Editing Die Hamilton-Jacobi-Theorie

==Die Hamilton- Jacobi- Theorie:==

Strategie: Suche eine kanonische Trafo, die alle Koordinaten zu zyklischen macht.

===Hamilton-Jacobische Differenzialgleichung===

Der einfachste Fall, bei dem alle Koordinaten zyklisch sind:


<math>\bar{H}\equiv 0</math>


Allgemeiner wähle man speziell als Erzeugende der kanonischen Trafo:


<math>{{M}_{2}}(\bar{q},\bar{P},t)=:S</math>


dann suchen wir die folgende Trafo:


<math>\begin{align}
  & (\bar{q},\bar{p})\to \left( \bar{Q},\bar{P} \right) \\ 
 & H(\bar{q},\bar{p},t)\to \bar{H}\left( \bar{Q},\bar{P} \right)=H+\frac{\partial S}{\partial t} \\ 
\end{align}</math>


mit


<math>\begin{align}
  & {{p}_{k}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{k}}} \\ 
 & {{Q}_{k}}=\frac{\partial S}{\partial {{P}_{k}}} \\ 
\end{align}</math>


So dass:


<math>\bar{H}\left( \bar{Q},\bar{P} \right)=H\left( {{q}_{1}},...,{{q}_{f}},\frac{\partial S}{\partial {{q}_{1}}},...,\frac{\partial S}{\partial {{q}_{f}}},t \right)+\frac{\partial S}{\partial t}=0</math>


Dies ist eine Differenzialgleichung zur Bestimmung von S und der Koordinaten P und Q, die so genannte

<u>'''Hamilton- Jacobi- Differenzialgleichung.'''</u>

Eine nichtlineare partielle Differenzialgleichung erster Ordnung für 
<math>\begin{align}
  & S(\bar{q},\bar{\alpha },t) \\ 
 & {{\alpha }_{k}}={{P}_{k}}=const. \\ 
\end{align}</math>


Also haben wir nur Abhängigkeit von f+1 Variablen: 
<math>\bar{q},t</math>


'''Die kanonischen Gleichungen lauten:'''


<math>\begin{align}
  & {{{\dot{P}}}_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial {{Q}_{k}}}\equiv 0\Rightarrow {{P}_{k}}={{\alpha }_{k}}=cons \\ 
 & {{{\dot{Q}}}_{k}}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{P}_{k}}}\equiv 0\Rightarrow {{Q}_{k}}={{\beta }_{k}}=const \\ 
\end{align}</math>


====Lösungsschema für die Hamilton- Jacobi DGL:====

# 
<math>\begin{align}
  & H(\bar{q},\bar{p},t) \\ 
 & {{p}_{k}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{k}}} \\ 
 & H(\bar{q},\frac{\partial S}{\partial \bar{q}},t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0\quad Ham.Jac.DGL \\ 
\end{align}</math>

# Lösung der Ham- Jacobi-DGL: 
<math>\begin{align}
  & S(\bar{q},\bar{\alpha },t) \\ 
 & {{\alpha }_{k}}={{P}_{k}}=const. \\ 
\end{align}</math>

# Aus der Erzeugenden 
<math>S(\bar{q},\bar{\alpha },t)</math>
folgt:


<math>{{Q}_{k}}=\frac{\partial S(\bar{q},\bar{\alpha },t)}{\partial {{\alpha }_{k}}}={{\beta }_{k}}</math>


mit der implizierten Umkehrung:


<math>{{q}_{j}}={{q}_{j}}(\bar{\alpha },\bar{\beta },t)</math>


möglich wegen


<math>\det \frac{{{\partial }^{2}}S(\bar{q},\bar{\alpha },t)}{\partial {{\alpha }_{k}}\partial {{q}_{l}}}\ne 0</math>


Somit ergeben sich f Gleichungen für q1,...qf

4. 
<math>{{p}_{j}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{j}}}={{p}_{j}}\left( \bar{q},\bar{\alpha },t \right)={{p}_{j}}\left( \bar{q}(\bar{\alpha },\bar{\beta }),\bar{\alpha },t \right)</math>


