Editing Der harmonische Oszillator

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Anwendungsbeispiel der abstrakten Darstellung im Hilbertraum: der eindimensionale harmonische Oszillator

:<math>\hat{H}=\frac{{{{\hat{p}}}^{2}}}{2m}+\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{\hat{x}}^{2}}</math>

Als Hamiltonoperator

Es gilt die Vertauschungsrelation

:<math>\left[ \hat{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i}</math>

Besser:

:<math>\left[ {{{\hat{p}}}_{l}},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}{{\delta }_{kl}}</math>

Definition eines Operators, des Leiteroperators (nicht hermitesch!!)

:<math>\begin{align}

& a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\

& {{a}^{+}}:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}+i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\

& \Rightarrow a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\

& \left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i} \\

& \Rightarrow a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}+\frac{1}{2} \\

\end{align}</math>

Merke:

Ausgangspunkt unserer ganzen Überlegungen ist eine Definition, nämlich die Definitiond er Leiteroperatoren:

:<math>\begin{align}

& a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\

& {{a}^{+}}:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}+i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\

\end{align}</math>

Ebenso:

:<math>\begin{align}

& {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\

& \left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i} \\

& \Rightarrow {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}-\frac{1}{2} \\

&  \\

& \Rightarrow \left[ a,{{a}^{+}} \right]=1 \\

& a{{a}^{+}}+{{a}^{+}}a=\frac{2}{\hbar \omega }\hat{H} \\

\end{align}</math>

Somit:

:<math>\hat{H}=\frac{1}{2}\hbar \omega \left( a{{a}^{+}}+{{a}^{+}}a \right)=\frac{1}{2}\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+1+{{a}^{+}}a \right)=\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)</math>

Merke dazu:

:<math>a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]</math>

Somit:

:<math>\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]</math>

als verantwortlicher Term für die Grundzustandsenergie:

:<math>{{E}_{0}}=\frac{1}{2}\hbar \omega </math>

Also: Die Grundzustandsenergie folgt direkt aus der Unschärfe!

Weitere Vertauschungsrelationen:

:<math>\begin{align}

& \left( a{{a}^{+}} \right)a=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}a+\frac{1}{2}a \\

& =a\left( {{a}^{+}}a \right)=\frac{1}{\hbar \omega }a\hat{H}-\frac{1}{2}a \\

& \Rightarrow \left[ a,\hat{H} \right]=a\hat{H}-\hat{H}a=\hbar \omega a \\

\end{align}</math>

Ebenso die adjungierteVersion:

:<math>-\left[ {{a}^{+}},\hat{H} \right]=\left( a\hat{H} \right)\acute{\ }*-\left( \hat{H}a \right)*=\hbar \omega {{a}^{+}}</math>

=====Verallgemeinerung=====

'''Beweis: Vollständige Induktion:'''

'''n=1 '''<math>\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{1}} \right]=1</math>

Sei<math>\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right]=n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}=\frac{\partial }{\partial {{a}^{+}}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}</math>

für<math>n\ge 1</math>

:<math>\begin{align}

& \left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}} \right]=a{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}-{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}a=a{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}-{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a{{a}^{+}}+{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a{{a}^{+}}-{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}a \\

& \Rightarrow \left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}} \right]=\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right]{{a}^{+}}+{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left[ a,{{a}^{+}} \right] \\

& \left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right]=n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}} \\

& \Rightarrow \left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}} \right]=n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}{{a}^{+}}+{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}=\left( n+1 \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \\

\end{align}</math>

'''Adjungierte Version:'''

:<math>\left[ {{a}^{+}},{{a}^{n}} \right]=-n{{\left( a \right)}^{n-1}}=-\frac{\partial }{\partial a}{{\left( a \right)}^{n}}</math>

Somit gilt für beliebige, in Potenzreihen von Auf- oder Absteiger entwickelbare Funktionen f:

:<math>\begin{align}

& \left[ a,f\left( {{a}^{+}} \right) \right]=\frac{\partial }{\partial {{a}^{+}}}f\left( {{a}^{+}} \right) \\

