Editing Die Quantisierung
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Latest revision | Your text | ||
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<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|2|4}}</noinclude> | <noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|2|4}}</noinclude> | ||
Physikalische Observablen - | Physikalische Observablen - hermitesche Operatoren im Hilbertraum | ||
z.B. Ort: <math>x\to \hat{x}</math> | z.B. Ort: <math>x\to \hat{x}</math> | ||
Line 7: | Line 7: | ||
Geschwindigkeit: <math>\dot{x}\to \dot{\hat{x}}:=\frac{{{{\hat{p}}}_{kin}}}{m}=\frac{\hat{p}-e\bar{A}}{m}</math> | Geschwindigkeit: <math>\dot{x}\to \dot{\hat{x}}:=\frac{{{{\hat{p}}}_{kin}}}{m}=\frac{\hat{p}-e\bar{A}}{m}</math> | ||
hat nichts mehr mit der Zeitableitung von x zu tun ! | hat nichts mehr mit der Zeitableitung von x zu tun ! | ||
Dabei existieren in der Quantenmechanik auch nichtklassische Observablen: | Dabei existieren in der Quantenmechanik auch nichtklassische Observablen: | ||
Line 28: | Line 28: | ||
Die Eigenwerte des Paritätsoperator sind <math>\pm 1</math> | Die Eigenwerte des Paritätsoperator sind <math>\pm 1</math> | ||
. | |||
. Es gilt: <math>\begin{align} | |||
& {{{\hat{P}}}^{2}}=1 \\ | & {{{\hat{P}}}^{2}}=1 \\ | ||
Line 43: | Line 43: | ||
Der Projektionsoperator lautet: | Der Projektionsoperator lautet: | ||
<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}:=\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|</math> | |||
Die grundsätzliche Definition eines Projektionsoperators ist lediglich <math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\cdot {{\hat{P}}_{\Psi }}={{\hat{P}}_{\Psi }}</math> | Die grundsätzliche Definition eines Projektionsoperators ist lediglich <math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\cdot {{\hat{P}}_{\Psi }}={{\hat{P}}_{\Psi }}</math> | ||
Line 49: | Line 49: | ||
Die Wirkung: | Die Wirkung: | ||
<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left| \Psi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|\left| \Psi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle 1=\left| \Psi \right\rangle </math> | |||
Eigenwert +1 | Eigenwert +1 | ||
<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left| \Phi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|\left| \Phi \right\rangle =0</math> | |||
Eigenwert 0, falls <math>\left| \Phi \right\rangle \bot \left| \Psi \right\rangle </math> | Eigenwert 0, falls <math>\left| \Phi \right\rangle \bot \left| \Psi \right\rangle </math> | ||
Line 60: | Line 60: | ||
teilweise im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | teilweise im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | ||
:<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left| \Phi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi | , so gilt: | ||
<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left| \Phi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|\left| \Phi \right\rangle =c\left| \Psi \right\rangle </math> | |||
Dabei ist c eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Antreffen des Zustands <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | Dabei ist c eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Antreffen des Zustands <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | ||
in <math>\left| \Phi \right\rangle </math> | in <math>\left| \Phi \right\rangle </math> | ||
, | |||
, also die Wurzel des Anteils von <math>\left| \Phi \right\rangle </math> | |||
in <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | in <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | ||
Line 76: | Line 76: | ||
Das Operatorkalkül ermöglicht die Beschreibung mit nicht vertauschbaren Observablen: | Das Operatorkalkül ermöglicht die Beschreibung mit nicht vertauschbaren Observablen: | ||
