Editing Die Maxwell-Gleichungen

{{Scripthinweis|Elektrodynamik|3}}
Ziel: Beschreibung der Dynamik der Felder

Methode: Erweiterung der elektrostatischen und magnetostatischen Feldgleichungen derart, dass allgemeine Invarianz- Prinzipien erfüllt sind!

Invarianz- Prinzipien sind / können sein:

=3.1 TCP- Invarianz=

Zeitumkehr T: t -> t´=-t
Ladungsumkehr / Konjugation :  C :  Q  Q´= - Q
Paritätsumkehr P :  r - >  r´= -r ( für den Ortsvektor)

<u>'''Die Zeitumkehr- Transformation'''</u>

<math>\begin{align}
& {{T}_{g}}:=\left\{ T-in\operatorname{var}iante\ ObservableA:TA=A \right\} \\
& =\left\{ \bar{r},d\bar{r},a:=\frac{{{d}^{2}}\bar{r}}{d{{t}^{2}}},m,q,\rho :=\begin{matrix}
\lim   \\
\Delta V\to 0  \\
\end{matrix}\frac{\Delta q}{\Delta V},\bar{F}=m\bar{a},\bar{E}=\frac{{\bar{F}}}{q},\Phi ... \right\} \\
\end{align}</math>
Diese Observablen sind "gerade" unter T

Daneben gibt es auch Observablen, die "ungerade" unter T sind:

<math>{{T}_{u}}:=\left\{ A:TA=-A \right\}=\left\{ \bar{v}:=\frac{d\bar{r}}{dt},\bar{j}=\rho \bar{v},\bar{B},\bar{A} \right\}</math>

Denn:

<math>\begin{align}
& \bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B} \\
& \bar{F}\in {{T}_{g}},\bar{v}\in {{T}_{u}},q\in {{T}_{g}}\Rightarrow \bar{B}\in {{T}_{u}} \\
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A},\nabla \in {{T}_{g}} \\
\end{align}</math>

Somit folgt jedoch vollständige T- Invarianz der elektromagnetischen Grundgleichungen:

<math>\begin{align}
& T:\left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\}\to \left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\} \\
& T:\left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho  \right\}\to \left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho  \right\} \\
& T:\left\{ {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\}\to \left\{ -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\}\Leftrightarrow \left\{ {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\} \\
& T:\left\{ \nabla \times \bar{B}={{\mu }_{0}}\bar{j} \right\}\to \left\{ -\nabla \times \bar{B}=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \right\} \\
&  \\
\end{align}</math>

Kontinuitätsgleichung:

<math>T:\left\{ \frac{\partial }{\partial t}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}\to \left\{ -\frac{\partial }{\partial t}\rho -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}</math>

Die Gleichungen sind FORMINVARIANT !

'''Ladungsumkehr ( Konjugation)'''

<math>\begin{align}
& {{C}_{g}}:=\left\{ C-in\operatorname{var}iante\ ObservableA:CA=A \right\} \\
& {{C}_{g}}=\left\{ \bar{F},m,\bar{r},\bar{v},\bar{a} \right\} \\
\end{align}</math>

sind gerade unter C
'''Ungerade unter c sind:'''

<math>\begin{align}
& {{C}_{u}}:=\left\{ A:CA=-A \right\}=\left\{ \bar{E}=\frac{1}{q}\bar{F},\bar{B},\bar{j},\rho  \right\} \\
& \bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B} \\
\end{align}</math>

* C- Invarianz der Elektro- Magnetostatik:

<math>\begin{align}
& C:\left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\}\to \left\{ -{{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\} \\
& C:\left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho  \right\}\to \left\{ -{{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=-\rho  \right\} \\
& C:\left\{ {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\}\to \left\{ -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\} \\
& C:\left\{ \nabla \times \bar{B}={{\mu }_{0}}\bar{j} \right\}\to \left\{ -\nabla \times \bar{B}=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \right\} \\
\end{align}</math>

<math>C:\left\{ \frac{\partial }{\partial t}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}\to \left\{ -\frac{\partial }{\partial t}\rho -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}</math>

<u>'''Paritätsumkehr: Räumliche Spiegelung/ Inversion'''</u>

Vertauschung: rechts <-> links


Man unterscheidet:

<math>P\bar{r}=-\bar{r}</math>
-> polarer Vektor
und

<math>P\left( \bar{a}\times \bar{b} \right)=\left( -\bar{a}\times -\bar{b} \right)=\left( \bar{a}\times \bar{b} \right)</math>
P- invariant = " axialer Vektor", sogenannter Pseudovektor !!



