Editing Deterministisches Chaos

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|7|4}}</noinclude>


Deterministische, aber ungeordnete Bewegung im Langzeitverhalten von Systemen mit
:<math>n\ge 3</math>
 ( autonom):

<u>'''Seltsamer ( chaotischer) Attraktor'''</u>

komplexes, irreguläres Verhalten kann verschiedene Ursachen haben, die sich im zeitlichen verhalten einer Observablen oft schwer unterscheiden lassen.

'''Als Unterscheidungskriterien bieten sich an:'''

'''quasiperiodisch 			deterministisches Chaos 			stochastisches Rauschen'''

wenige dynamische Freiheitsgrade:				viele mikroskopische Freiheits-

niedrigdimensionaler Phasenraum					grade. ( Statistisches Ensemble)



Attraktor: Torus
:<math>{{T}^{d}}</math>
 d=2,3,4,...	seltsamer Attraktor, fraktale Dimension
:<math>f\tilde{\ }{{10}^{24}}</math> Autokorrelationsfunktion <math>\left\langle x(t)x(t+\tau ) \right\rangle :=\begin{matrix}
   \lim   \\
   T\to \infty   \\
\end{matrix}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}{x(t)x(t+\tau )d\tau }</math>


periodisch in
:<math>\tau </math>

:<math>\to 0</math>
 für
:<math>\tau \to \infty </math>

:<math>=0</math>
 für
:<math>\tau >{{\tau }_{c}}</math>


:	Fourierspektrum ( bzw. Leistungsspektrum):
:<math>S(\omega )=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }{\left\langle x(t)x(t+\tau ) \right\rangle {{e}^{i\omega \tau }}d\tau }</math>


diskrete Frequenzen
:<math>{{\omega }_{1}},{{\omega }_{2}},{{\omega }_{3}},...</math>
			b r e i t e s    F r e q u e n z b a n d

				Instabilität der Bewegung bei kleinen

				Störungen der Anfangsbedingungen

				typische universelle

				Bifurkationszenarien

<u>'''Def.:'''</u> Eine Bewegung heißt '''chaotisch''', wenn sie empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängt.

'''Quantitative Formulierung''' der Stabilität gegenüber kleinen Variationen der Anfangsbedingungen:

<u>'''Bahnstabilität / Orbitale Stabilität'''</u>

bahnstabil: Alle benachbarten Bahnen bleiben in einer
:<math>\varepsilon </math>
 - Röhre um
:<math>\Phi (t,{{\bar{x}}_{0}})</math>


<u>'''Aymptotisch  bahnstabil:'''</u>

Der Abstand benachbarter Bahnen geht gegen Null für t→ unendlich

<u>'''Ljapunov- stabil'''</u>



Für DASSELBE t gilt:
:<math>\left| \Phi (t,{{{\bar{x}}}_{0}})-\Phi (t,{{{\bar{y}}}_{0}}) \right|\to 0</math>
 für t→ unendlich ( t gleicher Zeitpunkt auf beiden Bahnen)

Linearisierung in der Nähe der Lösungskurve
:<math>\Phi (t,{{\bar{x}}_{0}})</math>
:


:<math>\begin{align}
  & \delta {{{\dot{x}}}_{i}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{}}\frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}(\bar{x}(t),t)\delta {{x}_{k}} \\
 & \frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}(\bar{x}(t),t):={{A}_{ik}}(t) \\
\end{align}</math>


Dabei:


:<math>{{\lambda }_{k}}(t)\ zu\ {{A}_{ik}}(t)</math>
 Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren
:<math>{{\bar{\xi }}^{(k)}}(t)</math>


Formale Lösung:


:<math>\delta \bar{x}(t)={{e}^{\int_{0}^{t}{dt\acute{\ }A(t\acute{\ })}}}\delta \bar{x}(0)</math>


Dies ist die Zeitentwicklung einer infinitesimalen Kugel um
:<math>{{\bar{x}}_{0}}</math>
, also ein n-dimensionaler Ellipsoid mit den Hauptachsen
:<math>{{p}_{k}}(t)\tilde{\ }{{p}_{k}}(0){{e}^{{{\lambda }_{k}}t}}</math>


<u>'''Definition: '''</u>Stabilität ist bestimmt durch die <u>'''Ljapunov-Exponenten '''</u>
:<math>{{\bar{\lambda }}_{k}}:=\begin{matrix}
   \lim   \\
   t\to \infty   \\
\end{matrix}\ \frac{1}{t}\ln \frac{{{p}_{k}}(t)}{{{p}_{k}}(0)}</math>


Nebenbemerkung: Sei
:<math>\lambda </math>
der führende ( größte) Ljapunov- Exponent


:<math>\lambda :=\begin{matrix}
   \lim \ \sup   \\
   t\to \infty   \\
\end{matrix}\ \frac{1}{t}\ln \left| \bar{x}(t)-\bar{y}(t) \right|</math>

:<math>\Rightarrow </math>

:<math>\left| \Phi (t,{{{\bar{x}}}_{0}})-\Phi (t,{{{\bar{y}}}_{0}}) \right|\tilde{\ }{{e}^{\lambda t}}</math>


Das heißt, der Abstand der anfangs leicht auseinanderliegenden Phasenraumkurven wächst mit
:<math>{{e}^{\lambda t}}</math>
.

Für
:<math>\lambda </math>
<0: kleine Abweichungen der Anfangsbedingungen werden exponenziell gedämpft


:<math>\lambda </math>
>0: die benachbarten Bahnen laufen exponenziell auseinander ( Kriterium für Chaos)

Für den chaotischen Attraktor im
:<math>{{R}^{3}}</math>
gilt:

Auf dem Attraktor:
:<math>{{\bar{\lambda }}_{1}}>0</math>
auf dem Attraktor: chaotische Bewegung


:<math>{{\bar{\lambda }}_{2}}=0</math>
: Bifurkationspunkte


:<math>{{\bar{\lambda }}_{3}}<0</math>
: Von außen Annäherung an den Attraktor ( Abstand verringert sich exponenziell).

<u>'''Beispiel für ein Ljapunov- Spektrum:'''</u>