| Latest revision |
Your text |
| Line 1: |
Line 1: |
| <noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|7|4}}</noinclude>
| | uLfxIq , [url=http://aghjarlmbant.com/]aghjarlmbant[/url], [link=http://whkjmiseplys.com/]whkjmiseplys[/link], http://xkfeyztpoljg.com/ |
| | |
| | |
| Deterministische, aber ungeordnete Bewegung im Langzeitverhalten von Systemen mit
| |
| :<math>n\ge 3</math>
| |
| (autonom):
| |
| | |
| <u>'''Seltsamer (chaotischer) Attraktor'''</u>
| |
| | |
| komplexes, irreguläres Verhalten kann verschiedene Ursachen haben, die sich im zeitlichen verhalten einer Observablen oft schwer unterscheiden lassen.
| |
| | |
| '''Als Unterscheidungskriterien bieten sich an:'''
| |
| | |
| '''quasiperiodisch deterministisches Chaos stochastisches Rauschen'''
| |
| | |
| wenige dynamische Freiheitsgrade: viele mikroskopische Freiheits-
| |
| | |
| niedrigdimensionaler Phasenraum grade. (Statistisches Ensemble)
| |
| | |
| | |
| | |
| Attraktor: Torus
| |
| :<math>{{T}^{d}}</math>
| |
| d=2,3,4,... seltsamer Attraktor, fraktale Dimension
| |
| :<math>f\tilde{\ }{{10}^{24}}</math> Autokorrelationsfunktion <math>\left\langle x(t)x(t+\tau ) \right\rangle :=\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| T\to \infty \\
| |
| \end{matrix}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}{x(t)x(t+\tau )d\tau }</math>
| |
| | |
| | |
| periodisch in
| |
| :<math>\tau </math>
| |
| | |
| :<math>\to 0</math>
| |
| für
| |
| :<math>\tau \to \infty </math>
| |
| | |
| :<math>=0</math>
| |
| für
| |
| :<math>\tau >{{\tau }_{c}}</math>
| |
| | |
| | |
| : Fourierspektrum (bzw. Leistungsspektrum):
| |
| :<math>S(\omega )=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }{\left\langle x(t)x(t+\tau ) \right\rangle {{e}^{i\omega \tau }}d\tau }</math>
| |
| | |
| | |
| diskrete Frequenzen
| |
| :<math>{{\omega }_{1}},{{\omega }_{2}},{{\omega }_{3}},...</math> | |
| b r e i t e s F r e q u e n z b a n d
| |
| | |
| Instabilität der Bewegung bei kleinen
| |
| | |
| Störungen der Anfangsbedingungen
| |
| | |
| typische universelle
| |
| | |
| Bifurkationszenarien
| |
| | |
| <u>'''Def.:'''</u> Eine Bewegung heißt '''chaotisch''', wenn sie empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängt.
