Latest revision |
Your text |
Line 47: |
Line 47: |
| Es handelt sich um 2 DGLn 1. Ordnung für q und p statt 1 DGL 2. Ordnung für q(t) | | Es handelt sich um 2 DGLn 1. Ordnung für q und p statt 1 DGL 2. Ordnung für q(t) |
|
| |
|
| ====Mehrere Variablen====
| | Kncoked my socks off with knowledge! |
|
| |
|
| | 8jx25t <a href="http://iwfyfsjyloiw.com/">iwfyfsjyloiw</a> |
|
| |
|
| :<math>\begin{align}
| | mQTOij , [url=http://xclhtveaemfi.com/]xclhtveaemfi[/url], [link=http://gbamrjvfxbzc.com/]gbamrjvfxbzc[/link], http://tqkiiyymudse.com/ |
| & L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}},t) \\
| |
| & {{p}_{k}}:=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}} \\
| |
| & H({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{p}_{1}},...,{{p}_{f}},t)=\sum\limits_{k=1}^{f}{{{{\dot{q}}}_{k}}{{p}_{k}}-L} \\
| |
| & \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| | |
| | |
| :<math>\begin{align}
| |
| & dH=\sum\limits_{k}{{}}\left( \frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}}d{{q}_{k}}+\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}d{{p}_{k}} \right)+\frac{\partial H}{\partial t}dt=\sum\limits_{k}{{{{\dot{q}}}_{k}}d{{p}_{k}}}+\sum\limits_{k}{{{p}_{k}}d{{{\dot{q}}}_{k}}}-\sum\limits_{k}{\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}d{{{\dot{q}}}_{k}}}-\sum\limits_{k}{\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}d{{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial t}dt} \\
| |
| & =\sum\limits_{k}{{{{\dot{q}}}_{k}}d{{p}_{k}}}-\sum\limits_{k}{\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}d{{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial t}dt} \\
| |
| & \Rightarrow \frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}}=-\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}} \\
| |
| & \frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=\frac{d}{dt}{{p}_{k}} \\
| |
| & \frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}={{{\dot{q}}}_{k}};\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| | |
| Somit folgen hier die Hamiltonschen Gleichungen (Kanonische Gleichungen)
| |
| | |
| | |
| :<math>\begin{align}
| |
| & {{{\dot{p}}}_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \\
| |
| & \frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}={{{\dot{q}}}_{k}}\quad k=1,...,f \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| | |
| Der 2f- dimensionale Raum
| |
| | |
| | |
| :<math>\Gamma :=\left\{ {{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}} \right\}</math>
| |
| | |
| | |
| heißt Phasenraum.
| |
| | |
| Er findet besonders in der klassischen statistischen Mechanik Anwendung. Dabei b4trachtet man Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf dem Phasenraum.
| |
| | |
| ====Physikalische Bedeutung der Ham- Funktion====
| |
| | |
| * wegen L= T-V bei holonomen Zwangsbed. und konservativen Kräften
| |
| * und wegen p(d/dt q)= 2T folgt: H = T+V
| |
| | |
| Dies gilt bei zeitlicher Translationsinvarianz (skleronome Zwangsbed.):
| |
| | |
| mit
| |
| :<math>\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})=0und\frac{\partial }{\partial t}L=0</math>
| |
| | |
| | |
| Dann nämlich ist
| |
| | |
| | |
| :<math>\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{\dot{q}}_{k}}=2T</math> | |
| (nach dem Eulerschen Satz: T ist quadratische, homogene Funktion der
| |
| :<math>{{\dot{q}}_{k}}</math>.
| |
| | |
| | |
| Somit:
| |
| | |
| | |
| :<math>\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{\dot{q}}_{k}}-L=\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{\dot{q}}_{k}}-L=2T-T+V=T+V</math>
| |
| | |
| | |
| beschreibt die Gesamtenergie des Systems: Nur bei skleronomen Zwangsbedingungen und konservativen Kräften!
| |
| | |
| Nach dem Noether- Theorem, speziell unter dem Kapitel ZEITLICHE TRanslationsinvarianz
| |
| | |
| folgt dann Gesamtenergieerhaltung.
| |
| | |
| Dies läßt sich leicht nachweisen:
| |
| | |
| | |
| :<math>\begin{align}
| |
| & \frac{dH}{dt}=\frac{d}{dt}\left( \sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}-L \right)=\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left( \frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}{{{\dot{p}}}_{k}} \right)+\frac{\partial H}{\partial t}=\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left( \frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \right)-\frac{\partial L}{\partial t}=0 \\
| |
| & wegen\frac{\partial L}{\partial t}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| Dies gilt also nur für skleronome Zwangsbedingungen. Bei rheonomen Zwangsbed. ist im Allgemeinen H nicht T+V!!
