Editing Die Maxwell-Gleichungen
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{{Scripthinweis|Elektrodynamik|3}} | |||
Ziel: Beschreibung der Dynamik der Felder | Ziel: Beschreibung der Dynamik der Felder | ||
Methode: Erweiterung der elektrostatischen und magnetostatischen Feldgleichungen derart, dass allgemeine Invarianz- Prinzipien erfüllt sind! | Methode: Erweiterung der elektrostatischen und magnetostatischen Feldgleichungen derart, dass allgemeine Invarianz- Prinzipien erfüllt sind ! | ||
Invarianz- Prinzipien sind / können sein: | Invarianz- Prinzipien sind / können sein: | ||
< | |||
=3.1 TCP- Invarianz= | |||
Zeitumkehr T: t -> t´=-t | |||
Ladungsumkehr / Konjugation : C : Q Q´= - Q | |||
Paritätsumkehr P : r - > r´= -r ( für den Ortsvektor) | |||
<u>'''Die Zeitumkehr- Transformation'''</u> | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{T}_{g}}:=\left\{ T-in\operatorname{var}iante\ ObservableA:TA=A \right\} \\ | |||
& =\left\{ \bar{r},d\bar{r},a:=\frac{{{d}^{2}}\bar{r}}{d{{t}^{2}}},m,q,\rho :=\begin{matrix} | |||
\lim \\ | |||
\Delta V\to 0 \\ | |||
\end{matrix}\frac{\Delta q}{\Delta V},\bar{F}=m\bar{a},\bar{E}=\frac{{\bar{F}}}{q},\Phi ... \right\} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Diese Observablen sind "gerade" unter T | |||
Daneben gibt es auch Observablen, die "ungerade" unter T sind: | |||
<math>{{T}_{u}}:=\left\{ A:TA=-A \right\}=\left\{ \bar{v}:=\frac{d\bar{r}}{dt},\bar{j}=\rho \bar{v},\bar{B},\bar{A} \right\}</math> | |||
Denn: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B} \\ | |||
& \bar{F}\in {{T}_{g}},\bar{v}\in {{T}_{u}},q\in {{T}_{g}}\Rightarrow \bar{B}\in {{T}_{u}} \\ | |||
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A},\nabla \in {{T}_{g}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Somit folgt jedoch vollständige T- Invarianz der elektromagnetischen Grundgleichungen: | |||
<math>\begin{align} | |||
& T:\left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\}\to \left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\} \\ | |||
& T:\left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho \right\}\to \left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho \right\} \\ | |||
& T:\left\{ {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\}\to \left\{ -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\}\Leftrightarrow \left\{ {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\} \\ | |||
& T:\left\{ \nabla \times \bar{B}={{\mu }_{0}}\bar{j} \right\}\to \left\{ -\nabla \times \bar{B}=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \right\} \\ | |||
& \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Kontinuitätsgleichung: | |||
<math>T:\left\{ \frac{\partial }{\partial t}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}\to \left\{ -\frac{\partial }{\partial t}\rho -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}</math> | |||
Die Gleichungen sind FORMINVARIANT ! | |||
'''Ladungsumkehr ( Konjugation)''' | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{C}_{g}}:=\left\{ C-in\operatorname{var}iante\ ObservableA:CA=A \right\} \\ | |||
& {{C}_{g}}=\left\{ \bar{F},m,\bar{r},\bar{v},\bar{a} \right\} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
sind gerade unter C | |||
'''Ungerade unter c sind:''' | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{C}_{u}}:=\left\{ A:CA=-A \right\}=\left\{ \bar{E}=\frac{1}{q}\bar{F},\bar{B},\bar{j},\rho \right\} \\ | |||
& \bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
* C- Invarianz der Elektro- Magnetostatik: | |||
<math>\begin{align} | |||
& C:\left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\}\to \left\{ -{{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\} \\ | |||
& C:\left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho \right\}\to \left\{ -{{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=-\rho \right\} \\ | |||
& C:\left\{ {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\}\to \left\{ -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\} \\ | |||
& C:\left\{ \nabla \times \bar{B}={{\mu }_{0}}\bar{j} \right\}\to \left\{ -\nabla \times \bar{B}=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \right\} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
<math>C:\left\{ \frac{\partial }{\partial t}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}\to \left\{ -\frac{\partial }{\partial t}\rho -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}</math> | |||
<u>'''Paritätsumkehr: Räumliche Spiegelung/ Inversion'''</u> | |||
Vertauschung: rechts <-> links | |||
Man unterscheidet: | |||
<math>P\bar{r}=-\bar{r}</math> | |||
-> polarer Vektor | |||
und | |||
<math>P\left( \bar{a}\times \bar{b} \right)=\left( -\bar{a}\times -\bar{b} \right)=\left( \bar{a}\times \bar{b} \right)</math> | |||
P- invariant = " axialer Vektor", sogenannter Pseudovektor !! | |||
Seien: | |||
<math>\bar{a},\bar{b}</math> | |||
polar, | |||
<math>\bar{w},\bar{\sigma }</math> | |||
axial | |||
Dann ist | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{a}\times \bar{w}\quad polar \\ | |||