& \left[ {{a}^{+}},f\left( a \right) \right]=-\frac{\partial }{\partial a}f\left( a \right) \\

\end{align}</math>

=====Eigenwerte von H=====
Sei <math>\left| E \right\rangle </math>

ein normierter Eigenvektor von <math>\hat{H}</math>

mit <math>\hat{H}\left| E \right\rangle =E\left| E \right\rangle </math>

So gilt:

:<math>\begin{align}

& \hbar \omega \left\langle  E \right|{{a}^{+}}a\left| E \right\rangle =\left\langle  E \right|\hat{H}-\frac{\hbar \omega }{2}\left| E \right\rangle =\left\langle  E \right|E-\frac{\hbar \omega }{2}\left| E \right\rangle =E-\frac{\hbar \omega }{2} \\

& \left\langle  E \right|{{a}^{+}}a\left| E \right\rangle =\left\langle  \Psi   |  \Psi  \right\rangle \ge 0 \\

\end{align}</math>

Das bedeutet:

:<math>\begin{align}

& E\ge \frac{\hbar \omega }{2} \\

& E\ge \frac{\hbar \omega }{2}\Leftrightarrow a\left| E \right\rangle =0 \\

\end{align}</math>

Das Energiespektrum ist also nach unten beschränkt und gleichzeitig vernichtet der Absteigeoperator den Zustand mit der niedrigsten Energie

'''Behauptung'''

:<math>a\left| E \right\rangle </math>

ist Eigenzustand zu <math>\hat{H}</math>

mit dem Eigenwert <math>E-\hbar \omega </math>

:

Also: <math>\hat{H}a\left| E \right\rangle =\left( E-\hbar \omega  \right)a\left| E \right\rangle </math>

'''Beweis:'''

:<math>\hat{H}a\left| E \right\rangle =\left( a\hat{H}-\hbar \omega  \right)a\left| E \right\rangle =a\left( \hat{H}-\hbar \omega  \right)\left| E \right\rangle =a\left( E-\hbar \omega  \right)\left| E \right\rangle =\left( E-\hbar \omega  \right)a\left| E \right\rangle </math>

Dabei gilt

:<math>\hat{H}a\left| E \right\rangle =\left( a\hat{H}-\hbar \omega  \right)a\left| E \right\rangle </math>

wegen

:<math>\left[ a,\hat{H} \right]=\hbar \omega a</math>

Durch wiederholte Anwendung könnte man Eigenzustände <math>\left| E \right\rangle \ne 0</math>

mit beliebig tiefer Energie erzeugen, wenn nicht <math>E\ge \frac{\hbar \omega }{2}</math>

gelten würde.

Daher existiert ein <math>m\in N</math>

so dass <math>{{a}^{m}}\left| E \right\rangle =0</math>

aber <math>{{a}^{m-1}}\left| E \right\rangle \ne 0</math>

Also definiere man einen Grundzustand:

:<math>\left| 0 \right\rangle :={{a}^{m-1}}\left| E \right\rangle </math>

Vorsicht! Dieser ist gerade nicht ein NULL- KET,

sondern: Der Zustand zur Quantenzahl n=0

:<math>\hat{H}\left| 0 \right\rangle =\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)\left| 0 \right\rangle =\frac{1}{2}\hbar \omega \left| 0 \right\rangle </math>

wegen

:<math>a\left| 0 \right\rangle ={{a}^{m}}\left| E \right\rangle =0</math>

Also:

:<math>\begin{align}

& {{E}_{0}}=\frac{\hbar \omega }{2} \\

& a\left| 0 \right\rangle ={{a}^{m}}\left| E \right\rangle =0 \\

\end{align}</math>

Weiter:

:<math>\hat{H}{{a}^{+}}\left| 0 \right\rangle =\left( {{a}^{+}}H+\hbar \omega {{a}^{+}} \right)\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \hat{H}+\hbar \omega  \right)\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \frac{\hbar \omega }{2}+\hbar \omega  \right)\left| 0 \right\rangle =\frac{3\hbar \omega }{2}{{a}^{+}}\left| 0 \right\rangle </math>

Der erste Schritt gilt wieder wegen der Vertauschungsrelation

:<math>\left[ {{a}^{+}},\hat{H} \right]=-\hbar \omega {{a}^{+}}</math>

Das heißt nun aber, dass <math>{{a}^{+}}\left| 0 \right\rangle </math>

der Eigenzustand von <math>\hat{H}</math>

zum Eigenwert <math>\frac{3\hbar \omega }{2}</math>

ist.