5. Bestimmung von 
<math>\bar{\alpha },\bar{\beta }</math>
aus den Anfangsbedingungen:

In drei (3.): 
<math>{{q}_{j}}(0)={{q}_{j}}(\bar{\alpha },\bar{\beta },0)</math>


In vier ( 4.): 
<math>{{p}_{j}}(0)={{p}_{j}}\left( \bar{\alpha },\bar{\beta },0 \right)</math>



<math>\begin{align}
  & \Rightarrow \bar{\alpha }(\bar{q}(0),\bar{p}(0)) \\ 
 & \bar{\beta }(\bar{q}(0),\bar{p}(0)) \\ 
\end{align}</math>


Nach Gleichungen 3) und 4) ist damit 
<math>{{q}_{j}}(t)</math>
und 
<math>{{p}_{j}}(t)</math>
bestimmt

====Physikalische Bedeutung von S:====


<math>\begin{align}
  & \frac{dS}{dt}=\sum\limits_{j}{{}}\frac{\partial S}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}}+\frac{\partial S}{\partial t}=\sum\limits_{j}{{}}{{p}_{j}}{{{\dot{q}}}_{j}}+\frac{\partial S}{\partial t} \\ 
 & \frac{\partial S}{\partial t}=\bar{H}-H=-H \\ 
 & \frac{dS}{dt}=\sum\limits_{j}{{}}{{p}_{j}}{{{\dot{q}}}_{j}}-H=L \\ 
 & \Rightarrow S=\int{Ldt} \\ 
\end{align}</math>


S kann somit als Wirkungsfunktional interpretiert werden.

====Beispiel: 1 dim Oszi====

1. 
<math>\begin{align}
  & H=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}} \\ 
 & S(q,P,t) \\ 
\end{align}</math>


H als Hamiltonfunktion und S als Erzeugende der kanonischen Trafo mit 
<math>\frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q}=p</math>


Hamilton- Jacobi DGL:


<math>\frac{1}{2m}\left( \frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q} \right)+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}+\frac{\partial S}{\partial t}=0</math>


2. Lösungsansatz:


<math>S(q,P,t)=W(q;P)+V(t;P)</math>


Dies ist als Separationsansatz nach q und t zu interpretieren. P ist ein Parameter


<math>\frac{1}{2m}{{\left( \frac{dW}{dq} \right)}^{2}}+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}=-\frac{dV}{dt}</math>


Dabei ist die linke Seite unabhängig von t und die rechte unabhängig von q. Die Lösung kann also nur dann für alle t und q übereinstimmen, wenn:


<math>\frac{1}{2m}{{\left( \frac{dW}{dq} \right)}^{2}}+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}=-\frac{dV}{dt}=\alpha \equiv const</math>



<math>V(t)=-\alpha t+{{V}_{0}}</math>


Es folgt:


<math>\begin{align}
  & {{\left( \frac{dW}{dq} \right)}^{2}}={{m}^{2}}{{\omega }^{2}}\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right) \\ 
 & W=m\omega \int{dq}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)} \\ 
\end{align}</math>


Also:


<math>S(q,\alpha ,t)=m\omega \int{dq}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}-\alpha t+{{V}_{0}}</math>


Da Potenziale um skalare Faktoren verschoben werden können:


<math>S(q,\alpha ,t)=m\omega \int{dq}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}-\alpha t=-\alpha t+m\omega \left[ \frac{q}{2}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}+\frac{\alpha }{m{{\omega }^{2}}}\arcsin \left( q\sqrt{\frac{m{{\omega }^{2}}}{2\left| \alpha  \right|}} \right) \right]</math>
3. 
<math>\begin{align}
  & Q=\left( \frac{\partial S(q,P,t)}{\partial \alpha } \right)=-t+\frac{1}{\omega }\int{dq}{{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}=\beta  \\ 
 & Q=\beta =-t+\frac{1}{\omega }\arcsin \left( q\sqrt{\frac{m{{\omega }^{2}}}{2\left| \alpha  \right|}} \right) \\ 
 & \Rightarrow q=\frac{1}{\omega }\sqrt{\frac{2\alpha }{m}}\sin \left( \omega (t+\beta ) \right) \\ 
\end{align}</math>


Mit der Nebenbedingung, dass Q=to ( Dimension: Zeit) !