& \bar{a}\times \bar{b},\bar{w}\times \bar{\sigma }\quad axial \\ | |||
& \bar{a}\bar{b}\ skalar:P(\bar{a}\bar{b})=\bar{a}\bar{b} \\ | |||
& \bar{w}\bar{\sigma }\ pseudoskalarP(\bar{w}\bar{\sigma })=-\bar{w}\bar{\sigma } \\ | |||
\end{align}</math> | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{C}_{g}}:=\left\{ C-in\operatorname{var}iante\ ObservableA:CA=A \right\} \\ | |||
& {{C}_{g}}=\left\{ \bar{F},m,\bar{r},\bar{v},\bar{a} \right\} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Wegen | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B} \\ | |||
& \bar{F}\in {{P}_{u}} \\ | |||
& q\in {{P}_{g}} \\ | |||
& \bar{v}\in {{P}_{u}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
ungerade Parität dagegen: | |||
<math>{{P}_{u}}=\left\{ polareVektoren,\bar{r},d\bar{r},\bar{v},\bar{a},\bar{F},\bar{E}=\frac{1}{q}\bar{F},\bar{j}=\rho \bar{v},\bar{A},Pseudoskalare\quad \nabla \cdot \bar{B} \right\}</math> | |||
Wegen | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A} \\ | |||
& \nabla \in {{P}_{u}} \\ | |||
& \bar{B}\in {{P}_{g}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
P- Invarianz der Elektro- / Magnetostatik: | |||
<math>\begin{align} | |||
& P:\left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\}\to \left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\} \\ | |||
& P:\left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho \right\}\to \left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho \right\} \\ | |||
& P:\left\{ {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\}\to \left\{ -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\} \\ | |||
& P:\left\{ \nabla \times \bar{B}={{\mu }_{0}}\bar{j} \right\}\to \left\{ -\nabla \times \bar{B}=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \right\} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
<math>P:\left\{ \frac{\partial }{\partial t}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}\to \left\{ \frac{\partial }{\partial t}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}</math> | |||
Nebenbemerkung: Gäbe es magnetische Ladungen, dann wären sie pseudoskalare | |||
Außerdem ( Weinberg e.a.) : Schwache Wechselwirkung verletzt die Paritätserhaltung! | |||
=Maxwell- Gleichungen im Vakuum= | |||
Die Forderungen an dynamische Gleichungen für zeitartige Felder | |||
<math>\bar{E}(\bar{r},t),\bar{B}(\bar{r},t)</math> | |||
lauten: | |||
1) im quasistatischen Grenzfall sollen die statischen MWGl herauskommen: | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \\ | |||
& {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho =0 \\ | |||
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\ | |||
& \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j}=0 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
2) die Gleichungen sollen linear in | |||
<math>\bar{E}(\bar{r},t),\bar{B}(\bar{r},t)</math> | |||
sein, um das Superpositionsprinzip zu erfüllen ! | |||
Die Gleichungen sollen 1. Ordnung in t sein ( um das Kausalitätsprinzip zu erfüllen !) | |||
Die linke Seite der Maxwellgleichungen ( oben) soll zur Zeit t=0 den Zustand für t> 0 vollständig festlegen !! | |||
Somit sind | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}={{a}_{1}}\dot{\bar{E}}+{{b}_{1}}\dot{\bar{B}} \\ | |||
& \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j}={{a}_{2}}\dot{\bar{E}}+{{b}_{2}}\dot{\bar{B}} \\ | |||
& {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho =0 \\ | |||
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Dies sind 6 Vektorgleichungen, die | |||
<math>\bar{E}(\bar{r},t),\bar{B}(\bar{r},t)</math> | |||
für t> 0 festlegen und 2 skalare Gleichungen | |||
3) Wir fordern TCP- Invarianz: | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{T}_{g}}oder\ {{P}_{g}}\Rightarrow {{a}_{1}}=0 \\ | |||
& {{T}_{u}}oder\ {{P}_{u}}\Rightarrow {{b}_{2}}=0 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Also bleibt: | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}={{b}_{1}}\dot{\bar{B}} \\ | |||
& \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j}={{a}_{2}}\dot{\bar{E}} \\ | |||
& {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho =0 \\ | |||
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
4) Ladungserhaltung: | |||
<math>\begin{align} | |||
& 0=\frac{\partial }{\partial t}\left( {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \dot{\bar{E}}-\dot{\rho }=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{a}_{2}}}\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j} \right)-\dot{\rho } \\ | |||
& \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{a}_{2}}}\nabla \cdot \nabla \times \bar{B}=0 \\ | |||
& \Rightarrow \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{a}_{2}}}\nabla \cdot \left( {{\mu }_{0}}\bar{j} \right)-\dot{\rho }=0 \\ | |||
& \Rightarrow {{a}_{2}}={{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung ! | |||
Somit ( vergl. S. 32, §2.3 folgt die Verschiebungsstromdichte | |||
<math>{{\varepsilon }_{0}}\dot{\bar{E}}</math> | |||
5) Lorentzkraft | |||
<math>\bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B}</math> | |||