<u>'''Vollständige Induktion'''</u>

:<math>\hat{H}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math>

Dann:

:<math>\begin{align}

& \hat{H}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}\left| 0 \right\rangle =\left( {{a}^{+}}\hat{H}+\hbar \omega {{a}^{+}} \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \hat{H}+\hbar \omega  \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle  \\

& \left( \hat{H}+\hbar \omega  \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\left( \hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)+\hbar \omega  \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle  \\

& \Rightarrow \hat{H}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}\left| 0 \right\rangle ={{a}^{+}}\left( \hat{H}+\hbar \omega  \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\hbar \omega \left( n+1+\frac{1}{2} \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}\left| 0 \right\rangle  \\

\end{align}</math>

=====Normierung der Eigenzustände=====
:<math>{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math>

:

Der Grundzustand sei normiert:

:<math>\left\langle  0 | 0 \right\rangle =1</math>

Dann folgt für den n-ten angeregten Zustand:

:<math>\left| n \right\rangle ={{\alpha }_{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math>

mit Normierungsfaktor <math>{{\alpha }_{n}}</math>

:

:<math>\begin{align}

& 1=!=\left\langle  n | n \right\rangle ={{\left| {{\alpha }_{n}} \right|}^{2}}\left\langle  0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle  \\
& \left\langle  0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\left\langle  0 \right|{{a}^{n-1}}\left( {{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a+\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right] \right)\left| 0 \right\rangle  \\
\end{align}</math>

wegen
:<math>\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right]=n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}</math>

Somit:
:<math>\begin{align}
& \left\langle  0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\left\langle  0 \right|{{a}^{n-1}}\left( {{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a+\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right] \right)\left| 0 \right\rangle =\left\langle  0 \right|{{a}^{n-1}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a\left| 0 \right\rangle +n\left\langle  0 \right|{{a}^{n-1}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}\left| 0 \right\rangle  \\
& \left\langle  0 \right|{{a}^{n-1}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a\left| 0 \right\rangle =0 \\
& \Rightarrow n\left\langle  0 \right|{{a}^{n-1}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}a\left| 0 \right\rangle =n\left( n-1 \right)\left\langle  0 \right|{{a}^{n-2}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-2}}a\left| 0 \right\rangle \Rightarrow ...\Rightarrow  \\
\end{align}</math>

Dieser Algorithmus wird n- mal angewendet:

:<math>\Rightarrow \left\langle  0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a\left| 0 \right\rangle =n!\left\langle  0  |  0 \right\rangle =n!</math>

Somit folgt bis auf einen willkürlichen Phasenfaktor:
:<math>\left| n \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math>
für NORMIERTE EIGENZUSTÄNDE des harmonischen Oszillators
und diese gehören zu den Energiewerten
:<math>\begin{align}
& {{E}_{n}}=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) \\
& \hat{H}\left| n \right\rangle ={{E}_{n}}\left| n \right\rangle  \\
\end{align}</math>

<u>'''Quantensprechweise:'''</u>
:<math>{{E}_{n}}-{{E}_{n-1}}=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)-\hbar \omega \left( n-1+\frac{1}{2} \right)=\hbar \omega </math>
ist die Energie eines "Schwingungsquants". Man sagt auch, es IST ein Schwingungsquant!
:<math>\left| n \right\rangle </math>
ist ein Zustand mit n Schwingungsquanten (Phononen) der Frequenz <math>\omega </math>