<math>\left[ \hat{F},\hat{G} \right]=0\Leftrightarrow </math> | |||
<math>\hat{F}</math> | |||
und <math>\hat{G}</math> | und <math>\hat{G}</math> | ||
Line 84: | Line 84: | ||
besitzen ein gemeinsames System von Eigenzuständen | besitzen ein gemeinsames System von Eigenzuständen | ||
<math>\left[ \hat{F},\hat{G} \right]=0\Leftrightarrow </math> | |||
Observablen F und G sind gleichzeitig scharf meßbar | Observablen F und G sind gleichzeitig scharf meßbar | ||
<math>\left[ \hat{F},\hat{G} \right]\ne 0\Leftrightarrow </math> | |||
Observablen F und G sind NICHT gleichzeitig scharf meßbar. | Observablen F und G sind NICHT gleichzeitig scharf meßbar. | ||
Line 96: | Line 96: | ||
Es gelten die kanonischen Vertauschungsrelationen: | Es gelten die kanonischen Vertauschungsrelationen: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left[ {{{\hat{p}}}_{i}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}{{\delta }_{ik}}1 \\ | & \left[ {{{\hat{p}}}_{i}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}{{\delta }_{ik}}1 \\ | ||
Line 108: | Line 108: | ||
'''Übungsweise kann man zeigen:''' | '''Übungsweise kann man zeigen:''' | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left[ \hat{p},T \right]=? \\ | & \left[ \hat{p},T \right]=? \\ | ||
Line 120: | Line 120: | ||
Berechnung in der Ortsdarstellung: | Berechnung in der Ortsdarstellung: | ||
<math>\left[ {{{\hat{p}}}_{i}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]\Psi (\bar{r})=\frac{\hbar }{i}{{\partial }_{i}}({{x}_{k}}\Psi )-{{x}_{k}}\frac{\hbar }{i}{{\partial }_{i}}\Psi =\frac{\hbar }{i}{{\delta }_{ik}}\Psi </math> | |||
Nebenbemerkung: Hieraus können alle weiteren Kommutatoren berechnet werden. | Nebenbemerkung: Hieraus können alle weiteren Kommutatoren berechnet werden. | ||
Line 126: | Line 126: | ||
====Der Meßprozeß:==== | ====Der Meßprozeß:==== | ||
<math>\left| \Phi \right\rangle -1.MessungvonF\to \left| \Phi \acute{\ } \right\rangle -2.MessungvonF\to \left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle </math> | |||
Dabei ändert sich der Zustand durch die Wechselwirkung mit dem Messapparat. | Dabei ändert sich der Zustand durch die Wechselwirkung mit dem Messapparat. | ||
Line 133: | Line 133: | ||
und F´´in <math>\left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle </math> | und F´´in <math>\left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle </math> | ||
. | . | ||
Forderung: F´ = F ´´ | Forderung: F´ = F ´´ | ||
-><math>F\acute{\ }=F\acute{\ }\acute{\ }={{F}_{n}}</math> | |||
(Eigenwert) | (Eigenwert) | ||
<math>\left| \Phi \acute{\ } \right\rangle </math> | |||
=<math>\left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle </math> | =<math>\left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle </math> | ||
Line 168: | Line 168: | ||
: | : | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left\langle \Psi \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n,n\acute{\ }}^{{}}{\left\langle \Psi | & \left\langle \Psi \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n,n\acute{\ }}^{{}}{\left\langle \Psi \right|\left| n \right\rangle \left\langle n \right|\hat{F}\left| n\acute{\ } \right\rangle \left\langle n\acute{\ } \right|\left| \Psi \right\rangle } \\ | ||
& \left\langle n \right|\hat{F}\left| n\acute{\ } \right\rangle ={{F}_{n}}{{\delta }_{nn\acute{\ }}} \\ | & \left\langle n \right|\hat{F}\left| n\acute{\ } \right\rangle ={{F}_{n}}{{\delta }_{nn\acute{\ }}} \\ | ||
Line 178: | Line 178: | ||
Mit der Wahrscheinlichkeit, im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | Mit der Wahrscheinlichkeit, im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | ||