soll aus einem Extremalprinzip, ergo dem Hamiltonschen Prinzip ableitbar sein. | |||
Suche also eine Lagrange- Funktion | |||
<math>L(\bar{r},\bar{v},t)</math> | |||
so dass die Lagrangegleichung | |||
<math>\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}} \right)-\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{x}_{k}}}=0</math> | |||
die nichtrelativistische Bewegungsgleichung | |||
<math>m\ddot{\bar{r}}=q\left[ \bar{E}(\bar{r},t)+\bar{v}\times \bar{B}(\bar{r},t) \right]</math> | |||
ergibt ! | |||
Lösung: | |||
<math>L=\frac{m}{2}{{v}^{2}}+q\left[ \bar{v}\bar{A}(\bar{r},t)-\Phi (\bar{r},t) \right]</math> | |||
Tatsächlich gilt | |||
<math>{{p}_{k}}=\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}=m{{v}_{k}}+q{{A}_{k}}(\bar{r},t)</math> | |||
= kanonischer Impuls | |||
<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}=m{{\ddot{x}}_{k}}+q\frac{d}{dt}{{A}_{k}}(\bar{r},t)</math> | |||
Dabei ist die Zeitableitung von A als totales Differenzial entlang einer Bahn | |||
<math>\bar{r}</math> | |||
zu sehen ! | |||
<math>\begin{align} | |||
& \frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}=m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\left( \frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}(\bar{r},t)+\frac{\partial {{A}_{k}}(\bar{r},t)}{\partial {{x}_{l}}}\frac{\partial {{x}_{l}}}{\partial t} \right)=m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\left( \frac{\partial }{\partial t}+\bar{v}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}(\bar{r},t) \\ | |||
& \frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{x}_{k}}}=q\left[ \frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\Phi \right] \\ | |||
& \Rightarrow 0=\frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}-\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{x}_{k}}}=m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\left( \frac{\partial }{\partial t}+\bar{v}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}(\bar{r},t)-q\left[ \frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\Phi \right] \\ | |||
& =m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}(\bar{r},t)+q\left[ \left( \bar{v}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}(\bar{r},t)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right) \right]+q\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\Phi \\ | |||
& \left[ \left( \bar{v}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}(\bar{r},t)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right) \right]=-{{\left[ \bar{v}\times \left( \nabla \times \bar{A} \right) \right]}_{k}} \\ | |||
& \Rightarrow 0=m\ddot{\bar{r}}+q\frac{\partial }{\partial t}A(\bar{r},t)-q\left[ \bar{v}\times \left( \nabla \times \bar{A} \right) \right]+q\nabla \Phi =m\ddot{\bar{r}}+q\left[ \frac{\partial }{\partial t}A(\bar{r},t)+\nabla \Phi -\left[ \bar{v}\times \left( \nabla \times \bar{A} \right) \right] \right] \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Vergleich mit der Lorentzkraft liefert: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{E}(\bar{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}A(\bar{r},t)-\nabla \Phi \\ | |||
& \bar{B}(\bar{r},t)=\nabla \times A(\bar{r},t) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
und: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times A(\bar{r},t)-\nabla \times \nabla \Phi \\ | |||
& \nabla \times A(\bar{r},t)=\bar{B}(\bar{r},t) \\ | |||
& \nabla \times \nabla \Phi =0 \\ | |||
& \Rightarrow {{b}_{1}}=-1 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
<u>'''Vollständige ( zeitabhängige) Maxwellgleichungen im Vakuum'''</u> | |||
mit den neuen Feldgrößen | |||
<math>\bar{D}(\bar{r},t):={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}(\bar{r},t)</math> | |||
dielektrische Verschiebung | |||
und | |||
<math>\bar{H}(\bar{r},t):=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}(\bar{r},t)</math> | |||
, Magnetfeld | |||
ergibt sich: | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0 \\ | |||
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\ | |||
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{D}=\rho \\ | |||
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{H}-\dot{\bar{D}}=\bar{j} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Dabei sind | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0 \\ | |||
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
die homogenen Gleichungen, die die Wechselwirkung einer Punktladung mit gegebenen Feldern | |||
<math>\bar{E},\bar{B}</math> | |||
beschreiben | |||
und | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{D}=\rho \\ | |||
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{H}-\dot{\bar{D}}=\bar{j} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
die inhomogenen Gleichungen, die Erzeugung der Felder | |||
<math>\bar{D},\bar{H}</math> | |||
durch gegebene Ladungen und Ströme | |||
Im Gauß- System: | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\frac{1}{c}\dot{\bar{B}}=0 \\ | |||