Seien:

<math>\bar{a},\bar{b}</math>
polar,
<math>\bar{w},\bar{\sigma }</math>
axial
Dann ist

<math>\begin{align}
& \bar{a}\times \bar{w}\quad polar \\
& \bar{a}\times \bar{b},\bar{w}\times \bar{\sigma }\quad axial \\
& \bar{a}\bar{b}\ skalar:P(\bar{a}\bar{b})=\bar{a}\bar{b} \\
& \bar{w}\bar{\sigma }\ pseudoskalarP(\bar{w}\bar{\sigma })=-\bar{w}\bar{\sigma } \\
\end{align}</math>

<math>\begin{align}
& {{C}_{g}}:=\left\{ C-in\operatorname{var}iante\ ObservableA:CA=A \right\} \\
& {{C}_{g}}=\left\{ \bar{F},m,\bar{r},\bar{v},\bar{a} \right\} \\
\end{align}</math>

Wegen

<math>\begin{align}
& \bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B} \\
& \bar{F}\in {{P}_{u}} \\
& q\in {{P}_{g}} \\
& \bar{v}\in {{P}_{u}} \\
\end{align}</math>

ungerade Parität dagegen:

<math>{{P}_{u}}=\left\{ polareVektoren,\bar{r},d\bar{r},\bar{v},\bar{a},\bar{F},\bar{E}=\frac{1}{q}\bar{F},\bar{j}=\rho \bar{v},\bar{A},Pseudoskalare\quad \nabla \cdot \bar{B} \right\}</math>

Wegen

<math>\begin{align}
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A} \\
& \nabla \in {{P}_{u}} \\
& \bar{B}\in {{P}_{g}} \\
\end{align}</math>

P- Invarianz der Elektro- / Magnetostatik:

<math>\begin{align}
& P:\left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\}\to \left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\} \\
& P:\left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho  \right\}\to \left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho  \right\} \\
& P:\left\{ {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\}\to \left\{ -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\} \\
& P:\left\{ \nabla \times \bar{B}={{\mu }_{0}}\bar{j} \right\}\to \left\{ -\nabla \times \bar{B}=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \right\} \\
\end{align}</math>

<math>P:\left\{ \frac{\partial }{\partial t}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}\to \left\{ \frac{\partial }{\partial t}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}</math>

Nebenbemerkung: Gäbe es magnetische Ladungen, dann wären sie pseudoskalare
Außerdem ( Weinberg e.a.) : Schwache Wechselwirkung verletzt die Paritätserhaltung!

=Maxwell- Gleichungen im Vakuum=

Die Forderungen an dynamische Gleichungen für zeitartige Felder
<math>\bar{E}(\bar{r},t),\bar{B}(\bar{r},t)</math>
lauten:
1) im quasistatischen Grenzfall sollen die statischen MWGl herauskommen:

<math>\begin{align}
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \\
& {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho =0 \\
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
& \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j}=0 \\
\end{align}</math>

2) die Gleichungen sollen linear in
<math>\bar{E}(\bar{r},t),\bar{B}(\bar{r},t)</math>
sein, um das Superpositionsprinzip zu erfüllen !
Die Gleichungen sollen 1. Ordnung in t sein ( um das Kausalitätsprinzip zu erfüllen !)

Die linke Seite der Maxwellgleichungen ( oben) soll zur Zeit t=0 den Zustand für t> 0 vollständig festlegen !!

Somit sind

<math>\begin{align}
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}={{a}_{1}}\dot{\bar{E}}+{{b}_{1}}\dot{\bar{B}} \\
& \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j}={{a}_{2}}\dot{\bar{E}}+{{b}_{2}}\dot{\bar{B}} \\
& {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho =0 \\
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
\end{align}</math>

Dies sind 6 Vektorgleichungen, die
<math>\bar{E}(\bar{r},t),\bar{B}(\bar{r},t)</math>
für t> 0 festlegen und 2 skalare Gleichungen

3) Wir fordern TCP- Invarianz:

<math>\begin{align}
& {{T}_{g}}oder\ {{P}_{g}}\Rightarrow {{a}_{1}}=0 \\
& {{T}_{u}}oder\ {{P}_{u}}\Rightarrow {{b}_{2}}=0 \\
\end{align}</math>

Also bleibt:

<math>\begin{align}
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}={{b}_{1}}\dot{\bar{B}} \\
& \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j}={{a}_{2}}\dot{\bar{E}} \\
& {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho =0 \\
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
\end{align}</math>

4) Ladungserhaltung:

<math>\begin{align}
& 0=\frac{\partial }{\partial t}\left( {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho  \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \dot{\bar{E}}-\dot{\rho }=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{a}_{2}}}\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j} \right)-\dot{\rho } \\
& \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{a}_{2}}}\nabla \cdot \nabla \times \bar{B}=0 \\
& \Rightarrow \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{a}_{2}}}\nabla \cdot \left( {{\mu }_{0}}\bar{j} \right)-\dot{\rho }=0 \\
& \Rightarrow {{a}_{2}}={{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}} \\
\end{align}</math>

Unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung !
Somit ( vergl. S. 32, §2.3  folgt die Verschiebungsstromdichte
<math>{{\varepsilon }_{0}}\dot{\bar{E}}</math>

5) Lorentzkraft

<math>\bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B}</math>
soll aus einem Extremalprinzip, ergo dem Hamiltonschen Prinzip ableitbar sein.
Suche also eine Lagrange- Funktion

<math>L(\bar{r},\bar{v},t)</math>
so dass die Lagrangegleichung

<math>\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}} \right)-\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{x}_{k}}}=0</math>

die nichtrelativistische Bewegungsgleichung

<math>m\ddot{\bar{r}}=q\left[ \bar{E}(\bar{r},t)+\bar{v}\times \bar{B}(\bar{r},t) \right]</math>

ergibt !

Lösung:

<math>L=\frac{m}{2}{{v}^{2}}+q\left[ \bar{v}\bar{A}(\bar{r},t)-\Phi (\bar{r},t) \right]</math>

Tatsächlich gilt

<math>{{p}_{k}}=\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}=m{{v}_{k}}+q{{A}_{k}}(\bar{r},t)</math>
= kanonischer Impuls

<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}=m{{\ddot{x}}_{k}}+q\frac{d}{dt}{{A}_{k}}(\bar{r},t)</math>

Dabei ist die Zeitableitung von A als totales Differenzial entlang einer Bahn
<math>\bar{r}</math>
zu sehen !

<math>\begin{align}
& \frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}=m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\left( \frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}(\bar{r},t)+\frac{\partial {{A}_{k}}(\bar{r},t)}{\partial {{x}_{l}}}\frac{\partial {{x}_{l}}}{\partial t} \right)=m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\left( \frac{\partial }{\partial t}+\bar{v}\cdot \nabla  \right){{A}_{k}}(\bar{r},t) \\
& \frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{x}_{k}}}=q\left[ \frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\Phi  \right] \\
& \Rightarrow 0=\frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}-\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{x}_{k}}}=m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\left( \frac{\partial }{\partial t}+\bar{v}\cdot \nabla  \right){{A}_{k}}(\bar{r},t)-q\left[ \frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\Phi  \right] \\
& =m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}(\bar{r},t)+q\left[ \left( \bar{v}\cdot \nabla  \right){{A}_{k}}(\bar{r},t)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right) \right]+q\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\Phi  \\
& \left[ \left( \bar{v}\cdot \nabla  \right){{A}_{k}}(\bar{r},t)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right) \right]=-{{\left[ \bar{v}\times \left( \nabla \times \bar{A} \right) \right]}_{k}} \\
& \Rightarrow 0=m\ddot{\bar{r}}+q\frac{\partial }{\partial t}A(\bar{r},t)-q\left[ \bar{v}\times \left( \nabla \times \bar{A} \right) \right]+q\nabla \Phi =m\ddot{\bar{r}}+q\left[ \frac{\partial }{\partial t}A(\bar{r},t)+\nabla \Phi -\left[ \bar{v}\times \left( \nabla \times \bar{A} \right) \right] \right] \\
\end{align}</math>

Vergleich mit der Lorentzkraft liefert:

<math>\begin{align}
& \bar{E}(\bar{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}A(\bar{r},t)-\nabla \Phi  \\
& \bar{B}(\bar{r},t)=\nabla \times A(\bar{r},t) \\
\end{align}</math>

und:

<math>\begin{align}
& \nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times A(\bar{r},t)-\nabla \times \nabla \Phi  \\
& \nabla \times A(\bar{r},t)=\bar{B}(\bar{r},t) \\
& \nabla \times \nabla \Phi =0 \\
& \Rightarrow {{b}_{1}}=-1 \\
\end{align}</math>

<u>'''Vollständige ( zeitabhängige) Maxwellgleichungen im Vakuum'''</u>

mit den neuen Feldgrößen

<math>\bar{D}(\bar{r},t):={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}(\bar{r},t)</math>
dielektrische Verschiebung
und

<math>\bar{H}(\bar{r},t):=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}(\bar{r},t)</math>
, Magnetfeld
ergibt sich:

<math>\begin{align}
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0 \\
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{D}=\rho  \\
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{H}-\dot{\bar{D}}=\bar{j} \\
\end{align}</math>

Dabei sind

<math>\begin{align}
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0 \\
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
\end{align}</math>
die homogenen Gleichungen, die die Wechselwirkung einer Punktladung mit gegebenen Feldern
<math>\bar{E},\bar{B}</math>
beschreiben
und

<math>\begin{align}
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{D}=\rho  \\
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{H}-\dot{\bar{D}}=\bar{j} \\
\end{align}</math>
die inhomogenen Gleichungen, die Erzeugung der Felder
<math>\bar{D},\bar{H}</math>
durch gegebene Ladungen und Ströme

Im Gauß- System:

<math>\begin{align}
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\frac{1}{c}\dot{\bar{B}}=0 \\
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=4\pi \rho  \\
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{B}-\dot{\bar{E}}=\frac{4\pi }{c}\bar{j} \\
\end{align}</math>

Mit

<math>\begin{align}
& \bar{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}-\nabla \Phi  \\
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A} \\
& \bar{D}=\bar{E} \\
& \bar{H}=\bar{B} \\
\end{align}</math>

im Vakuum !

=Induktionsgesetz=

Die Maxwellgleichung

<math>{{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=-\dot{\bar{B}}</math>
wird über eine ortsfeste Fläche F ( nicht geschlossen) mit Rand
<math>\partial F</math>
integriert:

<math>\begin{align}
& \int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\left( {{\nabla }_{r}}\times \bar{E} \right)=-\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\dot{\bar{B}} \\
& \Rightarrow \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B} \\
\end{align}</math>

Wobei Differenziation und Integration genau dann vertauscht werden kann, wenn die Variablen unabhängig sind, also die Fläche ortsfest !

Damit folgt die integrale Form dieser Maxwellgleichung

<math>\begin{align}
& \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\Phi (t) \\
& \Phi (t)=\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}=\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{A} \\
\end{align}</math>

Der magnetische Fluß !

Der magnetische Fluß
<math>\Phi (t)</math>
hängt nur vom Rand
<math>\partial F</math>
der Fläche ab !

Seien F und F´ zwei Flächen mit dem selben Rand, die das Volumen V einschließen :


<math>\begin{align}
& \int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}-\int_{F\acute{\ }}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{B}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
& \nabla \cdot \bar{B}=0 \\
\end{align}</math>

Die Potenzialdifferenz bei einem Umlauf um
<math>\partial F</math>
beträgt:

<math>\Delta \Phi :=-\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}</math>
Dies entspricht einer induzierten Spannung ( als Wirbelfeld)
Somit folgt das

Faradaysche Induktionsgesetz:

<math>\Delta \Phi =\frac{\partial }{\partial t}{{\Phi }_{mag}}</math>

mit dem magnetischen Fluß

<math>{{\Phi }_{mag}}</math>

<u>'''Die Lenzsche Regel:'''</u>


<math>\begin{align}
& \dot{\bar{B}}\to \bar{E} \\
& \nabla \times \bar{E}=-\bar{B} \\
\end{align}</math>
induziert

<math>\bar{E}\to \bar{j}\tilde{\ }\bar{E}</math>
Ladungsverschiebung/- Bewegung

<math>\begin{align}
& \bar{j}\to \bar{H} \\
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{H}=\bar{j} \\
\end{align}</math>
erzeugt
Also:
<math>\bar{H}</math>
ist
<math>\dot{\bar{B}}</math>
entgegengerichtet !

<u>'''Zusammenfassung'''</u>


<math>\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\Phi (t)</math>
Zirkulation des elektrischen Feldes entlang einer geschlossenen Linie ist gleich der zeitlichen Abnahme des eingeschlossenen magnetischen Flusses:
<math>\Phi (t)=\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}=\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{A}</math>

<math>\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{B}=0</math>
Der Nettofluss des magnetischen Feldes durch eine geschlossene Oberfläche ist NULL

<math>\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{E}=\frac{Q}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
Der Fluß des elektrischen Feldes durch
<math>\partial V</math>
ist gleich der eingeschlossenen Ladung
<math>\frac{Q}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>

<math>\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{H}=\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \dot{\bar{D}}+I</math>
Die Zirkulation des magnetischen Feldes entlang einer eingeschlossenen Linie ist gleich der Summe aus dem dielektrischen Verschiebungsstrom
<math>\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \dot{\bar{D}}</math>
und dem Konvektionsstrom
<math>I=\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{j}</math>



=Energiebilanz=

Die Maxwell- Gleichungen enthalten die Kontinuitätsgleichung für die elektrische Ladung