4. 
<math>p=\left( \frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q} \right)=\frac{dW}{dq}=m\omega \sqrt{\frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}=\sqrt{2\alpha m}\cos \left( \omega (t+\beta ) \right)</math>


5. Anfangsbedingungen:  t=0: p(0)=0, q(0)=q0 ungleich 0 !


<math>p(0)=0,q(0)={{q}_{0}}\ne 0</math>



<math>\begin{align}
  & \Rightarrow {{q}_{0}}=\frac{1}{\omega }\sqrt{\frac{2\alpha }{m}}\sin \left( \omega (\beta ) \right) \\ 
 & 0={{p}_{0}}=\sqrt{2\alpha m}\cos \left( \omega (\beta ) \right) \\ 
 & \Rightarrow \beta =\frac{\pi }{2\omega }\Rightarrow {{q}_{0}}=\sqrt{\frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}} \\ 
 & \Rightarrow \alpha =\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}_{0}}^{2}=E \\ 
\end{align}</math>


Alpha beschreibt also die Gesamtenergie. Physikalisch sinnvoll, da zu dieser Zeit nur potenzielle Energie vorhanden ist.

Also:  P=E  ( Energie)  , Q= to ( Zeit) -> Energie und Zeit als neue verallgemeinerte Koordinaten bei der Transformation, die durch 
<math>S(q,P,t)</math>
erzeugt wird.

'''Spezialfall:'''

Nicht explizit zeitabhängige Hamiltonfunktion H


<math>\frac{\partial H}{\partial t}=0\Leftrightarrow \frac{dH}{dt}=\left\{ H,H \right\}=0</math>
H ist dann Integral der Bewegung

Hamilton- Jacobi DGL:


<math>H(\bar{q},\frac{\partial S}{\partial {{q}_{1}}},...,\frac{\partial S}{\partial {{q}_{f}}})+\frac{\partial S}{\partial t}=0</math>


Lösungsansatz:


<math>S(\bar{q},\bar{P},t)=W(\bar{q};\bar{P})-Et</math>


Somit folgt:


<math>H(\bar{q},\frac{\partial W}{\partial {{q}_{1}}},...,\frac{\partial W}{\partial {{q}_{f}}})=E</math>
Energie bei skleronomen Zwangsbedingungen


<math>W(\bar{q};\bar{P})</math>
heißt verkürztes Wirkungsfunktional

Dieses kann auch als Erzeugende einer kanonischen Trafo ( im engeren Sinn) aufgefasst werden:


<math>\begin{align}
  & {{p}_{j}}=\frac{\partial W}{\partial {{q}_{j}}} \\ 
 & {{Q}_{j}}=\frac{\partial W}{\partial {{P}_{j}}} \\ 
 & \bar{H}=H=E \\ 
 & \Rightarrow {{{\dot{Q}}}_{j}}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{P}_{j}}}=\frac{\partial E}{\partial {{\alpha }_{j}}}={{\omega }_{j}}\Rightarrow {{Q}_{j}}={{\omega }_{j}}t+{{\beta }_{j}}=\frac{\partial W}{\partial {{P}_{j}}} \\ 
\end{align}</math>


====Bezug zur Quantenmechanik====

* Betrachten wir 1 Teilchen im Potenzial 
<math>V(\bar{q}),\bar{q}\in {{R}^{3}}</math>
, gilt auch für 
<math>V(\bar{q}),\bar{q}\in {{R}^{f}}</math>

* 
<math>W(\bar{q})=const</math>
sind dann Flächen im R³:

