Editing Die Hamiltonschen Gleichungen

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|4|2}}</noinclude>
Ziel: Auch hier natürlich sollen Bewegungsgleichungen für die 
:<math>{{p}_{k}},{{q}_{k}}</math>
gefunden werden.

Die Ableitung einer Bewegungsgleichung für 
:<math>{{q}_{k}}</math>
aus der Lagrangegleichung 2. Art ist bereits bekannt:

====Eine Variable:====

Differenziale:


:<math>\begin{align}
  & L=L(q,\dot{q},t):dL=\frac{\partial L}{\partial q}dq+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}d\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial t}dt \\ 
 & H=H(q,p,t):dH=\frac{\partial H}{\partial q}dq+\frac{\partial H}{\partial p}dp+\frac{\partial H}{\partial t}dt \\ 
 & H=\dot{q}p-L\Rightarrow dH=\dot{q}dp+pd\dot{q}-dL=\dot{q}dp+pd\dot{q}-\frac{\partial L}{\partial q}dq-\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}d\dot{q}-\frac{\partial L}{\partial t}dt \\ 
\end{align}</math> wegen <math>\begin{align}
  & \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=p \\ 
 & \Rightarrow dH=\frac{\partial H}{\partial q}dq+\frac{\partial H}{\partial p}dp+\frac{\partial H}{\partial t}dt=\dot{q}dp-\frac{\partial L}{\partial q}dq-\frac{\partial L}{\partial t}dt \\ 
\end{align}</math>


Dies gilt fuer beliebige Differenziale in q, p und t. Somit kann die Gleichung nur erfüllt werden für


:<math>\begin{align}
  & \frac{\partial H}{\partial q}=-\frac{\partial L}{\partial q} \\ 
 & \frac{\partial H}{\partial p}=\dot{q} \\ 
 & \frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t} \\ 
\end{align}</math>


Mit Hilfe der Lagrange Bewegungsgleichung


:<math>\begin{align}
  & \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=\frac{\partial L}{\partial q};\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=p;\frac{\partial L}{\partial q}=-\frac{\partial H}{\partial q} \\ 
 & \Rightarrow \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q} \\ 
 & \frac{\partial H}{\partial p}=\dot{q} \\ 
\end{align}</math>


Die Hamiltonschen Gleichungen sind also beide gefunden.

Es handelt sich um 2 DGLn 1. Ordnung für q und p statt 1 DGL 2. Ordnung für q(t)

====Mehrere Variablen====


:<math>\begin{align}
  & L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}},t) \\ 
 & {{p}_{k}}:=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}} \\ 
 & H({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{p}_{1}},...,{{p}_{f}},t)=\sum\limits_{k=1}^{f}{{{{\dot{q}}}_{k}}{{p}_{k}}-L} \\ 
 &  \\ 
\end{align}</math>



:<math>\begin{align}
  & dH=\sum\limits_{k}{{}}\left( \frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}}d{{q}_{k}}+\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}d{{p}_{k}} \right)+\frac{\partial H}{\partial t}dt=\sum\limits_{k}{{{{\dot{q}}}_{k}}d{{p}_{k}}}+\sum\limits_{k}{{{p}_{k}}d{{{\dot{q}}}_{k}}}-\sum\limits_{k}{\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}d{{{\dot{q}}}_{k}}}-\sum\limits_{k}{\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}d{{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial t}dt} \\ 
 &  =\sum\limits_{k}{{{{\dot{q}}}_{k}}d{{p}_{k}}}-\sum\limits_{k}{\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}d{{q}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial t}dt} \\ 
 & \Rightarrow \frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}}=-\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}} \\ 
 & \frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=\frac{d}{dt}{{p}_{k}} \\ 
 & \frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}={{{\dot{q}}}_{k}};\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial L}{\partial t} \\ 
\end{align}</math>


Somit folgen hier die Hamiltonschen Gleichungen (Kanonische Gleichungen)


:<math>\begin{align}
  & {{{\dot{p}}}_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \\ 
 & \frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}={{{\dot{q}}}_{k}}\quad k=1,...,f \\ 
\end{align}</math>


Der 2f- dimensionale Raum


:<math>\Gamma :=\left\{ {{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}} \right\}</math>


heißt Phasenraum.

