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Die Quantisierung
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<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|2|4}}</noinclude> Physikalische Observablen -à hermitesche Operatoren im Hilbertraum z.B. Ort: <math>x\to \hat{x}</math> Geschwindigkeit: <math>\dot{x}\to \dot{\hat{x}}:=\frac{{{{\hat{p}}}_{kin}}}{m}=\frac{\hat{p}-e\bar{A}}{m}</math> hat nichts mehr mit der Zeitableitung von x zu tun ! Dabei existieren in der Quantenmechanik auch nichtklassische Observablen: 1. Parität: <math>\hat{P}</math> als der Spiegeloperator. Der Spiegeloperator ist in der Ortsdarstellung definiert durch <math>\begin{align} & \hat{P}\Psi (\bar{r})=\Psi (-\bar{r}) \\ & \hat{P}\left| {\bar{r}} \right\rangle =\left| -\bar{r} \right\rangle \\ \end{align}</math> Dies kann jedoch bedeuten: <math>\hat{P}\left| \Psi \right\rangle =\pm \left| \Psi \right\rangle </math> mit dem Pluszeichen für symmetrische und dem Minus für antisymmetrische Zustände. Die Eigenwerte des Paritätsoperator sind <math>\pm 1</math> . Es gilt: <math>\begin{align} & {{{\hat{P}}}^{2}}=1 \\ & {{{\hat{P}}}^{-1}}={{{\hat{P}}}^{+}}=\hat{P} \\ \end{align}</math> 2. Der Projektionsoperator. Er löst die Frage: Ist das System im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> ? Der Projektionsoperator lautet: :<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}:=\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|</math> Die grundsätzliche Definition eines Projektionsoperators ist lediglich <math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\cdot {{\hat{P}}_{\Psi }}={{\hat{P}}_{\Psi }}</math> Die Wirkung: :<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left| \Psi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi | \Psi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle 1=\left| \Psi \right\rangle </math> Eigenwert +1 :<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left| \Phi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi | \Phi \right\rangle =0</math> Eigenwert 0, falls <math>\left| \Phi \right\rangle \bot \left| \Psi \right\rangle </math> Befindet sich ein Zustand <math>\left| \Phi \right\rangle </math> teilweise im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> , so gilt: :<math>{{\hat{P}}_{\Psi }}\left| \Phi \right\rangle =\left| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi | \Phi \right\rangle =c\left| \Psi \right\rangle </math> Dabei ist c eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Antreffen des Zustands <math>\left| \Psi \right\rangle </math> in <math>\left| \Phi \right\rangle </math> , also die Wurzel des Anteils von <math>\left| \Phi \right\rangle </math> in <math>\left| \Psi \right\rangle </math> ====Vertauschungsrelationen==== Das Operatorkalkül ermöglicht die Beschreibung mit nicht vertauschbaren Observablen: :<math>\left[ \hat{F},\hat{G} \right]=0\Leftrightarrow </math> :<math>\hat{F}</math> und <math>\hat{G}</math> besitzen ein gemeinsames System von Eigenzuständen :<math>\left[ \hat{F},\hat{G} \right]=0\Leftrightarrow </math> Observablen F und G sind gleichzeitig scharf meßbar :<math>\left[ \hat{F},\hat{G} \right]\ne 0\Leftrightarrow </math> Observablen F und G sind NICHT gleichzeitig scharf meßbar. '''Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen''' Es gelten die kanonischen Vertauschungsrelationen: :<math>\begin{align} & \left[ {{{\hat{p}}}_{i}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}{{\delta }_{ik}}1 \\ & \left[ {{{\hat{p}}}_{i}},{{{\hat{p}}}_{k}} \right]=\left[ {{{\hat{x}}}_{i}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=0 \\ \end{align}</math> i=1,2,3 kartesische Koordinaten '''Übungsweise kann man zeigen:''' :<math>\begin{align} & \left[ \hat{p},T \right]=? \\ & \left[ F,{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial F}{\partial {{p}_{k}}} \\ & \left[ F,{{{\hat{p}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial F}{\partial {{x}_{k}}} \\ \end{align}</math> Berechnung in der Ortsdarstellung: :<math>\left[ {{{\hat{p}}}_{i}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]\Psi (\bar{r})=\frac{\hbar }{i}{{\partial }_{i}}({{x}_{k}}\Psi )-{{x}_{k}}\frac{\hbar }{i}{{\partial }_{i}}\Psi =\frac{\hbar }{i}{{\delta }_{ik}}\Psi </math> Nebenbemerkung: Hieraus können alle weiteren Kommutatoren berechnet werden. ====Der Meßprozeß:==== :<math>\left| \Phi \right\rangle -1.MessungvonF\to \left| \Phi \acute{\ } \right\rangle -2.MessungvonF\to \left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle </math> Dabei ändert sich der Zustand durch die Wechselwirkung mit dem Messapparat. Die Messwerte sind F´ in <math>\left| \Phi \acute{\ } \right\rangle </math> und F´´in <math>\left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle </math> . Forderung: F´ = F ´´ →<math>F\acute{\ }=F\acute{\ }\acute{\ }={{F}_{n}}</math> (Eigenwert) :<math>\left| \Phi \acute{\ } \right\rangle </math> =<math>\left| \Phi \acute{\ }\acute{\ } \right\rangle </math> =<math>\left| n \right\rangle </math> Eigenzustand zu <math>\hat{F}</math> Also: <math>\left| \Phi \right\rangle \to \left| n \right\rangle </math> Der beliebige Zustand wird durch die Messung auf einen Eigenzustand projiziert. Man spricht von einer Reduktion des Zustandsvektors durch die Messung. Beispiel: '''Stern- Gerlach - Apparatur''': Von links kommt ein Ensemble von Teilchen mit dem magnetischen Moment mz. Dabei kennzeichnet rechts <math>\left| -1 \right\rangle </math> den Eigenzustand zu mz = -1 Erwartungswert = Mittelwert über viele Messungen mit identisch präparierten Ausgangszuständen <math>\left| \Psi \right\rangle </math> : :<math>\begin{align} & \left\langle \Psi \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n,n\acute{\ }}^{{}}{\left\langle \Psi | n \right\rangle \left\langle n \right|\hat{F}\left| n\acute{\ } \right\rangle \left\langle n\acute{\ } | \Psi \right\rangle } \\ & \left\langle n \right|\hat{F}\left| n\acute{\ } \right\rangle ={{F}_{n}}{{\delta }_{nn\acute{\ }}} \\ & \Rightarrow \left\langle \Psi \right|\hat{F}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{{F}_{n}}{{\left| \left\langle n | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}} \\ \end{align}</math> Mit der Wahrscheinlichkeit, im Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math> (vor der Messung) den Messwert Fn zu messen: :<math>p({{F}_{n}})={{\left| \left\langle n | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}</math> Vergleiche dazu: Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Ortsdarstellung: :<math>p(\bar{r})={{\left| \Psi (\bar{r}) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle {\bar{r}} | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}</math> Wie wir bereits kennengelernt haben, läßt sich mit dem Projektionsoperator schreiben: :<math>{{\left| \left\langle n | \Psi \right\rangle \right|}^{2}}=\left\langle \Psi | n \right\rangle \left\langle n | \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|{{\hat{P}}_{n}}\left| \Psi \right\rangle =\left\langle {{{\hat{P}}}_{n}} \right\rangle </math> Wow! Great thinknig! JK
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