Dabei sind 
<math>S(\bar{q},t)=W(\bar{q})-Et</math>
Wirkunsgwellen mit einer Phasengeschwindigkeit


<math>\bar{u}\approx \nabla W(\bar{q})</math>
mit 
<math>\bar{u}\bot W(\bar{q})=const</math>


Der Teilchenimpuls eines fliegenden Teilchens dagegen berechnet such ebenfalls als Gradient der Erzeugenden:


<math>\bar{p}=\nabla W(\bar{q})</math>
 Damit haben wir jedoch eine Betrachtung der " Wirkungswellen" entgegen einer Darstellung als Teilchen mit Impuls p ( Welle- Teilchen- Dualismus).

In jedem Fall erhält man als Hamilton- Jacobi- DiffGl:


<math>H(\bar{q},\nabla W)=\frac{1}{2m}{{\left( \nabla W(\bar{q}) \right)}^{2}}+V(\bar{q})=E</math>


Der Übergang zur Quantenmehcanik ist analog dem Übergang von der geometrischen Optik zur Wellenoptik ( Wellenoptik als geometrische Optik für große Wellenlängen) und geometrische optik als Wellenoptik für kleine Weglängen ( gut Übergangsresultate). Die typische optisch- mechanische Analogie

Wir erhalten in der quantenmechanischen Analogie als Wellenformalismus dagegen die Schödingergleichung:


<math>\left( \frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta +V(\bar{r}) \right)\Psi (\bar{r})=E\Psi (\bar{r})</math>


links mit H = hamiltonoperator in Ortsdarstellung. 
<math>\Psi (\bar{r})={{e}^{\frac{i}{\hbar }W(\bar{r})}}</math>
als Wellenfunktion

Unsere Koordinatentrafo lautet:


<math>\begin{align}
  & \bar{q}\to \bar{r} \\ 
 & \bar{p}\to \frac{\hbar }{i}\nabla  \\ 
\end{align}</math>


Auch hier sieht man die Analogie bei kleinen Wellenlängen, wenn folgende Näherung erlaubt ist:


<math>\Delta {{e}^{\frac{i}{\hbar }W(\bar{r})}}=\nabla \frac{i}{\hbar }\left( \nabla W{{e}^{\frac{i}{\hbar }W(\bar{r})}} \right)\cong -\frac{1}{{{\hbar }^{2}}}{{\left( \nabla W \right)}^{2}}{{e}^{\frac{i}{\hbar }W(\bar{r})}}</math>


====Veranschaulichung der Zusammenhänge:====

Aus der klassischen Mechanik gelangen wir durch Übergang von Poissonklammernauf Kommutatoren zur Heisenbergschen Matrizenmechanik, die sich zur Quantenmechanik transformieren läßt.

führt man in der klassischen Mechanik dagegen die Hamilton- Jacobi- Theorie ein ( optisch- mechanisches Analogon), so gelangt man leicht zur Wellenmechanik ( Schrödinger) und kann sich auf diesem Weg ebenso der Quantenmechanik nähern.

===Wirkungs- und Winkelvariable===

Nun betrachten wir eine Modifikation des Hamilton- Jacobi- Verfahrens. Dabei geht es speziell um periodische Systeme. Das Ganze soll an einem Beispiel skizziert werden und erst dann Verallgemeinerung finden.

Klassifikation von periodischem Verhalten:

* geschlossene Phasenraumkurvn welcher Art auch immer sind Librationen. Diese sind beispielsweise Schwingungen.
* dabei gilt:


<math>\begin{align}
  & q(t+\tau )=q(t) \\ 
 & p(t+\tau )=p(t) \\ 
\end{align}</math>


* periodische ( hinsichtlich des Ortes), aber nicht geschlossene Phasenraumkurven, also Phasenraumkurven, die selbst entlang des Ortes im Impuls schwingen ( dies sind nicht Schwingungen im ortsraum !)  sind Rotationen. Die Phasenbahnen sind offen und es gilt:
* 
<math>\begin{align}
  & q(t+\tau )=q(t)+{{q}_{0}} \\ 
 & p(t+\tau )=p(t) \\ 
\end{align}</math>

