Zustand wird dabei auf einen Eigenzustand reduziert: <math>\left| \Psi  \right\rangle \to \left| n \right\rangle </math>

Die Zeitentwicklung der Zustände wird durch die Schrödingergleichung beschrieben:
:<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left| \Psi  \right\rangle =\hat{H}\left| \Psi  \right\rangle </math>

Nebenbemerkung: Die Quantenmechanik ist keine Wellen- oder Teilchenmechanik sondern eine Zustandsmechanik. Der Dualismus zwischen Welle und Teilchen wird in einem einheitlichen Formalismus aufgelöst.