| |
| | |
| =====Beispiel: Perle an starrem rotierendem Draht:=====
| |
| | |
| Eine Perle der Masse m sei auf einem starren Draht, der in der -y- Ebene rotiert (Reibung durch Erdpotenzial zu vernachlässigen): Generalisierte Koordinaten q ist der Abstand der Perle vom Mittelpunkt:
| |
| | |
|
| |
| | |
| Man kann sich H=T+V denken. Dabei gilt das effektive Potenzial mit
| |
| :<math>V=-m{{q}^{2}}{{\omega }^{2}}</math>. | |
| | |
| | |
| Aus
| |
| :<math>\frac{\partial L}{\partial t}=0</math>
| |
| folgt dann ohnehin wieder ein Erhaltungssatz: H=const.
| |
| | |
| ====Typisches Anwendungsschema des Hamilton- Formalismus:====
| |
| | |
| # Zunächst sind die generalisierten Koordinaten zu wählen:
| |
| :<math>\bar{q}=({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})</math>
| |
| | |
| # Transformation des Radiusvektors
| |
| :<math>\begin{align}
| |
| & {{{\bar{r}}}_{i}}={{{\bar{r}}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t) \\
| |
| & {{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}={{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}(\bar{q},\dot{\bar{q}},t) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| # Aufstellung der Lagrangegleichung:
| |
| :<math>L(\bar{q},\dot{\bar{q}},t)=T-V=\frac{1}{2}m\sum\limits_{i}{{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}}-V</math>
| |
| | |
| # Bestimmung der generalisierten Impulse:
| |
| :<math>\begin{align}
| |
| & {{p}_{k}}:=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\Rightarrow {{p}_{k}}={{p}_{k}}(\bar{q},\dot{\bar{q}},t) \\
| |
| & Umkehrung:{{{\dot{q}}}_{k}}={{{\dot{q}}}_{k}}(\bar{q},\bar{p},t) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| # Anschließend Legendre Trafo:
| |
| :<math>H({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{p}_{1}},...,{{p}_{f}},t)=\sum\limits_{k=1}^{f}{{{{\dot{q}}}_{k}}{{p}_{k}}-L}</math>
| |
| | |
| # Aufstellung und Integration der kanonischen Gleichungen:
| |
| :<math>\begin{align}
| |
| & {{{\dot{p}}}_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \\
| |
| & \frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}={{{\dot{q}}}_{k}}\quad k=1,...,f \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
|
| |
|
| ====Beispiele:==== | | ====Beispiele:==== |
Line 237: |
Line 119: |
| oBdA: ebene Bewegung, Drehimpulserhaltung in der Ebene | | oBdA: ebene Bewegung, Drehimpulserhaltung in der Ebene |
|
| |
|
| ======Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:======
| | None can doubt the veracity of this arictle. |
| | |
|
| |
| | |
| Das System ist skleronom wegen
| |
| :<math>\frac{\partial L}{\partial t}=0</math>,
| |
| also folgt Energieerhaltung: E=H=T+V
| |
| | |
| | |
| :<math>\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{q}}}^{2}}+{{\omega }_{o}}^{2}{{q}^{2}} \right)=E=\frac{1}{2}m\left( \frac{{{p}^{2}}}{{{m}^{2}}}+{{\omega }_{o}}^{2}{{q}^{2}} \right)\Rightarrow \frac{{{p}^{2}}}{2mE}+\frac{{{q}^{2}}}{\left( \frac{2E}{m{{\omega }_{o}}^{2}} \right)}=1</math>
| |
| | |
| | |
| Also ist die Lösung der Phasenraumkurve eine Ellipse. Die Ellipsengröße variiert je nach Energie:
| |
| | |
| Die Halbachsen sind:
| |
| | |
| | |
| :<math>a=\sqrt{2mE},b=\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }_{o}}^{2}}}</math>
| |
| (bestimmt durch 1. Integral).
| |
| | |
| Als kanonische Gleichungen ergibt sich:
| |
| | |
| | |
| :<math>\begin{align}
| |
| & {{{\dot{p}}}_{{}}}=-\frac{\partial H}{\partial q}=-m{{\omega }_{o}}^{2}q \\
| |
| & \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| | |
| Daraus folgt dann gerade die Bewegungsgleichung
| |
| :<math>\begin{align}
| |
| & \ddot{q}=\frac{d}{dt}\frac{\partial H}{\partial q}=\frac{{\dot{p}}}{\acute{\ }m}=-{{\omega }_{o}}^{2}q \\
| |
| & \ddot{q}+{{\omega }_{o}}^{2}q=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| | |
| Diese definiert ein Richtungsfeld im Phasenraum
| |
|
| |
|
| ====Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld:==== | | ====Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld:==== |