* Beispiel für eine Rotation ist die Drehung einer Achse: 
<math>\begin{align}
  & q(t)=\phi  \\ 
 & {{q}_{0}}=2\pi  \\ 
\end{align}</math>


====Beispiel: Das mathematische Pendel ( mit beliebig großen Auslenkungen)====

'''f= 1, verallgemeinerte Koordinate: Winkel '''
<math>\phi </math>
., s=
<math>\phi </math>
l


<math>\begin{align}
  & T=\frac{1}{2}m{{l}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}} \\ 
 & V=mgl(1-\cos \phi ) \\ 
\end{align}</math>


verallgemeinerter kanonischer Impuls:


<math>\begin{align}
  & {{p}_{\phi }}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}=\frac{\partial T}{\partial \dot{\phi }}=m{{l}^{2}}\dot{\phi } \\ 
 & H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})=T+V=\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{2m{{l}^{2}}}+mgl(1-\cos \phi ) \\ 
\end{align}</math>
für ein konservatives System

Es folgen die Hamiltonschen Gleichungen:


<math>\begin{align}
  & \dot{\phi }=\frac{\partial H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})}{\partial {{p}_{\phi }}}=\frac{{{p}_{\phi }}}{m{{l}^{2}}} \\ 
 & {{{\dot{p}}}_{\phi }}=-\frac{\partial H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})}{\partial \phi }=-mgl\sin \phi  \\ 
\end{align}</math>


# Integral ( Enrgieerhaltung): Phasenbahn


<math>H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})=T+V=\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{2m{{l}^{2}}}+mgl(1-\cos \phi )=E=const.</math>


Für kleine Winkel gilt die bekannte Kleinwinkelnäherung:


<math>\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{2m{{l}^{2}}}+mgl\frac{{{\phi }^{2}}}{2}=E=const.</math>
 -> Ellipsen, wie vom harmon. Oszi bekannt.

Gleichgewichtslagen: Fixpunkte: 
<math>\begin{align}
  & \dot{\phi }={{{\dot{p}}}_{\phi }}=0 \\ 
 & {{p}_{\phi }}=0 \\ 
 & \phi =n\pi ,n\in N \\ 
\end{align}</math>


# 
<math>E\le 2mgl</math>
Libration: Schwingung mit 
<math>\left| \phi  \right|\le {{\phi }_{0}}</math>

# 
<math>E>2mgl</math>
Rotation: überschlagendes Pendel: 
<math>\phi </math>
unbeschränkt

Für E=2mgl haben wir den Spezialfall einer Kriechbahn ( Separatrix zwischen a) und b):



<u>'''Übergang zu neuen kanonischen Variablen ( f=1)'''</u>


<math>\begin{align}
  & \left( q,p \right)\to \left( \theta ,I \right) \\ 
 & I(E):=\oint\limits_{{{\Gamma }_{E}}}{pdq} \\ 
\end{align}</math>


I(E) ist als Wirkungsvariable zu verstehen, als die Fläche, die von einer notwendigerweise geschlossenen Bahn 
<math>{{\Gamma }_{E}}</math>
zur Energie E im Phasenraum eingeschlossen ist. ( = Phasenintegral).


<math>\theta </math>
ist die Winkelvariable, auf Periode 1 normiert.

Gelegentlich findet sich:


<math>\begin{align}
  & \left( q,p \right)\to \left( \theta ,I \right) \\ 
 & I(E):=\frac{1}{2\pi }\oint\limits_{{{\Gamma }_{E}}}{pdq} \\ 
\end{align}</math>


In diesem Fall ist 
<math>\theta </math>
auf 
<math>2\pi </math>
normiert.

gesucht ist die zugehörige kanonische Transformation:


<math>\begin{align}
  & p=\frac{\partial W(q,I)}{\partial q} \\ 
 & \theta =\frac{\partial W(q,I)}{\partial I} \\ 
\end{align}</math>


Mit der neuen Hamiltonfunktion:


<math>H\left( q,\frac{\partial W(q,I)}{\partial q} \right)=E(I)</math>


Dies ist die Umkehrfunktion von I(E), existiert genau dann, wenn 
<math>\frac{dI}{dE}\ne 0</math>
.