<math>\begin{align}
& \dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=0 \\
& \dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=\nabla \cdot \left( \dot{\bar{D}}+\bar{j} \right)=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{H} \right)=0 \\
\end{align}</math>

'''Frage:'''

Enthalten die Maxwell- Gleichungen weitere Erhaltungssätze für extensive physikalische Observablen, wie Energie, Impuls, Drehimpuls.
( Extensiv: Additiv bei Systemzusammensetzung)

<u>'''Energietransport durch das elektromagnetische Feld:'''</u>

<math>\begin{align}
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0\left. {} \right|\cdot \bar{H} \\
& \nabla \times \bar{H}-\dot{\bar{D}}=\bar{j}\left. {} \right|\cdot \bar{E} \\
& \Rightarrow \bar{H}\cdot \left( \nabla \times \bar{E} \right)-\bar{E}\cdot \left( \nabla \times \bar{H} \right)+\bar{H}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{B}+\bar{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=-\bar{j}\cdot \bar{E} \\
& \bar{H}\cdot \left( \nabla \times \bar{E} \right)-\bar{E}\cdot \left( \nabla \times \bar{H} \right)=\nabla \cdot \left( \bar{E}\times \bar{H} \right) \\
& \bar{H}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{1}{2{{\mu }_{0}}}{{{\bar{B}}}^{2}} \right) \\
& \bar{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{D}={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{E}=\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{{\bar{E}}}^{2}} \right) \\
\end{align}</math>

Also:

<math>\frac{\partial }{\partial t}w+\nabla \cdot \bar{S}=-\bar{j}\cdot \bar{E}</math>

Als Kontinuitätsgleichung ( Bilanzgleichung) für den Energietransport

mit

<math>w:=\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{1}{2{{\mu }_{0}}}{{{\bar{B}}}^{2}} \right)+\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{{\bar{E}}}^{2}} \right)=\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{H} \right)</math>

Als Energiedichte des elektromagnetischen Feldes
Remember:

Elektrostatik:

<math>\frac{1}{2}\bar{E}\cdot \bar{D}</math>

Magnetostatik:

<math>\frac{1}{2}\bar{B}\cdot \bar{H}</math>

<math>\bar{S}:=\bar{E}\times \bar{H}</math>
als Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes ( Poynting- Vektor)

<math>\sigma =-\bar{j}\cdot \bar{E}</math>
als Quelldichte der Feldenergie ( Leistungsdichte)

<math>\bar{j}\cdot \bar{E}>0</math>
bedingt die Abnahme der Feldenergie bei
<math>(\bar{r},t)</math>

<math>\bar{j}\cdot \bar{E}<0</math>
bedingt die Zunahme der Feldenergie bei
<math>(\bar{r},t)</math>

Beispiel: Beschleunigung von Teilchen durch die Felder
<math>\bar{E},\bar{B}</math>
:

Kraft auf die Ladung q:
<math>\bar{F}=q\left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right)</math>

Kraftdichte:
<math>\bar{f}=\rho \left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right)</math>

Als Leistungsdichte der Felder auf die Ladungsdichte
<math>\rho </math>
folgt:

<math>\begin{align}
& \bar{f}\bar{v}=\rho \bar{v}\left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right)=\rho \bar{v}\bar{E}+\rho \bar{v}\left( \bar{v}\times \bar{B} \right) \\
& \rho \bar{v}\left( \bar{v}\times \bar{B} \right)=0 \\
& \Rightarrow \bar{f}\bar{v}=\rho \bar{v}\bar{E}=\bar{j}\bar{E} \\
\end{align}</math>

Das Magnetfeld leistet keine Arbeit, da die Kraft senkrecht auf die Geschwindigkeit steht

Es verbleibt die Kraftdichte, die vom Feld auf Ladungen übertragen wird ( sogenannte Verlustdichte der Feldenergie)

Also ist die Feldenergie keine Erhaltungsgröße !!

<u>'''Beispiel: '''</u> Ohmsches Gesetz:

<math>\sigma \cdot \bar{E}=\bar{j}</math>
mit der konstanten LEITFÄHIGKEIT
<math>\sigma >0</math>
( nicht wie oben Oberflächenladungsdichte)

Das Ohmsche Gesetz ist ein phänomenologisches MATERIALGESETZ.
Es gilt in Metallen und Halbleitern für hinreichend kleine Felder
<math>\bar{E}</math>

Die Energiebilanz lautet:

<math>\frac{\partial }{\partial t}w+\nabla \cdot \bar{S}=-\sigma \cdot {{\bar{E}}^{2}}<0</math>

Das heißt: Es gibt stets den VERLUST von Feldenergie !
Eine Konsequenz des 2. Hauptsatz der Thermodynamik
Im Gegensatz zur Elektrodynamik ist das Ohmsche Gesetz also nicht zeitumkehrinvariant !

