Editing
Deterministisches Chaos
Jump to navigation
Jump to search
Warning:
You are not logged in. Your IP address will be publicly visible if you make any edits. If you
log in
or
create an account
, your edits will be attributed to your username, along with other benefits.
Anti-spam check. Do
not
fill this in!
<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|7|4}}</noinclude> Deterministische, aber ungeordnete Bewegung im Langzeitverhalten von Systemen mit :<math>n\ge 3</math> (autonom): <u>'''Seltsamer (chaotischer) Attraktor'''</u> komplexes, irreguläres Verhalten kann verschiedene Ursachen haben, die sich im zeitlichen verhalten einer Observablen oft schwer unterscheiden lassen. '''Als Unterscheidungskriterien bieten sich an:''' '''quasiperiodisch deterministisches Chaos stochastisches Rauschen''' wenige dynamische Freiheitsgrade: viele mikroskopische Freiheits- niedrigdimensionaler Phasenraum grade. (Statistisches Ensemble) Attraktor: Torus :<math>{{T}^{d}}</math> d=2,3,4,... seltsamer Attraktor, fraktale Dimension :<math>f\tilde{\ }{{10}^{24}}</math> Autokorrelationsfunktion <math>\left\langle x(t)x(t+\tau ) \right\rangle :=\begin{matrix} \lim \\ T\to \infty \\ \end{matrix}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}{x(t)x(t+\tau )d\tau }</math> periodisch in :<math>\tau </math> :<math>\to 0</math> für :<math>\tau \to \infty </math> :<math>=0</math> für :<math>\tau >{{\tau }_{c}}</math> : Fourierspektrum (bzw. Leistungsspektrum): :<math>S(\omega )=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }{\left\langle x(t)x(t+\tau ) \right\rangle {{e}^{i\omega \tau }}d\tau }</math> diskrete Frequenzen :<math>{{\omega }_{1}},{{\omega }_{2}},{{\omega }_{3}},...</math> b r e i t e s F r e q u e n z b a n d Instabilität der Bewegung bei kleinen Störungen der Anfangsbedingungen typische universelle Bifurkationszenarien <u>'''Def.:'''</u> Eine Bewegung heißt '''chaotisch''', wenn sie empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängt. '''Quantitative Formulierung''' der Stabilität gegenüber kleinen Variationen der Anfangsbedingungen: <u>'''Bahnstabilität / Orbitale Stabilität'''</u> bahnstabil: Alle benachbarten Bahnen bleiben in einer :<math>\varepsilon </math> - Röhre um :<math>\Phi (t,{{\bar{x}}_{0}})</math> <u>'''Aymptotisch bahnstabil:'''</u> Der Abstand benachbarter Bahnen geht gegen Null für t→ unendlich <u>'''Ljapunov- stabil'''</u> Für DASSELBE t gilt: :<math>\left| \Phi (t,{{{\bar{x}}}_{0}})-\Phi (t,{{{\bar{y}}}_{0}}) \right|\to 0</math> für t→ unendlich (t gleicher Zeitpunkt auf beiden Bahnen) Linearisierung in der Nähe der Lösungskurve :<math>\Phi (t,{{\bar{x}}_{0}})</math> : :<math>\begin{align} & \delta {{{\dot{x}}}_{i}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{}}\frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}(\bar{x}(t),t)\delta {{x}_{k}} \\ & \frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}(\bar{x}(t),t):={{A}_{ik}}(t) \\ \end{align}</math> Dabei: :<math>{{\lambda }_{k}}(t)\ zu\ {{A}_{ik}}(t)</math> Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren :<math>{{\bar{\xi }}^{(k)}}(t)</math> Formale Lösung: :<math>\delta \bar{x}(t)={{e}^{\int_{0}^{t}{dt\acute{\ }A(t\acute{\ })}}}\delta \bar{x}(0)</math> Dies ist die Zeitentwicklung einer infinitesimalen Kugel um :<math>{{\bar{x}}_{0}}</math>, also ein n-dimensionaler Ellipsoid mit den Hauptachsen :<math>{{p}_{k}}(t)\tilde{\ }{{p}_{k}}(0){{e}^{{{\lambda }_{k}}t}}</math> <u>'''Definition: '''</u>Stabilität ist bestimmt durch die <u>'''Ljapunov-Exponenten '''</u> :<math>{{\bar{\lambda }}_{k}}:=\begin{matrix} \lim \\ t\to \infty \\ \end{matrix}\ \frac{1}{t}\ln \frac{{{p}_{k}}(t)}{{{p}_{k}}(0)}</math> Nebenbemerkung: Sei :<math>\lambda </math> der führende (größte) Ljapunov- Exponent :<math>\lambda :=\begin{matrix} \lim \ \sup \\ t\to \infty \\ \end{matrix}\ \frac{1}{t}\ln \left| \bar{x}(t)-\bar{y}(t) \right|</math> :<math>\Rightarrow </math> :<math>\left| \Phi (t,{{{\bar{x}}}_{0}})-\Phi (t,{{{\bar{y}}}_{0}}) \right|\tilde{\ }{{e}^{\lambda t}}</math> Das heißt, der Abstand der anfangs leicht auseinanderliegenden Phasenraumkurven wächst mit :<math>{{e}^{\lambda t}}</math>. Für :<math>\lambda </math> <0: kleine Abweichungen der Anfangsbedingungen werden exponenziell gedämpft :<math>\lambda </math> >0: die benachbarten Bahnen laufen exponenziell auseinander (Kriterium für Chaos) Für den chaotischen Attraktor im :<math>{{R}^{3}}</math> gilt: Auf dem Attraktor: :<math>{{\bar{\lambda }}_{1}}>0</math> auf dem Attraktor: chaotische Bewegung :<math>{{\bar{\lambda }}_{2}}=0</math> : Bifurkationspunkte :<math>{{\bar{\lambda }}_{3}}<0</math> : Von außen Annäherung an den Attraktor (Abstand verringert sich exponenziell). <u>'''Beispiel für ein Ljapunov- Spektrum:'''</u>
Summary:
Please note that all contributions to testwiki are considered to be released under the Creative Commons Attribution (see
Testwiki:Copyrights
for details). If you do not want your writing to be edited mercilessly and redistributed at will, then do not submit it here.
You are also promising us that you wrote this yourself, or copied it from a public domain or similar free resource.
Do not submit copyrighted work without permission!
Cancel
Editing help
(opens in new window)
Templates used on this page:
Template:ScriptProf
(
edit
)
Template:Scripthinweis
(
edit
)
Template:Scriptnav
(
edit
)
Navigation menu
Personal tools
Not logged in
Talk
Contributions
Log in
Namespaces
Page
Discussion
English
Views
Read
Edit
Edit source
View history
More
Search
Navigation
Main page
Recent changes
Random page
Physikerwelt
Tools
What links here
Related changes
Special pages
Page information