Da 
<math>\theta </math>
zyklisch ist muss I konstant sein.

Die Hamiltonsche Bewegungsgleichung für 
<math>\theta </math>
lautet:


<math>\begin{align}
  & \dot{\theta }=\frac{\partial E(I)}{\partial I}:={{\nu }_{I}}=const. \\ 
 & \theta ={{\nu }_{I}}t+{{\theta }_{0}}\quad \bmod \quad 1 \\ 
 & I=const \\ 
\end{align}</math>


Die Lösung für 
<math>\theta </math>
 ist bei Normierung auf 
<math>2\pi </math>
natürlich modulo 
<math>2\pi </math>
 zu verstehen.

Mit der Lösung jedoch ist für jedes E(I) die frequenz 
<math>{{\nu }_{I}}</math>
berechnet.

Das Phasenraumportrait ist der folgenden gestalt:

====Beispiel: eindimensionaler Oszillator====


<math>H\left( q,p=\frac{\partial W(q,I)}{\partial q} \right)=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}}=E(I)</math>


'''Phasenbahn:'''


<math>\frac{\partial W(q,I)}{\partial q}=p=\pm m\omega \sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}</math>


Umkehrpunkte:


<math>{{q}_{\pm }}=\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}}</math>


'''Wirkungsvariable:'''


<math>\begin{align}
  & I(E)=\oint{pdq}=2m\omega \int\limits_{{{q}_{-}}}^{{{q}_{+}}}{{}}\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}dq \\ 
 & I(E)=2m\omega \left[ \frac{q}{2}\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}+\frac{E}{m{{\omega }^{2}}}\arcsin \frac{q}{\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}}} \right]_{q+}^{q-}=\frac{2\pi }{\omega }E \\ 
\end{align}</math>


'''Transformierte Hamiltonfunktion:'''


<math>\begin{align}
  & \bar{H}=E=\frac{\omega }{2\pi }I \\ 
 & \dot{\theta }=\frac{\partial E}{\partial I}=\frac{\omega }{2\pi }:={{\nu }_{I}} \\ 
\end{align}</math>


Die zeitliche Änderung des Winkels, also die Frequenz des harmonischen Oszillators ist völlig unabhängig von E(I)

'''Nebenbemerkungen:'''

1.
<math>I=\frac{2\pi }{\omega }E=\tau E</math>
hat die Dimension Zeit* Energie, also Wirkung

# 
<math>\theta </math>
ist die Winkelvariable, die zur periodischen Bewegung im Phasenraum ! gehört und hat überhaupt nichts mit dem Winkel im ortsraum ( des Pendels Phi) zu tun

Allgemein: Perdiodische Bewegungen werden immer durch eine Winkelvariable parametrisiert.

* die periodische Bewegung wird damit auf die 1-Sphäre S1 ( Kreis mit Radius 1) abgebildet.

<u>'''Verallgemeinerung auf beliebiges f:'''</u>

Eine Bewegung heißt periodisch bzw. quasiperiodisch, falls die Projektion der Phasenbahn (Trajektorie) auf jede (pj,qj)- Ebene periodisch mit Frequenz


<math>{{\omega }_{j}}=\frac{2\pi }{{{\tau }_{j}}}</math>
ist. Jede Projektion also für gleiche Koordinaten in Ort und Impuls !

Falls: 
<math>{{\omega }_{1}}:{{\omega }_{2}}:{{\omega }_{3}}:...:{{\omega }_{f}}</math>
rational ist, so ist die Bahn geschlossen, also einfach periodisch.

Falls: 
<math>\exists i,j\to {{\omega }_{i}}:{{\omega }_{j}}</math>
irrational -> offene Bahn ( quasiperiodisch).