Er findet besonders in der klassischen statistischen Mechanik Anwendung. Dabei b4trachtet man Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf dem Phasenraum.

====Physikalische Bedeutung der Ham- Funktion====

* wegen L= T-V bei holonomen Zwangsbed. und konservativen Kräften
* und wegen p(d/dt q)= 2T folgt:  H = T+V

Dies gilt bei zeitlicher Translationsinvarianz (skleronome Zwangsbed.):

mit
:<math>\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})=0und\frac{\partial }{\partial t}L=0</math>


Dann nämlich ist


:<math>\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{\dot{q}}_{k}}=2T</math>
  (nach dem Eulerschen Satz: T ist quadratische, homogene Funktion der 
:<math>{{\dot{q}}_{k}}</math>.


Somit:


:<math>\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{\dot{q}}_{k}}-L=\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{\dot{q}}_{k}}-L=2T-T+V=T+V</math>


beschreibt die Gesamtenergie des Systems: Nur bei skleronomen Zwangsbedingungen und konservativen Kräften!

Nach dem Noether- Theorem, speziell unter dem Kapitel ZEITLICHE TRanslationsinvarianz

folgt dann Gesamtenergieerhaltung.

Dies läßt sich leicht nachweisen:


:<math>\begin{align}
  & \frac{dH}{dt}=\frac{d}{dt}\left( \sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}-L \right)=\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left( \frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}{{{\dot{p}}}_{k}} \right)+\frac{\partial H}{\partial t}=\sum\limits_{k=1}^{f}{{}}\left( \frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \right)-\frac{\partial L}{\partial t}=0 \\ 
 & wegen\frac{\partial L}{\partial t}=0 \\ 
\end{align}</math>
Dies gilt also nur für skleronome Zwangsbedingungen. Bei rheonomen Zwangsbed. ist im Allgemeinen H nicht T+V!!

=====Beispiel: Perle an starrem rotierendem Draht:=====

Eine Perle der Masse m sei auf einem starren Draht, der in der -y- Ebene rotiert (Reibung durch Erdpotenzial zu vernachlässigen): Generalisierte Koordinaten q ist der Abstand der Perle vom Mittelpunkt:

 

Man kann sich H=T+V denken. Dabei gilt das effektive Potenzial mit 
:<math>V=-m{{q}^{2}}{{\omega }^{2}}</math>.


Aus 
:<math>\frac{\partial L}{\partial t}=0</math>
folgt dann ohnehin wieder ein Erhaltungssatz: H=const.

====Typisches Anwendungsschema des Hamilton- Formalismus:====

# Zunächst sind die generalisierten Koordinaten zu wählen: 
:<math>\bar{q}=({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})</math>

# Transformation des Radiusvektors 
:<math>\begin{align}
  & {{{\bar{r}}}_{i}}={{{\bar{r}}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t) \\ 
 & {{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}={{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}(\bar{q},\dot{\bar{q}},t) \\ 
\end{align}</math>

# Aufstellung der Lagrangegleichung: 
:<math>L(\bar{q},\dot{\bar{q}},t)=T-V=\frac{1}{2}m\sum\limits_{i}{{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}}-V</math>

# Bestimmung der generalisierten Impulse: 
:<math>\begin{align}
  & {{p}_{k}}:=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\Rightarrow {{p}_{k}}={{p}_{k}}(\bar{q},\dot{\bar{q}},t) \\ 
 & Umkehrung:{{{\dot{q}}}_{k}}={{{\dot{q}}}_{k}}(\bar{q},\bar{p},t) \\ 
\end{align}</math>

# Anschließend Legendre Trafo: 
:<math>H({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{p}_{1}},...,{{p}_{f}},t)=\sum\limits_{k=1}^{f}{{{{\dot{q}}}_{k}}{{p}_{k}}-L}</math>