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\ | |||
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=4\pi \rho \\ | |||
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{B}-\dot{\bar{E}}=\frac{4\pi }{c}\bar{j} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Mit | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}-\nabla \Phi \\ | |||
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A} \\ | |||
& \bar{D}=\bar{E} \\ | |||
& \bar{H}=\bar{B} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
im Vakuum ! | |||
=Induktionsgesetz= | |||
Die Maxwellgleichung | |||
<math>{{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=-\dot{\bar{B}}</math> | |||
wird über eine ortsfeste Fläche F ( nicht geschlossen) mit Rand | |||
<math>\partial F</math> | |||
integriert: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\left( {{\nabla }_{r}}\times \bar{E} \right)=-\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\dot{\bar{B}} \\ | |||
& \Rightarrow \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Wobei Differenziation und Integration genau dann vertauscht werden kann, wenn die Variablen unabhängig sind, also die Fläche ortsfest ! | |||
Damit folgt die integrale Form dieser Maxwellgleichung | |||
<math>\begin{align} | |||
& \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\Phi (t) \\ | |||
& \Phi (t)=\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}=\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{A} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Der magnetische Fluß ! | |||
Der magnetische Fluß | |||
<math>\Phi (t)</math> | |||
hängt nur vom Rand | |||
<math>\partial F</math> | |||
der Fläche ab ! | |||
Seien F und F´ zwei Flächen mit dem selben Rand, die das Volumen V einschließen : | |||
<math>\begin{align} | |||
& \int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}-\int_{F\acute{\ }}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{B}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot \bar{B}=0 \\ | |||
& \nabla \cdot \bar{B}=0 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Die Potenzialdifferenz bei einem Umlauf um | |||
<math>\partial F</math> | |||
beträgt: | |||
<math>\Delta \Phi :=-\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}</math> | |||
Dies entspricht einer induzierten Spannung ( als Wirbelfeld) | |||
Somit folgt das | |||
Faradaysche Induktionsgesetz: | |||
<math>\Delta \Phi =\frac{\partial }{\partial t}{{\Phi }_{mag}}</math> | |||
mit dem magnetischen Fluß | |||
<math>{{\Phi }_{mag}}</math> | |||
<u>'''Die Lenzsche Regel:'''</u> | |||
<math>\begin{align} | |||
& \dot{\bar{B}}\to \bar{E} \\ | |||
& \nabla \times \bar{E}=-\bar{B} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
induziert | |||
<math>\bar{E}\to \bar{j}\tilde{\ }\bar{E}</math> | |||
Ladungsverschiebung/- Bewegung | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{j}\to \bar{H} \\ | |||
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{H}=\bar{j} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
erzeugt | |||
Also: | |||
<math>\bar{H}</math> | |||
ist | |||
<math>\dot{\bar{B}}</math> | |||
entgegengerichtet ! | |||
<u>'''Zusammenfassung'''</u> | |||
<math>\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\Phi (t)</math> | |||
Zirkulation des elektrischen Feldes entlang einer geschlossenen Linie ist gleich der zeitlichen Abnahme des eingeschlossenen magnetischen Flusses: | |||
<math>\Phi (t)=\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}=\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{A}</math> | |||
<math>\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{B}=0</math> | |||
Der Nettofluss des magnetischen Feldes durch eine geschlossene Oberfläche ist NULL | |||
<math>\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{E}=\frac{Q}{{{\varepsilon }_{0}}}</math> | |||
Der Fluß des elektrischen Feldes durch | |||
<math>\partial V</math> | |||
ist gleich der eingeschlossenen Ladung | |||
<math>\frac{Q}{{{\varepsilon }_{0}}}</math> | |||
<math>\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{H}=\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \dot{\bar{D}}+I</math> | |||
Die Zirkulation des magnetischen Feldes entlang einer eingeschlossenen Linie ist gleich der Summe aus dem dielektrischen Verschiebungsstrom | |||
<math>\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \dot{\bar{D}}</math> | |||
und dem Konvektionsstrom | |||
<math>I=\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{j}</math> | |||
=Energiebilanz= | |||
Die Maxwell- Gleichungen enthalten die Kontinuitätsgleichung für die elektrische Ladung | |||
<math>\begin{align} | |||
& \dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=0 \\ | |||
& \dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=\nabla \cdot \left( \dot{\bar{D}}+\bar{j} \right)=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{H} \right)=0 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
'''Frage:''' | |||
Enthalten die Maxwell- Gleichungen weitere Erhaltungssätze für extensive physikalische Observablen, wie Energie, Impuls, Drehimpuls. | |||