Parametrisierung erfolgt durch die Winkelvariable 
<math>{{\theta }_{j}}</math>
zu 
<math>{{\omega }_{j}}</math>
:

Abbildung auf 
<math>{{S}^{1}}\times {{S}^{1}}\times {{S}^{1}}\times ...\times {{S}^{1}}=:{{T}^{f}}</math>
(f  mal S1- Sphären- Räume), Abbildung auf den sogenannte f-Torus

Beispiel: 2Torus:

Ist das Frequenzverhältnis irrational, so wirkt der Torus nur als Phasenraumattraktor. Die Bahn füllt den gesamten Torus dicht aus !

====Satz über integrable Systeme====

Einautonomes System ( Hamiltonsch) habe f unabhängige Integrale der Bewegung


<math>{{g}_{k}}(\bar{q},\bar{p})</math>
k=1,...,f

mit 
<math>{{g}_{1}}(\bar{q},\bar{p})=H(\bar{q},\bar{p})</math>
Energie und


<math>\left\{ {{g}_{i}},{{g}_{j}} \right\}=0\quad \forall i,j</math>


Dann gilt:

# die durch 
<math>{{g}_{k}}(\bar{q},\bar{p})={{\alpha }_{k}}=const</math>
gegebene Hyperfläche des Phasenraums ( falls kompakt und beschränkt und abgeschlossen) läßt sich diffeomorph auf einen f-dimensionalen Torus 
<math>{{T}^{f}}</math>
abbilden.
# die Allgemeine Bewegung auf 
<math>{{T}^{f}}</math>
ist quasiperiodisch: 
<math>\frac{d{{\theta }_{i}}}{dt}={{\omega }_{i}}</math>
, 
<math>{{\theta }_{i}}</math>
ist zugehörige Winkelvariable, i=1,...,f
# das System ist INTEGRABEL, das heißt, die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen lassen sich vollständig und global integrieren.

<u>'''Beispiele: '''</u>2- Körper- Problem mit Zentralkraft, gekoppelte harmonische Oszillatoren

'''Gegenbeispiel: '''3- Körperproblem mit Zentralkraft (f=9, nur 6 unabhängige Integrale der Bewegung:


<math>E,{{\bar{P}}_{gesamt}},{{l}^{2}},{{l}_{3}}</math>


Nebenbemerkung:

Wegen 
<math>\left\{ {{l}_{3}},{{l}_{1}} \right\}={{l}_{3}}</math>
und zyklisch erfüllen die 3 Drehimpulskomponenten nicht alle die Bedingung 
<math>\left\{ {{g}_{i}},{{g}_{j}} \right\}=0</math>
obgleich gilt: 
<math>\left\{ {{l}_{i}},H \right\}=0</math>
.

Wirkunsgvariable:


<math>{{I}_{k}}({{\alpha }_{1}},...,{{\alpha }_{f}}):=\oint\limits_{{{\Gamma }_{k}}}{{{p}_{k}}d{{q}_{k}}\quad (k=1,..,f)}</math>


Für ein separables System gilt:


<math>\begin{align}
  & W=\sum\limits_{j=1}^{f}{{{W}_{j}}({{q}_{j}},\bar{\alpha })} \\ 
 & {{p}_{k}}=\frac{d{{W}_{k}}}{d{{q}_{k}}} \\ 
\end{align}</math>


Die Umkehrung liefert die Energie:


<math>E\equiv {{\alpha }_{1}}={{\alpha }_{1}}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math>


Die Hamiltongleichungen lauten:


<math>\begin{align}
  & \dot{\theta }=\frac{\partial E({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})}{\partial {{I}_{k}}}={{\nu }_{k}}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}}) \\ 
 & \Rightarrow {{\theta }_{k}}={{\nu }_{k}}t+{{\beta }_{k}} \\ 
 & {{\nu }_{k}}=\frac{1}{{{\tau }_{k}}} \\ 
\end{align}</math>


<u>'''Fazit:'''</u>

Mit der Wirkungs- und Winkelvariablen können die Frequenzen 
<math>{{\nu }_{k}}</math>
periodischer Bewegungen bestimmt werden, ohne die vollständige Lösung angeben zu müssen.