:<math>a</math>
ist der Vernichtungsoperator für Schwingungsquanten
:<math>{{a}^{+}}</math>
der Erzeugungsoperator für Schwingungsquanten
:<math>\begin{align}
& a\left| n \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}a{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}\left\{ {{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a+\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right] \right\}\left| 0 \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}\left| 0 \right\rangle =\sqrt{n}\left| n-1 \right\rangle  \\
& {{a}^{+}}\left| n \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}\left| 0 \right\rangle =\sqrt{n+1}\left| n+1 \right\rangle  \\
\end{align}</math>

=====Teilchenzahloperator=====
:<math>\begin{align}
& N:={{a}^{+}}a \\
& N\left| n \right\rangle ={{a}^{+}}a\left| n \right\rangle ={{a}^{+}}\sqrt{n}\left| n-1 \right\rangle =\sqrt{n}\sqrt{n}\left| n \right\rangle =n\left| n \right\rangle  \\
\end{align}</math>

In Übereinstimmung mit
:<math>\hat{H}\left| n \right\rangle =\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)\left| n \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)\left| n \right\rangle </math>

=====Veranschaulichung=====
Die folgende Grafik demonstriert die äquidistanten Energieniveaus im Oszillatorpotenzial. Dabei werden die stationären Zustände <math>{{\left| \phi (x) \right|}^{2}}</math>
dargestellt, also als Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Die Bewegung eines Wellenpaketes im Harmonischen Oszillator, also im x²- Potenzial für <math>\sigma =\frac{0,5{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>,
 also mit einem <math>\sigma <\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>,
 wobei <math>\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>
das <math>\sigma </math>
des Grundzustands darstellt, sieht folgendermaßen aus:
Es ist das <math>\sigma =\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>
für die kohärenten / Glauber - Zustände
Das heißt: Die Standardabweichung des quantenmechanischen Oszillators ist kleiner als bei Berechnung über Glauberzustände (kohärente Zustände)

=====Zusammenhang mit der Ortsdarstellung=====
Bisher haben wir vollständig darstellungsfrei gerechnet! Nun soll die darstellungsfreie Rechnung durch Operatoren in expliziten Darstellungen ersetzt werden!
Mit <math>{{\phi }_{n}}(x)=\left\langle  x | n \right\rangle </math>
und <math>a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x}</math>
gilt:
:<math>a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\left( \frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \right){{\phi }_{n}}(x)</math>

:<math>\begin{align}
& \hat{\xi }:=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\
& \xi :=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}x \\
\end{align}</math>

:<math>\Rightarrow a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{n}}(\xi )</math>

Dabei gilt: <math>\begin{align}
& \hat{\xi }:=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\
& \xi :=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}x \\
\end{align}</math>
sind dimensionslose Größen, die sogenannten Normalkoordinaten!
In  <math>\Rightarrow a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{n}}(\xi )</math>
wird über <math>\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right)</math>
der Impulsanteil durch die Ortsdarstellung des Impulsoperators ersetzt.
Den Grundzustand gewinnt man leicht aus dem Ansatz <math>a\left| {{\phi }_{0}} \right\rangle =0</math>
mit <math>\left| {{\phi }_{0}} \right\rangle :=\left| 0 \right\rangle </math>

Wegen <math>a\left| 0 \right\rangle =0</math>
folgt für n=0:
:<math>\begin{align}
& 0=\left( \hat{\xi }+\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{0}}(\xi ) \\
& \Rightarrow \frac{d{{\phi }_{0}}}{{{\phi }_{0}}}=-\xi d\xi  \\
\end{align}</math>

Somit ergibt sich:
:<math>\begin{align}
& {{\phi }_{0}}(\xi )={{A}_{0}}{{e}^{\left( -\frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}} \\
& {{A}_{0}}={{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}} \\
\end{align}</math>