( Extensiv: Additiv bei Systemzusammensetzung) | |||
<u>'''Energietransport durch das elektromagnetische Feld:'''</u> | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0\left. {} \right|\cdot \bar{H} \\ | |||
& \nabla \times \bar{H}-\dot{\bar{D}}=\bar{j}\left. {} \right|\cdot \bar{E} \\ | |||
& \Rightarrow \bar{H}\cdot \left( \nabla \times \bar{E} \right)-\bar{E}\cdot \left( \nabla \times \bar{H} \right)+\bar{H}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{B}+\bar{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=-\bar{j}\cdot \bar{E} \\ | |||
& \bar{H}\cdot \left( \nabla \times \bar{E} \right)-\bar{E}\cdot \left( \nabla \times \bar{H} \right)=\nabla \cdot \left( \bar{E}\times \bar{H} \right) \\ | |||
& \bar{H}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{1}{2{{\mu }_{0}}}{{{\bar{B}}}^{2}} \right) \\ | |||
& \bar{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{D}={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{E}=\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{{\bar{E}}}^{2}} \right) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Also: | |||
<math>\frac{\partial }{\partial t}w+\nabla \cdot \bar{S}=-\bar{j}\cdot \bar{E}</math> | |||
Als Kontinuitätsgleichung ( Bilanzgleichung) für den Energietransport | |||
mit | |||
<math>w:=\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{1}{2{{\mu }_{0}}}{{{\bar{B}}}^{2}} \right)+\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{{\bar{E}}}^{2}} \right)=\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{H} \right)</math> | |||
Als Energiedichte des elektromagnetischen Feldes | |||
Remember: | |||
Elektrostatik: | |||
<math>\frac{1}{2}\bar{E}\cdot \bar{D}</math> | |||
Magnetostatik: | |||
<math>\frac{1}{2}\bar{B}\cdot \bar{H}</math> | |||
<math>\bar{S}:=\bar{E}\times \bar{H}</math> | |||
als Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes ( Poynting- Vektor) | |||
<math>\sigma =-\bar{j}\cdot \bar{E}</math> | |||
als Quelldichte der Feldenergie ( Leistungsdichte) | |||
<math>\bar{j}\cdot \bar{E}>0</math> | |||
bedingt die Abnahme der Feldenergie bei | |||
<math>(\bar{r},t)</math> | |||
<math>\bar{j}\cdot \bar{E}<0</math> | |||
bedingt die Zunahme der Feldenergie bei | |||
<math>(\bar{r},t)</math> | |||
Beispiel: Beschleunigung von Teilchen durch die Felder | |||
<math>\bar{E},\bar{B}</math> | |||
: | |||
Kraft auf die Ladung q: | |||
<math>\bar{F}=q\left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right)</math> | |||
Kraftdichte: | |||
<math>\bar{f}=\rho \left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right)</math> | |||
Als Leistungsdichte der Felder auf die Ladungsdichte | |||
<math>\rho </math> | |||
folgt: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{f}\bar{v}=\rho \bar{v}\left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right)=\rho \bar{v}\bar{E}+\rho \bar{v}\left( \bar{v}\times \bar{B} \right) \\ | |||
& \rho \bar{v}\left( \bar{v}\times \bar{B} \right)=0 \\ | |||
& \Rightarrow \bar{f}\bar{v}=\rho \bar{v}\bar{E}=\bar{j}\bar{E} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Das Magnetfeld leistet keine Arbeit, da die Kraft senkrecht auf die Geschwindigkeit steht | |||
Es verbleibt die Kraftdichte, die vom Feld auf Ladungen übertragen wird ( sogenannte Verlustdichte der Feldenergie) | |||
Also ist die Feldenergie keine Erhaltungsgröße !! | |||
<u>'''Beispiel: '''</u> Ohmsches Gesetz: | |||
<math>\sigma \cdot \bar{E}=\bar{j}</math> | |||
mit der konstanten LEITFÄHIGKEIT | |||
<math>\sigma >0</math> | |||
( nicht wie oben Oberflächenladungsdichte) | |||
Das Ohmsche Gesetz ist ein phänomenologisches MATERIALGESETZ. | |||
Es gilt in Metallen und Halbleitern für hinreichend kleine Felder | |||
<math>\bar{E}</math> | |||
Die Energiebilanz lautet: | |||
<math>\frac{\partial }{\partial t}w+\nabla \cdot \bar{S}=-\sigma \cdot {{\bar{E}}^{2}}<0</math> | |||
Das heißt: Es gibt stets den VERLUST von Feldenergie ! | |||
Eine Konsequenz des 2. Hauptsatz der Thermodynamik | |||
Im Gegensatz zur Elektrodynamik ist das Ohmsche Gesetz also nicht zeitumkehrinvariant ! | |||
Das bedeutet: | |||
<math>\begin{align} | |||
& t\to -t \\ | |||
& \bar{j}\to -\bar{j} \\ | |||
& aber \\ | |||
& \bar{E}\to \bar{E} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
<math>\sigma \cdot {{\bar{E}}^{2}}>0</math> | |||
wird dann als Joulsche Wärme im Leiter dissipiert | |||
<u>'''2. Beispiel:'''</u> | |||
Antennenstrahlung ( offenes System) | |||
<math>\bar{j}</math> | |||
in der metallischen Antenne ist dem Wechselfeld | |||
<math>\bar{E}</math> | |||
außerhalb entgegengesetzt. | |||
<math>\Rightarrow \bar{j}\bar{E}<0</math> | |||
<math>\Rightarrow </math> | |||
Energiegewinn des Feldes | |||
=Impulsbilanz= | |||
Aus den Maxwell Gleichungen folgt eine weitere Bilanzgleichung für den Impulstransport durch das elektromagnetische Feld: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)=\dot{\bar{D}}\times \bar{B}+\bar{D}\times \dot{\bar{B}} \\ | |||
& \dot{\bar{D}}=\nabla \times \bar{H}-\bar{j} \\ | |||
& \dot{\bar{B}}=-\nabla \times \bar{E} \\ | |||