| |
| | |
| '''Quantitative Formulierung''' der Stabilität gegenüber kleinen Variationen der Anfangsbedingungen:
| |
| | |
| <u>'''Bahnstabilität / Orbitale Stabilität'''</u>
| |
| | |
| bahnstabil: Alle benachbarten Bahnen bleiben in einer
| |
| :<math>\varepsilon </math>
| |
| - Röhre um
| |
| :<math>\Phi (t,{{\bar{x}}_{0}})</math>
| |
| | |
| | |
| <u>'''Aymptotisch bahnstabil:'''</u>
| |
| | |
| Der Abstand benachbarter Bahnen geht gegen Null für t→ unendlich
| |
| | |
| <u>'''Ljapunov- stabil'''</u>
| |
| | |
| | |
| | |
| Für DASSELBE t gilt:
| |
| :<math>\left| \Phi (t,{{{\bar{x}}}_{0}})-\Phi (t,{{{\bar{y}}}_{0}}) \right|\to 0</math>
| |
| für t→ unendlich (t gleicher Zeitpunkt auf beiden Bahnen)
| |
| | |
| Linearisierung in der Nähe der Lösungskurve
| |
| :<math>\Phi (t,{{\bar{x}}_{0}})</math>
| |
| :
| |
| | |
| | |
| :<math>\begin{align}
| |
| & \delta {{{\dot{x}}}_{i}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{}}\frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}(\bar{x}(t),t)\delta {{x}_{k}} \\
| |
| & \frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}(\bar{x}(t),t):={{A}_{ik}}(t) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| | |
| Dabei:
| |
| | |
| | |
| :<math>{{\lambda }_{k}}(t)\ zu\ {{A}_{ik}}(t)</math> | |
| Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren
| |
| :<math>{{\bar{\xi }}^{(k)}}(t)</math>
| |
| | |
| | |
| Formale Lösung:
| |
| | |
| | |
| :<math>\delta \bar{x}(t)={{e}^{\int_{0}^{t}{dt\acute{\ }A(t\acute{\ })}}}\delta \bar{x}(0)</math>
| |
| | |
| | |
| Dies ist die Zeitentwicklung einer infinitesimalen Kugel um
| |
| :<math>{{\bar{x}}_{0}}</math>,
| |
| also ein n-dimensionaler Ellipsoid mit den Hauptachsen
| |
| :<math>{{p}_{k}}(t)\tilde{\ }{{p}_{k}}(0){{e}^{{{\lambda }_{k}}t}}</math>
| |
| | |
| | |
| <u>'''Definition: '''</u>Stabilität ist bestimmt durch die <u>'''Ljapunov-Exponenten '''</u>
| |
| :<math>{{\bar{\lambda }}_{k}}:=\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| t\to \infty \\
| |
| \end{matrix}\ \frac{1}{t}\ln \frac{{{p}_{k}}(t)}{{{p}_{k}}(0)}</math>
| |
| | |
| | |
| Nebenbemerkung: Sei
| |
| :<math>\lambda </math>
| |
| der führende (größte) Ljapunov- Exponent
| |
| | |
| | |
| :<math>\lambda :=\begin{matrix}
| |
| \lim \ \sup \\
| |
| t\to \infty \\
| |
| \end{matrix}\ \frac{1}{t}\ln \left| \bar{x}(t)-\bar{y}(t) \right|</math>
| |
| | |
| :<math>\Rightarrow </math>
| |
| | |
| :<math>\left| \Phi (t,{{{\bar{x}}}_{0}})-\Phi (t,{{{\bar{y}}}_{0}}) \right|\tilde{\ }{{e}^{\lambda t}}</math>
| |
| | |
| | |
| Das heißt, der Abstand der anfangs leicht auseinanderliegenden Phasenraumkurven wächst mit
| |
| :<math>{{e}^{\lambda t}}</math>.
| |
| | |
| | |
| Für
| |
| :<math>\lambda </math>
| |
| <0: kleine Abweichungen der Anfangsbedingungen werden exponenziell gedämpft
| |
| | |
| | |
| :<math>\lambda </math>
| |
| >0: die benachbarten Bahnen laufen exponenziell auseinander (Kriterium für Chaos)
| |
| | |
| Für den chaotischen Attraktor im
| |
| :<math>{{R}^{3}}</math>
| |
| gilt:
| |
| | |
| Auf dem Attraktor:
| |
| :<math>{{\bar{\lambda }}_{1}}>0</math>
| |
| auf dem Attraktor: chaotische Bewegung
| |
| | |
| | |
| :<math>{{\bar{\lambda }}_{2}}=0</math> | |
| : Bifurkationspunkte
| |
| | |
| | |
| :<math>{{\bar{\lambda }}_{3}}<0</math>
| |
| : Von außen Annäherung an den Attraktor (Abstand verringert sich exponenziell).
| |
| | |
| <u>'''Beispiel für ein Ljapunov- Spektrum:'''</u>
| |