(vor der Messung) den Messwert Fn zu messen: | ( vor der Messung) den Messwert Fn zu messen: | ||
<math>p({{F}_{n}})={{\left| \left\langle n | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}</math> | |||
Vergleiche dazu: Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Ortsdarstellung: | Vergleiche dazu: Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Ortsdarstellung: | ||
<math>p(\bar{r})={{\left| \Psi (\bar{r}) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}</math> | |||
Wie wir bereits kennengelernt haben, läßt sich mit dem Projektionsoperator schreiben: | Wie wir bereits kennengelernt haben, läßt sich mit dem Projektionsoperator schreiben: | ||
<math>{{\left| \left\langle n | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}=\left\langle \Psi | n \right\rangle \left\langle n | \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|{{\hat{P}}_{n}}\left| \Psi \right\rangle =\left\langle {{{\hat{P}}}_{n}} \right\rangle </math> | |||
=====Maximalmessung:===== | |||
Es können nicht ALLE Observablen gleichzeitig scharf gemessen werden. Gleichzeitige Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen heißt MAXIMALMESSUNG. | |||
Vollständig heißt: Der Satz kann durch keine weiteren unabhängigen Observablen ergänzt werden. Das heißt: Die gemeinsamen Eigenzustände sind auch nicht entartet ! | |||
Bei Entartung: weitere vertauschbare Operatoren hinzufügen, bis die gemeinsamen Eigenräume eindimensional sind | |||
der Zustand <math>\left| n,\alpha ,... \right\rangle </math> | |||
ist durch Maximalmessung vollständig bestimmt. | |||
'''Spezialfall:''' | |||
Falls Energie- Eigenwerte nicht entartet sind ( z.B. gebundene eindimensionale Zustände), so ist der HAMILTON- OPERATOR <math>\hat{H}</math> | |||
eine vollständige Observable | |||
Bei Entartung: Weitere, mit <math>\hat{H}</math> | |||
vertauschbare Observable hinzufügen (z.B. Drehimpuls, vergl. Kapitel 3) | |||
Der '''Hilbertraum H '''eines physikalischen Systems wird durch die gemeinsamen Eigenvektoren (Basis) eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen aufgespannt. | |||
'''Nichtvertauschbarkeit und Unschärfe''' | |||
Seien <math>\hat{F}</math> | |||
und <math>\hat{G}</math> | |||
hermitesche Operatoren und <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | |||
ein beliebiger Zustand. | |||
<math>\begin{align} | |||
& \Delta \hat{F}:=\hat{F}-\left\langle {\hat{F}} \right\rangle \\ | |||
& \Delta \hat{G}:=\hat{G}-\left\langle {\hat{G}} \right\rangle \\ | |||
\end{align}</math> | |||
sind ebenfalls hermitesche Operatoren | |||
Bilde: | |||
<math>\begin{align} | |||
& f(\lambda ):=\left\langle \left( \Delta \hat{F}+i\lambda \Delta \hat{G} \right)\left( \Delta \hat{F}-i\lambda \Delta \hat{G} \right) \right\rangle \\ | |||
& =\left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle -i\lambda \left\langle \left[ \Delta \hat{F},\Delta \hat{G} \right] \right\rangle +{{\lambda }^{2}}\left\langle {{\left( \Delta \hat{G} \right)}^{2}} \right\rangle \\ | |||
& \left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle :=\alpha \ge 0 \\ | |||
& \left\langle \left[ \Delta \hat{F},\Delta \hat{G} \right] \right\rangle :=\beta \\ | |||
& \left\langle {{\left( \Delta \hat{G} \right)}^{2}} \right\rangle :=\gamma \ge 0 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Dies ist eine quadratische Funktion von <math>\lambda </math> | |||
mit<math>f(\lambda )\to \infty </math> | |||
für <math>\lambda \to \infty </math> | |||
'''Lemma:''' | |||
Für hermitesche Operatoren <math>\hat{F}</math> | |||
und <math>\hat{G}</math> | |||
gilt: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \left\langle \hat{A}\hat{A} \right\rangle \ge 0 \\ | |||
& {{\left\langle i\hat{A} \right\rangle }^{+}}=-\left\langle i\hat{A} \right\rangle \\ | |||