& \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)=-\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\times \left( \nabla \times \bar{B} \right)-\bar{j}\times \bar{B}-{{\varepsilon }_{o}}\bar{E}\times \left( \nabla \times \bar{E} \right) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Mittels | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{B}\times \left( \nabla \times \bar{B} \right)=\frac{1}{2}\nabla \left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\left( \bar{B}\cdot \nabla \right)\bar{B} \\ | |||
& \bar{B}\times \left( \nabla \times \bar{B} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}+\bar{B}\left( \nabla \cdot \bar{B} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\} \\ | |||
& \bar{B}\left( \nabla \cdot \bar{B} \right)=0 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Dabei bezeichnet | |||
<math>\left( 1 \right)</math> | |||
den Einheitstensor 1. Stufe und | |||
<math>\bar{B}\otimes \bar{B}</math> | |||
das Tensorprodukt (dyadisches Produkt). | |||
Außerdem ist | |||
<math>\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}</math> | |||
die Divergenz eines Tensors | |||
<math>\left( T \right)</math> | |||
zweiter Stufe. | |||
In Komponenten gilt: | |||
<math>{{\left( \nabla \cdot T \right)}_{\beta }}:={{\partial }_{\alpha }}{{T}_{\alpha }}_{\beta }</math> | |||
Analog: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{E}\times \left( \nabla \times \bar{E} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{E} \right)-\bar{E}\otimes \bar{E} \right\}+\bar{E}\left( \nabla \cdot \bar{E} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{E} \right)-\bar{E}\otimes \bar{E} \right\}+\bar{E}\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ | |||
& \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)+\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( {{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}+\frac{1}{{{\mu }_{0}}}{{B}^{2}} \right)-{{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\otimes \bar{E}-\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}=-\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Dabei beschreibt | |||
<math>\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right)</math> | |||
den Kraftdichtefluß, der von den Feldern auf Ströme und Ladungen übertragen wird | |||
Als Bilanzgleichung für den Impulstransport ergibt sich: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \frac{\partial }{\partial t}\bar{g}+\nabla \cdot \left( {\bar{\bar{T}}} \right)=-\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right) \\ | |||
& \bar{g}:=\left( \bar{D}\times \bar{B} \right) \\ | |||
& \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( {{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}+\frac{1}{{{\mu }_{0}}}{{B}^{2}} \right)-{{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\otimes \bar{E}-\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}:=\left( {\bar{\bar{T}}} \right) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Dabei ist | |||
<math>\bar{g}:=\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)</math> | |||
die Impulsdichte des Feldes. | |||
Nach Newton gilt: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \frac{d}{dt}\bar{p}=\bar{F} \\ | |||
& \Rightarrow \frac{d}{dt}\bar{g}=\bar{f} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Es ergibt sich | |||
<math>\left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{H} \right)-\bar{E}\otimes \bar{D}-\bar{B}\otimes \bar{H} \right\}:=\left( {\bar{\bar{T}}} \right)</math> | |||
Als der | |||
IMPULSSTROMDICHTE- Tensor des Feldes ( Maxwellscher Spannungstensor) | |||
in Komponenten: | |||
<math>{{T}_{\alpha \beta }}=\left\{ {{\delta }_{\alpha \beta }}\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{H} \right)-{{{\bar{E}}}_{\alpha }}{{{\bar{D}}}_{\beta }}-{{{\bar{B}}}_{\alpha }}{{{\bar{H}}}_{\beta }} \right\}</math> | |||
Dies ist die Stromrichtung der | |||
<math>\beta </math> | |||
- Komponente der Impulsdichte in | |||
<math>\alpha </math> | |||
- Richtung. | |||
Eine Impulsdichte, die in eine feste Richtung weist wird somit entlang einer anderen Richtung transportiert ! | |||
<math>tr\left( {\bar{\bar{T}}} \right)={{T}_{\alpha \alpha }}=w</math> | |||
Energiedichte | |||
Außerdem ist T symmetrisch: | |||
<math>{{T}_{\alpha \beta }}={{T}_{\beta \alpha }}</math> | |||
Die komponentenweise Darstellung der Bilanzgleichung | |||
<math>\frac{\partial }{\partial t}{{g}_{\beta }}+\frac{\partial }{\partial {{x}_{\alpha }}}{{T}_{\alpha \beta }}=-{{f}_{\beta }}</math> | |||
beschriebt den Impulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen. | |||
'''Bemerkung:''' | |||
Eine analoge Bilanzgleichung gibt es für die Drehimpulsdichte des Feldes. Sie beschreibt den Drehimpulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen ! | |||
=Eichinvarianz= | |||
Die Felder | |||
<math>\bar{E},\bar{B}</math> | |||
werden durch die Potenziale | |||
<math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | |||
dargestellt.: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | |||