Das bedeutet:

<math>\begin{align}
& t\to -t \\
& \bar{j}\to -\bar{j} \\
& aber \\
& \bar{E}\to \bar{E} \\
\end{align}</math>

<math>\sigma \cdot {{\bar{E}}^{2}}>0</math>
wird dann als Joulsche Wärme im Leiter dissipiert

<u>'''2. Beispiel:'''</u>

Antennenstrahlung ( offenes System)

<math>\bar{j}</math>
in der metallischen Antenne ist dem Wechselfeld
<math>\bar{E}</math>
außerhalb entgegengesetzt.

<math>\Rightarrow \bar{j}\bar{E}<0</math>

<math>\Rightarrow </math>
Energiegewinn des Feldes

=Impulsbilanz=

Aus den Maxwell Gleichungen folgt eine weitere Bilanzgleichung für den Impulstransport durch das elektromagnetische Feld:

<math>\begin{align}
& \frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)=\dot{\bar{D}}\times \bar{B}+\bar{D}\times \dot{\bar{B}} \\
& \dot{\bar{D}}=\nabla \times \bar{H}-\bar{j} \\
& \dot{\bar{B}}=-\nabla \times \bar{E} \\
& \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)=-\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\times \left( \nabla \times \bar{B} \right)-\bar{j}\times \bar{B}-{{\varepsilon }_{o}}\bar{E}\times \left( \nabla \times \bar{E} \right) \\
\end{align}</math>

Mittels

<math>\begin{align}
& \bar{B}\times \left( \nabla \times \bar{B} \right)=\frac{1}{2}\nabla \left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\left( \bar{B}\cdot \nabla  \right)\bar{B} \\
& \bar{B}\times \left( \nabla \times \bar{B} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}+\bar{B}\left( \nabla \cdot \bar{B} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\} \\
& \bar{B}\left( \nabla \cdot \bar{B} \right)=0 \\
\end{align}</math>

Dabei bezeichnet
<math>\left( 1 \right)</math>
den Einheitstensor 1. Stufe und
<math>\bar{B}\otimes \bar{B}</math>
das Tensorprodukt (dyadisches Produkt).
Außerdem ist
<math>\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}</math>
die Divergenz eines Tensors
<math>\left( T \right)</math>
zweiter Stufe.
In Komponenten gilt:
<math>{{\left( \nabla \cdot T \right)}_{\beta }}:={{\partial }_{\alpha }}{{T}_{\alpha }}_{\beta }</math>

Analog:

<math>\begin{align}
& \bar{E}\times \left( \nabla \times \bar{E} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{E} \right)-\bar{E}\otimes \bar{E} \right\}+\bar{E}\left( \nabla \cdot \bar{E} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{E} \right)-\bar{E}\otimes \bar{E} \right\}+\bar{E}\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
& \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)+\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( {{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}+\frac{1}{{{\mu }_{0}}}{{B}^{2}} \right)-{{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\otimes \bar{E}-\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}=-\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right) \\
\end{align}</math>

Dabei beschreibt

<math>\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right)</math>
den Kraftdichtefluß, der von den Feldern auf  Ströme und Ladungen übertragen wird

Als Bilanzgleichung für den Impulstransport ergibt sich:

<math>\begin{align}
& \frac{\partial }{\partial t}\bar{g}+\nabla \cdot \left( {\bar{\bar{T}}} \right)=-\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right) \\
& \bar{g}:=\left( \bar{D}\times \bar{B} \right) \\
& \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( {{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}+\frac{1}{{{\mu }_{0}}}{{B}^{2}} \right)-{{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\otimes \bar{E}-\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}:=\left( {\bar{\bar{T}}} \right) \\
\end{align}</math>

Dabei ist

<math>\bar{g}:=\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)</math>
die Impulsdichte des Feldes.
Nach Newton gilt:

<math>\begin{align}
& \frac{d}{dt}\bar{p}=\bar{F} \\
& \Rightarrow \frac{d}{dt}\bar{g}=\bar{f} \\
\end{align}</math>

Es ergibt sich

<math>\left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{H} \right)-\bar{E}\otimes \bar{D}-\bar{B}\otimes \bar{H} \right\}:=\left( {\bar{\bar{T}}} \right)</math>

Als der
IMPULSSTROMDICHTE- Tensor des Feldes ( Maxwellscher Spannungstensor)

in Komponenten:

<math>{{T}_{\alpha \beta }}=\left\{ {{\delta }_{\alpha \beta }}\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{H} \right)-{{{\bar{E}}}_{\alpha }}{{{\bar{D}}}_{\beta }}-{{{\bar{B}}}_{\alpha }}{{{\bar{H}}}_{\beta }} \right\}</math>

Dies ist die Stromrichtung der
<math>\beta </math>
- Komponente der Impulsdichte in
<math>\alpha </math>
- Richtung.
Eine Impulsdichte, die in eine feste Richtung weist wird somit entlang einer anderen Richtung transportiert !