# Aufstellung und Integration der kanonischen Gleichungen: 
:<math>\begin{align}
  & {{{\dot{p}}}_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \\ 
 & \frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}={{{\dot{q}}}_{k}}\quad k=1,...,f \\ 
\end{align}</math>


====Beispiele:====

=====Teilchen in Zylinderkoordinaten ganz ohne Zwnagsbedingungen=====

# q1=3, q2=Phi, q3 = z
# 
:<math>\begin{align}
  & x=r\cos \phi ,\dot{x}=\dot{r}\cos \phi -r\dot{\phi }\sin \phi  \\ 
 & y=r\sin \phi ,\dot{y}=\dot{r}\sin \phi +r\dot{\phi }\cos \phi  \\ 
 & z=z \\ 
\end{align}</math>

# 
:<math>\begin{align}
  & T=\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{y}}}^{2}}+{{{\dot{z}}}^{2}} \right)=\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}}+{{{\dot{z}}}^{2}} \right) \\ 
 & V=V(r,\phi ,z) \\ 
 & L=L(r,\phi ,z,\dot{r},\dot{\phi },\dot{z})=\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}}+{{{\dot{z}}}^{2}} \right)-V \\ 
\end{align}</math>

# Generalisierte Impulse: 
:<math>\begin{align}
  & {{p}_{k}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}} \\ 
 & {{p}_{r}}=m\dot{r} \\ 
 & {{p}_{\phi }}=m{{r}^{2}}\dot{\phi } \\ 
 & {{p}_{z}}=m\dot{z} \\ 
\end{align}</math>
                                                                                             Radialimpuls, z-Komponente des Drehimpulses und z-Komponente des Impulses
# Aufstellung der Legendretrafo: 
:<math>\begin{align}
  & H=m{{{\dot{r}}}^{2}}+m{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}}+m{{{\dot{z}}}^{2}}=\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}}+{{{\dot{z}}}^{2}} \right)+V \\ 
 & H=\frac{1}{2m}\left( {{p}_{r}}^{2}+\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{{{r}^{2}}}+{{p}_{z}}^{2} \right)+V(r,\phi ,z) \\ 
\end{align}</math>

# Kanonische Gleichungen: 
:<math>\begin{align}
  & {{{\dot{p}}}_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \\ 
 & \frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}={{{\dot{q}}}_{k}}\quad k=1,...,f \\ 
 & \dot{r}=\frac{\partial H}{\partial {{p}_{r}}}=\frac{{{p}_{r}}}{m},\dot{\phi }=\frac{\partial H}{\partial {{p}_{\phi }}}=\frac{{{p}_{\phi }}}{m{{r}^{2}}},\dot{z}=\frac{\partial H}{\partial {{p}_{z}}}=\frac{{{p}_{z}}}{m} \\ 
 & {{{\dot{p}}}_{r}}=-\frac{\partial H}{\partial r}=\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{m{{r}^{3}}}-\frac{\partial V}{\partial r},{{{\dot{p}}}_{\phi }}=-\frac{\partial H}{\partial \phi }=-\frac{\partial V}{\partial \phi },{{{\dot{p}}}_{z}}=-\frac{\partial H}{\partial z}=-\frac{\partial V}{\partial z} \\ 
\end{align}</math>

Interessant ist das Ergebnis der Zentrifugalkraft (Scheinkraft):

F(Zentrifugal)=
:<math>\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{m{{r}^{3}}}</math>,
 die den radialen Impuls ändert.

Bekannt aus dem Keplerproblem ist uns bereits der Fall V®, ein Zentralpotenzial bei ebener Bewegung:


:<math>{{\dot{p}}_{r}}=-\frac{\partial H}{\partial r}=\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{m{{r}^{3}}}-\frac{\partial V}{\partial r},{{\dot{p}}_{\phi }}=0,{{\dot{p}}_{z}}=0</math>


Somit sind Drehimpuls in der Ebene und z-Impuls des Systems erhalten.