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Dabei drängt sich die Frage auf, welche die allgemeinste Transformation | |||
<math>\begin{align} | |||
& \Phi \left( \bar{r},t \right)\to \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\ | |||
& \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\to \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
ist, welche die Felder E und B unverändert läßt. | |||
Also: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\ | |||
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\ | |||
& \Rightarrow \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right)=\bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\nabla G\left( \bar{r},t \right) \\ | |||
& \Rightarrow -\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\nabla G\left( \bar{r},t \right) \right) \\ | |||
& \Rightarrow \nabla \left( \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}G\left( \bar{r},t \right) \right)=0 \\ | |||
& \Rightarrow \left( \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}G\left( \bar{r},t \right) \right)=g(t)(r-unabh\ddot{a}ngig) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Mit | |||
<math>\begin{align} | |||
& F\left( \bar{r},t \right):=G\left( \bar{r},t \right)-\int_{to}^{t}{dt\acute{\ }g(t\acute{\ })} \\ | |||
& \Rightarrow \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right)=\bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\nabla F\left( \bar{r},t \right) \\ | |||
& \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)=\Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}F\left( \bar{r},t \right) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
mit eine völlig beliebigen Eichfunktion | |||
<math>F\left( \bar{r},t \right)</math> | |||
. | |||
Alle physikalischen Aussagen müssen invariant sein ! Aber nicht nur | |||
<math>\bar{E},\bar{B}</math> | |||
sondern auch | |||
<math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | |||
sind physikalisch relevant. | |||
So muss auch | |||
<math>\oint\limits_{\partial F}{d\bar{s}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\int_{F}^{{}}{d\bar{f}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\Phi \left( \bar{r},t \right)}</math> | |||
erfüllt sein. | |||
Dies ist gewährleistet, wenn die Maxwellgleichungen erfüllt sind. | |||
Durch | |||
<math>\begin{align} | |||
& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | |||
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
sind die '''homogenen '''Maxwellgleichungen bereits erfüllt: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \nabla \times \bar{E}=-\nabla \times \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\ | |||
& \nabla \cdot \bar{B}=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=0 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Auch die Umkehrung gilt: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \nabla \cdot \bar{B}=0 \\ | |||
& \Rightarrow \exists \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\Rightarrow \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B} \\ | |||
& \nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=-\nabla \times \frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)\Rightarrow \nabla \times \left( \bar{E}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=0 \\ | |||
& \Rightarrow \exists \Phi \left( \bar{r},t \right)\Rightarrow \bar{E}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Wähle nun eine Eichung derart, dass die inhomogenen Maxwellgleichungen besonders einfach werden | |||
Ziel: Entkopplung der DGLs für | |||
<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right),\Phi \left( \bar{r},t \right)</math> | |||
: | |||
# <u>'''Lorentz- Eichung:'''</u> | |||
<math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=0</math> | |||
Genau dadurch werden die Feldgleichungen entkoppelt: | |||
1) | |||
<math>\begin{align} | |||
& -\nabla \cdot \bar{E}=\nabla \cdot \left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ | |||
& \Delta \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Was mit Hilfe der Lorentzeichung wird zu | |||
<math>\Delta \Phi \left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math> | |||
'''Für A:''' | |||
2) | |||
<math>\begin{align} | |||
& \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\nabla \times \bar{B}-{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}=\bar{j} \\ | |||
& \Rightarrow \nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)={{\mu }_{0}}\bar{j} \\ | |||
& \nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=+\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | |||
& \Rightarrow \Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right) \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Was mit der Lorentz- Eichung | |||
<math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=0</math> | |||
wird zu | |||
<math>\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}</math> | |||
Dies kann in Viererschreibweise mit dem dÁlembertschen Operator # mit | |||
<math>\#:=\Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}</math> | |||