& \left\langle \hat{A}\hat{B} \right\rangle *=\left\langle \hat{B}\hat{A} \right\rangle \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Mit <math>\hat{Q}:=\Delta \hat{F}-i\lambda \Delta \hat{G}\Rightarrow {{\hat{Q}}^{+}}:=\Delta \hat{F}+i\lambda \Delta \hat{G}</math> | |||
: | |||
Suche nach dem Minimum: | |||
<math>\begin{align} | |||
& f\acute{\ }(\lambda )=-i\beta +2\lambda \gamma =0 \\ | |||
& \Rightarrow {{\lambda }_{0}}=\frac{i}{2}\frac{\beta }{\gamma } \\ | |||
\end{align}</math> | |||
<math>\begin{align} | |||
& \left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle :=\alpha \ge 0 \\ | |||
& \left\langle \left[ \Delta \hat{F},\Delta \hat{G} \right] \right\rangle :=\beta \\ | |||
& \left\langle {{\left( \Delta \hat{G} \right)}^{2}} \right\rangle :=\gamma \ge 0 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
<math>\begin{align} | |||
& f({{\lambda }_{0}})=\alpha +\frac{{{\beta }^{2}}}{2\gamma }-\frac{{{\beta }^{2}}}{4\gamma }=\alpha +\frac{{{\beta }^{2}}}{4\gamma }\ge 0 \\ | |||
& {{\beta }^{2}}={{\left\langle \left[ \Delta \hat{F},\Delta \hat{G} \right] \right\rangle }^{2}}={{\left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle }^{2}}=-\left\langle \left[ \hat{G},\hat{F} \right] \right\rangle \left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle =-\left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle *\left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle =-{{\left| \left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle \right|}^{2}} \\ | |||
& \Rightarrow \left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle \left\langle {{\left( \Delta \hat{G} \right)}^{2}} \right\rangle \ge \frac{1}{4}{{\left| \left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle \right|}^{2}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Somit jedoch ergibt sich die quantenmechanische Unschärfe gemäß | |||
<math>\sqrt{\left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle \left\langle {{\left( \Delta \hat{G} \right)}^{2}} \right\rangle }\ge \frac{1}{2}\left| \left\langle \left[ \hat{F},\hat{G} \right] \right\rangle \right|</math> | |||
: ('''Unschärferelation''') | |||
Speziell: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \left[ \hat{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i}1 \\ | |||
& \sqrt{\left\langle {{\left( \Delta \hat{p} \right)}^{2}} \right\rangle \left\langle {{\left( \Delta \hat{x} \right)}^{2}} \right\rangle }\ge \frac{1}{2}\left| \left\langle \left[ \hat{p},\hat{x} \right] \right\rangle \right|=\frac{\hbar }{2} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Heisenbergsche Unschärferelation für die Orts- und Impulsunschärfe | |||
'''Zusammenfassung''' | |||
Der Zustand des Systems wird im Zustandsvektor <math>\left| \Psi \right\rangle </math> | |||
ausgedrückt | |||
Die Observable F wird dargestellt durch den hermiteschen Operator <math>\hat{F}</math> | |||
. | |||
Die Mittelwerte von Observablen ergeben sich als Erwartungswert <math>\left\langle \Psi \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle </math> | |||
Die Messung von F liefert einen Messwert, welcher immer Eigenwert der Observablen ist, also Fn. Der Zustand wird dabei auf einen Eigenzustand reduziert: <math>\left| \Psi \right\rangle \to \left| n \right\rangle </math> | |||
Die Zeitentwicklung der Zustände wird durch die Schrödingergleichung beschrieben: | |||
<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left| \Psi \right\rangle =\hat{H}\left| \Psi \right\rangle </math> | |||
Nebenbemerkung: Die Quantenmechanik ist keine Wellen- oder Teilchenmechanik sondern eine Zustandsmechanik. Der Dualismus zwischen Welle und Teilchen wird in einem einheitlichen Formalismus aufgelöst. |