<math>tr\left( {\bar{\bar{T}}} \right)={{T}_{\alpha \alpha }}=w</math>
Energiedichte
Außerdem ist T symmetrisch:

<math>{{T}_{\alpha \beta }}={{T}_{\beta \alpha }}</math>

Die komponentenweise Darstellung der Bilanzgleichung

<math>\frac{\partial }{\partial t}{{g}_{\beta }}+\frac{\partial }{\partial {{x}_{\alpha }}}{{T}_{\alpha \beta }}=-{{f}_{\beta }}</math>

beschriebt den Impulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen.

'''Bemerkung:'''
Eine analoge Bilanzgleichung gibt es für die Drehimpulsdichte des Feldes. Sie beschreibt den Drehimpulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen !

=Eichinvarianz=

Die Felder
<math>\bar{E},\bar{B}</math>
werden durch die Potenziale
<math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
dargestellt.:

<math>\begin{align}
& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
\end{align}</math>

Dabei drängt sich die Frage auf, welche die allgemeinste Transformation

<math>\begin{align}
& \Phi \left( \bar{r},t \right)\to \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\
& \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\to \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\
\end{align}</math>

ist, welche die Felder E und B unverändert läßt.

Also:

<math>\begin{align}
& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\
& \Rightarrow \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right)=\bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\nabla G\left( \bar{r},t \right) \\
& \Rightarrow -\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\nabla G\left( \bar{r},t \right) \right) \\
& \Rightarrow \nabla \left( \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}G\left( \bar{r},t \right) \right)=0 \\
& \Rightarrow \left( \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}G\left( \bar{r},t \right) \right)=g(t)(r-unabh\ddot{a}ngig) \\
\end{align}</math>

Mit

<math>\begin{align}
& F\left( \bar{r},t \right):=G\left( \bar{r},t \right)-\int_{to}^{t}{dt\acute{\ }g(t\acute{\ })} \\
& \Rightarrow \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right)=\bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\nabla F\left( \bar{r},t \right) \\
& \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)=\Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}F\left( \bar{r},t \right) \\
\end{align}</math>

mit eine völlig beliebigen Eichfunktion
<math>F\left( \bar{r},t \right)</math>
.
Alle physikalischen Aussagen müssen invariant sein ! Aber nicht nur
<math>\bar{E},\bar{B}</math>
sondern auch
<math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
sind physikalisch relevant.
So muss auch
<math>\oint\limits_{\partial F}{d\bar{s}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\int_{F}^{{}}{d\bar{f}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\Phi \left( \bar{r},t \right)}</math>
erfüllt sein.

Dies ist gewährleistet, wenn die Maxwellgleichungen  erfüllt sind.
Durch

<math>\begin{align}
& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
\end{align}</math>

sind die '''homogenen '''Maxwellgleichungen bereits erfüllt:

<math>\begin{align}
& \nabla \times \bar{E}=-\nabla \times \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
& \nabla \cdot \bar{B}=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=0 \\
\end{align}</math>

Auch die Umkehrung gilt:

<math>\begin{align}
& \nabla \cdot \bar{B}=0 \\
& \Rightarrow \exists \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\Rightarrow \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B} \\
& \nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=-\nabla \times \frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)\Rightarrow \nabla \times \left( \bar{E}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=0 \\
& \Rightarrow \exists \Phi \left( \bar{r},t \right)\Rightarrow \bar{E}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right) \\
\end{align}</math>

Wähle nun eine Eichung derart, dass die inhomogenen Maxwellgleichungen besonders einfach werden

Ziel: Entkopplung der DGLs für
<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right),\Phi \left( \bar{r},t \right)</math>
:

# <u>'''Lorentz- Eichung:'''</u>

<math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=0</math>

Genau dadurch werden die Feldgleichungen entkoppelt:
1)
<math>\begin{align}
& -\nabla \cdot \bar{E}=\nabla \cdot \left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
& \Delta \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
\end{align}</math>

Was mit Hilfe der Lorentzeichung wird zu

<math>\Delta \Phi \left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math>