:<math>z,\phi </math>
sind zyklische Variablen


:<math>\begin{align}
  & {{p}_{z}}=const.=o.B.d.A.=0 \\ 
 & {{p}_{\phi }}=const. \\ 
\end{align}</math>
oBdA: ebene Bewegung, Drehimpulserhaltung in der Ebene

======Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:======

 

Das System ist skleronom wegen 
:<math>\frac{\partial L}{\partial t}=0</math>,
 also folgt Energieerhaltung:  E=H=T+V


:<math>\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{q}}}^{2}}+{{\omega }_{o}}^{2}{{q}^{2}} \right)=E=\frac{1}{2}m\left( \frac{{{p}^{2}}}{{{m}^{2}}}+{{\omega }_{o}}^{2}{{q}^{2}} \right)\Rightarrow \frac{{{p}^{2}}}{2mE}+\frac{{{q}^{2}}}{\left( \frac{2E}{m{{\omega }_{o}}^{2}} \right)}=1</math>


Also ist die Lösung der Phasenraumkurve eine Ellipse. Die Ellipsengröße variiert je nach Energie:

Die Halbachsen sind:


:<math>a=\sqrt{2mE},b=\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }_{o}}^{2}}}</math>
(bestimmt durch 1. Integral).

Als kanonische Gleichungen ergibt sich:


:<math>\begin{align}
  & {{{\dot{p}}}_{{}}}=-\frac{\partial H}{\partial q}=-m{{\omega }_{o}}^{2}q \\ 
 & \dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{p}{m} \\ 
\end{align}</math>


Daraus folgt dann gerade die Bewegungsgleichung 
:<math>\begin{align}
  & \ddot{q}=\frac{d}{dt}\frac{\partial H}{\partial q}=\frac{{\dot{p}}}{\acute{\ }m}=-{{\omega }_{o}}^{2}q \\ 
 & \ddot{q}+{{\omega }_{o}}^{2}q=0 \\ 
\end{align}</math>


Diese definiert ein Richtungsfeld im Phasenraum

====Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld:====

Aus dem Kapitel Eichtransformation der Lagrangefunktion ist das nötige Handwerkszeugs bereits bekannt:


:<math>L(\bar{q},\dot{\bar{q}},t)=T-V=\frac{1}{2}m\sum\limits_{i}{{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}}-V=\frac{m}{2}{{\dot{\bar{q}}}^{2}}+e\left( \dot{\bar{q}}\cdot \bar{A}(\bar{q},t)-\Phi (\bar{q},t) \right)</math>


die kanonischen konjugierten Impulse lauten:


:<math>\begin{align}
  & {{p}_{k}}=\frac{\partial L(\bar{q},\dot{\bar{q}},t)}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{\dot{q}}}_{\acute{\ }k}}+e{{A}_{k}}(\bar{q},t) \\ 
 & \Rightarrow {{{\dot{q}}}_{k}}=\frac{1}{m}\left( {{p}_{k}}-e{{A}_{k}} \right) \\ 
 &  H=\sum\limits_{k=1}^{3}{{{p}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}-L=\sum\limits_{k=1}^{3}{{{p}_{k}}}\frac{1}{m}\left( {{p}_{k}}-e{{A}_{k}} \right)-\frac{1}{2m}\sum\limits_{k=1}^{3}{{}}{{\left( {{p}_{k}}-e{{A}_{k}} \right)}^{2}}-\sum\limits_{k=1}^{3}{{}}\frac{e}{m}\left( {{p}_{k}}-e{{A}_{k}} \right){{A}_{k}}+e\Phi  \\ 
 & H\left( \bar{q},\bar{p},t \right)=\frac{1}{2m}{{\left( {{{\bar{p}}}_{{}}}-e\bar{A}{{(\bar{q},t)}_{{}}} \right)}^{2}}+e\Phi (\bar{q},t) \\ 
\end{align}</math>


'''Dabei begegnen uns die feinen Unterschiede im Impuls, nämlich'''


:<math>m\dot{\bar{q}}=\bar{p}-e\bar{A}</math>
als kinetischer Impuls (der auch tatsächlich mit der Geschwindigkeit verknüpft ist).


:<math>{{p}_{k}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}</math>
ist kanonischer Impuls