zusammengefasst werden: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ | |||
& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Dies sind die inhomogenen Wellengleichungen für die Potenziale ( entkoppelt mittels Lorentz- Eichung) | |||
Es ergibt sich im SI- System: | |||
<math>\frac{1}{\sqrt{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}:=c=2,994\cdot {{10}^{8}}\frac{m}{s}</math> | |||
als Lichtgeschwindigkeit | |||
Dies ist einfach die ermittelte Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen im Vakuum ! | |||
<u>'''Coulomb- Eichung'''</u> | |||
( sogenannte Strahlungseichung): | |||
<math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0</math> | |||
Vergleiche Kapitel 2.3 ( Magnetostatik): | |||
Für | |||
<math>\begin{align} | |||
& \dot{\bar{D}}=0 \\ | |||
& \Rightarrow \nabla \times \bar{B}=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A} \right)-\Delta \bar{A}={{\mu }_{0}}\bar{j} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
(Poissongleichung der Magnetostatik) | |||
<u>'''Zerlegung in longitudinale und transversale Anteile :'''</u> | |||
Allgemein kann man | |||
<math>\bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | |||
in ein wirbelfreies Longitudinalfeld: | |||
<math>{{\bar{E}}_{l}}:=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)</math> | |||
und ein quellenfreies Transversalfeld | |||
<math>{{\bar{E}}_{t}}=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | |||
zerlegen. | |||
Tatsächlich gilt: | |||
<math>\nabla \times {{\bar{E}}_{l}}:=-\nabla \times \left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right) \right)=0</math> | |||
<math>\nabla \cdot {{\bar{E}}_{t}}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0</math> | |||
Da | |||
<math>\bar{B}</math> | |||
quellenfrei ist, ist B auch immer transversal: | |||
<math>\nabla \cdot \bar{B}:=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{A} \right)=0</math> | |||
Also: | |||
<math>\Phi \left( \bar{r},t \right)</math> | |||
ergibt die longitudinalen Felder und | |||
<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | |||
die transversalen Felder. | |||
Merke: Felder , die Rotation eines Vektorfeldes sind ( Vektorpotenzials) sind grundsätzlich transversaler Natur. (Divergenz verschwindet). Divergenzfelder ( als Gradienten eines Skalars) sind immer longitudinal ! ( Rotation verschwindet). | |||
<u>'''Zerlegung der Stromdichte:'''</u> | |||
<math>\bar{j}={{\bar{j}}_{l}}+{{\bar{j}}_{t}}</math> | |||
mit | |||
<math>\nabla \times {{\bar{j}}_{l}}=0</math> | |||
<math>\nabla \cdot {{\bar{j}}_{t}}=0</math> | |||
Mit | |||
<math>\begin{align} | |||
& \frac{\partial }{\partial t}\rho +\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{l}}+\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{t}}=0 \\ | |||
& \rho ={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {{{\bar{E}}}_{l}} \\ | |||
& \nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{t}}=0 \\ | |||
& \Rightarrow \nabla \cdot \left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=0 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Außerdem gilt nach der Definition von longitudinal: | |||
<math>\nabla \times \left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=0</math> | |||
Also: | |||
<math>\left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=const</math> | |||
Da beide Felder aber für r-> 0 verschwinden folgt: | |||
<math>\left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=0</math> | |||
Also: | |||
<math>{{\bar{j}}_{l}}={{\varepsilon }_{0}}\nabla \frac{\partial \Phi }{\partial t}</math> | |||
Also: | |||
Die Feldgleichungen | |||
<math>\begin{align} | |||
& \Delta \Phi +\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ | |||
& \nabla \cdot \bar{A}=0 \\ | |||
& \Rightarrow \Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
und | |||
<math>\begin{align} | |||
& \Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right) \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\ | |||
& \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0 \\ | |||
& \nabla {{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)={{{\bar{j}}}_{l}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
erhalten dann die Form: | |||
<math>\Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math> | |||
und | |||
<math>\begin{align} | |||
& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}{{{\bar{j}}}_{t}} \\ | |||
& \\ | |||
\end{align}</math> | |||
In der Coulomb- Eichung ! | |||
Also. | |||
<math>\Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math> | |||
: longitudinale Felder entsprechend der Elektrostatik | |||
<math>\#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}{{\bar{j}}_{t}}</math> | |||
als transversale Felder entsprechend elektromagnetischen Wellen. | |||
Das bedeutet : Die Coulombeichung ist zweckmäßig bei Strahlungsproblemen ! | |||
Sie liefert eine Poissongleichung für | |||
<math>\Phi </math> | |||
und eine Wellengleichung für | |||
<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | |||
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