===Störungen integrabler Systeme===

Betrachte ein integrables, quasiperiodisches, autonomes Hamiltonsches System mit der Wirkungsvariablen


<math>\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math>
und der Winkelvariablen 
<math>\bar{\theta }({{\theta }_{1}},...,{{\theta }_{f}})</math>
, Hamiltonfunktion 
<math>{{H}_{0}}(\bar{I})</math>


Betrachten wir nun eine kleine Störung der Stärke 
<math>\varepsilon </math>
:


<math>H(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )={{H}_{0}}(\bar{I})+\varepsilon {{H}_{1}}(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )</math>


In diesem Fall ist 
<math>\theta </math>
nicht mehr zyklisch. 
<math>\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math>
ist also keine Bewegungskonstante mehr !

====Beispiel:====
Himmelsmechanik, beispielsweise restringiertes 3- Körper- Problem

System: Sonne, Erde, Mond

* integrables 2- Körper- Problem mit 2 größeren Massen  ( annähernd Kreisbahn) und einer kleinen Masse m3 als Störung
* Frage: Ist die quasiperiodische Bewegung über lange Zeiten stabil ? Das heißt: Verändert die Störung die Struktur der Bewegungsmannigfaltigkeit nur wenig ?

Also:

Durch eine dritte Masse m3 ist eine Störung gegeben. Die Bewegung konnte auch vorher ( bei irrationalem Verhältnis der Umlaufszeiten oder Frequenzen) schon nur quasiperiodisch sein.

Ist die quasiperiodische Lösung unter Anwesenheit der dritten  Masse jedoch noch stabil ?

* Dies ist bis heute ungelöst... Es gibt jedoch Hinweise auf chaotische Bewegungen, beispielsweise chaotische Bewegungen des Planeten Pluto !

Teilantwort liefert die KAM_ Theorie ( Kolmogorov, Arnold, Moser, 1954, 1963, 1967)

* Stabilitätsaussagen

<u>'''Voraussetzung:'''</u>

Die Frequenzen des integrablen Systems 
<math>{{H}_{0}}(\bar{I})</math>
 sind rational unabhängig, also:


<math>\sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}=0\quad {{r}_{i}}\in Z\Leftrightarrow {{r}_{1}}=...={{r}_{f}}=0}</math>


Dann überdeckt jede Bahn für festes 
<math>{{I}_{k}}={{\alpha }_{k}}</math>
den Torus 
<math>{{T}^{f}}</math>
dicht ohne sich jedoch zu schließen: Die Bewegung ist ergodisch.

'''ERGODISCHE Bewegung '''( nichtresonanter Torus)

====KAM- Theorem====

Sind in einem integablen Hamiltonschen System Ho die Frequenzen genügend irrational:, das heißt


<math>\left| \sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}} \right|\ge \gamma {{\left| {\bar{r}} \right|}^{\alpha }}\quad \alpha ,\gamma >0</math>


So hat das gestörte System 
<math>H(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )={{H}_{0}}(\bar{I})+\varepsilon {{H}_{1}}(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )</math>
für kleine 
<math>\varepsilon </math>
überwiegend ebenfalls quasiperiodische Lösungen und die eisten nichtresonanten Tori von 
<math>{{H}_{0}}</math>
werden nur wenig deformiert, aber nicht zerstört.

<u>'''Anwendung:'''</u>

Das restringierte 3-Körper-Problem ist KAM- Stabil. Aber: keine Aussage über eine Langzeitstabilität unseres Planetensystems !

Praktische Verfahren zur Berechnung der gestörten Lösungen:

* störungstheoretische Entwicklung in 
<math>\varepsilon </math>

* Mittelung über die Störungen

[[Kategorie:Mechanik]]