Wobei sich A0 aus der Normierung ergibt. Der Grundzustand im Oszillator ist also ein Gaußzustand, eine normierte Gaußglocke mit einer Halbwertsbreite, die in <math>\xi </math>
enthalten ist.
<u>'''Für die angeregten Zustände gilt:'''</u>
:<math>\begin{align}
& {{\phi }_{1}}(\xi )={{a}^{+}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{i\sqrt{2}}\left( \xi -\frac{d}{d\xi } \right){{\phi }_{0}}(\xi )=-\frac{1}{i\sqrt{2}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{d}{d\xi }\left( {{e}^{\left( -\frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}{{\phi }_{0}}(\xi ) \right) \\
& \Rightarrow {{\phi }_{1}}(\xi )=-\frac{1}{i\sqrt{2}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{d}{d\xi }\left( {{A}_{0}}{{e}^{\left( -{{\xi }^{2}} \right)}} \right) \\
& {{A}_{0}}={{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}} \\
\end{align}</math>

Die angeregten Zustände werden also einfach durch Anwendung des Aufsteigeoperators aus dem Grundzustand erzeugt!
Für den n-ten angeregten Zustand (Induktion!) damit:
:<math>\begin{align}
& {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}}{\sqrt{n!}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( \xi -\frac{d}{d\xi } \right)}^{n}}{{\phi }_{0}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}}\frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi  \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}} \\
& \frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}:={{A}_{n}} \\
& {{A}_{0}}={{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}} \\
& {{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi  \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}}:={{H}_{n}}(\xi ){{e}^{-\frac{{{\xi }^{2}}}{2}}} \\
\end{align}</math>

Dabei kann <math>\frac{1}{{{i}^{n}}}</math>
als Phasenfaktor (für die Wahrscheinlichkeit irrelevant) weggelassen werden
und <math>{{H}_{n}}</math>
bezeichnet die sogenannten Hermiteschen Polynome vom Grad n.
Die Eigenzustände des harmonischen Oszillators beinhalten also die Hermité- Polynome
:<math>\begin{align}
& {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{1}{{{i}^{n}}}\frac{{{A}_{0}}}{\sqrt{{{2}^{n}}n!}}{{\left( -1 \right)}^{n}}{{e}^{\left( \frac{{{\xi }^{2}}}{2} \right)}}\frac{{{d}^{n}}}{{{\left( d\xi  \right)}^{n}}}{{e}^{-{{\xi }^{2}}}} \\
& \Rightarrow {{\phi }_{n}}(\xi )=\frac{{{\left( \frac{m\omega }{\hbar \pi } \right)}^{\frac{1}{4}}}}{\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{n}}n!}}{{H}_{n}}(\xi ){{e}^{-\frac{{{\xi }^{2}}}{2}}} \\
\end{align}</math>

Explizit lauten diese Hermiteschen Polynome (wie aus obiger Relation berechnet werden kann):
:<math>\begin{align}
& {{H}_{0}}(\xi )=1 \\
& {{H}_{1}}(\xi )=2\xi  \\
& {{H}_{2}}(\xi )=4{{\xi }^{2}}-2 \\
& {{H}_{3}}(\xi )=2{{\xi }^{3}}-12\xi  \\
\end{align}</math>

Letztendlich bezeichnet
:<math>{{\left( -1 \right)}^{n}}</math>
die Parität von <math>{{\phi }_{n}}</math>

Die Wellenfunktionen im Oszillatorpotenzial (die Wurzeln der Wahrscheinlichkeiten) werden folgendermaßen schematisch dargestellt:


Für das Wasserstoffatom ergeben sich als Wellenfunktion die Kugelflächenfunktionen <math>{{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi )</math>.

Bei Polardiagrammen gibt dabei der Betrag des Radiusvektors, der das Diagramm zeichnet <math>r={{\left| {{Y}_{l}}^{m}(\vartheta ,\phi ) \right|}^{2}}</math>
das Betragsquadrat der Kugelflächenfunktion an.
Also die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons im Kraftfeld des Protons.
Dabei gibt es für verschiedene Drehimpulsquantenzahlen L verschiedene Wellenfunktionen zum gleichen Energieeigenwert. Die Niveaus sind (ohne den Spin) L+1 - fach entartet! die Charakterisierung erfolgt durch die magnetische Quantenzahl m