'''Für A:'''
2)
<math>\begin{align}
& \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\nabla \times \bar{B}-{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}=\bar{j} \\
& \Rightarrow \nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)={{\mu }_{0}}\bar{j} \\
& \nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=+\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
& \Rightarrow \Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right) \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
\end{align}</math>

Was mit der Lorentz- Eichung

<math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=0</math>

wird zu

<math>\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}</math>

Dies kann in Viererschreibweise mit dem dÁlembertschen Operator # mit

<math>\#:=\Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}</math>

zusammengefasst werden:

<math>\begin{align}
& \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
\end{align}</math>

Dies sind die inhomogenen Wellengleichungen für die Potenziale ( entkoppelt mittels Lorentz- Eichung)
Es ergibt sich im SI- System:

<math>\frac{1}{\sqrt{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}:=c=2,994\cdot {{10}^{8}}\frac{m}{s}</math>
als Lichtgeschwindigkeit

Dies ist einfach die ermittelte Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen im Vakuum !

<u>'''Coulomb- Eichung'''</u>

( sogenannte Strahlungseichung):

<math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0</math>

Vergleiche Kapitel 2.3 ( Magnetostatik):
Für

<math>\begin{align}
& \dot{\bar{D}}=0 \\
& \Rightarrow \nabla \times \bar{B}=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A} \right)-\Delta \bar{A}={{\mu }_{0}}\bar{j} \\
\end{align}</math>

(Poissongleichung der Magnetostatik)

<u>'''Zerlegung in longitudinale und transversale Anteile :'''</u>

Allgemein kann man

<math>\bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>

in ein wirbelfreies Longitudinalfeld:

<math>{{\bar{E}}_{l}}:=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)</math>

und ein quellenfreies Transversalfeld

<math>{{\bar{E}}_{t}}=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>

zerlegen.

Tatsächlich gilt:

<math>\nabla \times {{\bar{E}}_{l}}:=-\nabla \times \left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right) \right)=0</math>

<math>\nabla \cdot {{\bar{E}}_{t}}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0</math>

Da
<math>\bar{B}</math>
quellenfrei ist, ist B auch immer transversal:

<math>\nabla \cdot \bar{B}:=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{A} \right)=0</math>

Also:

<math>\Phi \left( \bar{r},t \right)</math>
ergibt die longitudinalen Felder und

<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
die transversalen Felder.

Merke: Felder , die Rotation eines Vektorfeldes sind ( Vektorpotenzials) sind grundsätzlich transversaler Natur. (Divergenz verschwindet). Divergenzfelder ( als Gradienten eines Skalars) sind immer longitudinal ! ( Rotation verschwindet).

<u>'''Zerlegung der Stromdichte:'''</u>

<math>\bar{j}={{\bar{j}}_{l}}+{{\bar{j}}_{t}}</math>

mit

<math>\nabla \times {{\bar{j}}_{l}}=0</math>

<math>\nabla \cdot {{\bar{j}}_{t}}=0</math>

Mit

<math>\begin{align}
& \frac{\partial }{\partial t}\rho +\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{l}}+\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{t}}=0 \\
& \rho ={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {{{\bar{E}}}_{l}} \\
& \nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{t}}=0 \\
& \Rightarrow \nabla \cdot \left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=0 \\
\end{align}</math>

Außerdem gilt nach der Definition von longitudinal:

<math>\nabla \times \left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=0</math>

Also:

<math>\left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=const</math>

Da beide Felder aber für r-> 0 verschwinden folgt:

<math>\left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=0</math>

Also:

<math>{{\bar{j}}_{l}}={{\varepsilon }_{0}}\nabla \frac{\partial \Phi }{\partial t}</math>

Also:
Die Feldgleichungen

<math>\begin{align}
& \Delta \Phi +\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
& \nabla \cdot \bar{A}=0 \\
& \Rightarrow \Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
\end{align}</math>

und

<math>\begin{align}
& \Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right) \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
& \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0 \\
& \nabla {{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)={{{\bar{j}}}_{l}} \\
\end{align}</math>

erhalten dann die Form:

<math>\Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math>

und

<math>\begin{align}
& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}{{{\bar{j}}}_{t}} \\
&  \\
\end{align}</math>

In der Coulomb- Eichung !
Also.

<math>\Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
: longitudinale Felder entsprechend der Elektrostatik

<math>\#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}{{\bar{j}}_{t}}</math>
als transversale Felder entsprechend elektromagnetischen Wellen.

Das bedeutet : Die Coulombeichung ist zweckmäßig bei Strahlungsproblemen !

Sie liefert eine Poissongleichung für
<math>\Phi </math>
und eine Wellengleichung für
<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
.