Editing
Das ideale Fermigas
Jump to navigation
Jump to search
Warning:
You are not logged in. Your IP address will be publicly visible if you make any edits. If you
log in
or
create an account
, your edits will be attributed to your username, along with other benefits.
Anti-spam check. Do
not
fill this in!
<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|5|2}}</noinclude> # Teilchen- Zustände sind die Eigenzustände zur 1- Teilchen- Energie Ei {{FB|Großkanonischer Statistischer Operator}}: :<math>\hat{\rho }={{Y}^{-1}}\exp \left( -\beta \left( \hat{H}-\mu \hat{N} \right) \right)</math> Die Wahrscheinlichkeit, das System in einem bestimmten Zustand zu finden ist gleich dem Erwartungswert des statistischen Operators in diesem Zustand: Also für den {{FB|Vielteilchenzustand}} <math>\left| \alpha \right\rangle </math>: :<math>{{E}_{\alpha }}^{ges.}=\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}{{E}_{j}}{{N}_{j}}</math> mit der Einteilchenenergie Ej und den Besetzungszahlen Nj Diese Wahrscheinlichkeit ist: :<math>{{P}_{\alpha }}=\left\langle \alpha \right|\hat{\rho }\left| \alpha \right\rangle ={{Y}^{-1}}\left\langle \alpha \right|\exp \left( -\beta \left( \hat{H}-\mu \hat{N} \right) \right)\left| \alpha \right\rangle ={{Y}^{-1}}\exp \left( -\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)</math> Dies ist ein Ergebnis für einen Zustand! Die {{FB|Großkanonsiche Zustandsumme}} Y gewinnt man, indem man über alle möglichen Vielteilchenzustände noch summiert, also: :<math>Y=\sum\limits_{{{N}_{1}}...{{N}_{l}}}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( \sum\limits_{{{N}_{j}}}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta \left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right) \right)</math> Jetzt muss bei der Auswertung die unterschiedliche Teilchenart berücksichtigt werden, nämlich in der Summation über Nj. Handelt es sich um Fermionen, so wird nur bis 1 summiert. Handelt es sich um Bosonen, so wird bis unendlich summiert! '''Fermionen''' :<math>\begin{align} & Y=\sum\limits_{{{N}_{1}}...{{N}_{l}}=0}^{1}{{}}\exp \left( -\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( \sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{1}{{}}\exp \left( -\beta \left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right) \right) \\ & =\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( \sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{1}{{}}{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}} \right) \\ & {{t}_{j}}:=\exp \left( -\beta \left( {{E}_{j}}-\mu \right) \right) \\ & Y=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( 1+{{t}_{j}} \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}{{Y}_{j}} \\ \end{align}</math> Also folgt: :<math>P\left( {{N}_{1}},...,{{N}_{l}} \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\frac{{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}}{\left( 1+{{t}_{j}} \right)}=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}P\left( {{N}_{j}} \right)</math> separiert!! Dies als Gesamtwahrscheinlichkeit, das System mit der Besetzung <math>\left( {{N}_{1}},...,{{N}_{l}} \right)</math> zu finden! <u>'''Mittlere Besetzungszahl '''</u>im Einteilchenzustand <math>{{E}_{j}}</math>: Aus <math>P\left( {{N}_{j}} \right)=\exp \left( {{\Psi }_{j}}-\beta {{E}_{j}}-\alpha {{N}_{j}} \right)</math> mit :<math>\begin{align} & {{\Psi }_{j}}=-\ln {{Y}_{j}}=-\ln \left( 1+{{t}_{j}} \right) \\ & \alpha =-\beta \mu \\ \end{align}</math> folgt: :<math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\frac{\partial {{\Psi }_{j}}}{\partial \alpha }=\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial \mu }\ln {{Y}_{j}}=\frac{{{t}_{j}}}{1+{{t}_{j}}}=\frac{1}{{{t}_{j}}^{-1}+1}</math> Also: {{Gln|<math>\Rightarrow \left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\frac{1}{\exp \left( \frac{{{E}_{j}}-\mu }{kT} \right)+1}</math> Die Fermi-Verteilung! |Fermi-Verteilung}} Dies folgt auch explizit aus :<math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\sum\limits_{{{N}_{1}}=0}^{1}{{}}\sum\limits_{{{N}_{2}}=0}^{1}{{}}...\left\{ {{N}_{j}}\frac{{{t}_{1}}^{{{N}_{1}}}}{1+{{t}_{1}}}...\frac{{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}}{1+{{t}_{j}}}.... \right\}=\sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{1}{{}}{{N}_{j}}.\frac{{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}}{1+{{t}_{j}}}=\frac{0{{t}_{j}}^{0}+1{{t}_{j}}}{1+{{t}_{j}}}=\frac{{{t}_{j}}}{1+{{t}_{j}}}</math> speziell folgt dies auch aus :<math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =p\left( {{N}_{j}}=1 \right)=\frac{{{t}_{j}}}{1+{{t}_{j}}}</math> aber nur wegen Nj = 0,1 * 2 Möglichkeiten! → Mittelwert liegt in der Mitte [[File:Fermi dirac distr.svg|miniatur|rechts besetzte und links unbesetzte Zustände]] FJ:<nowiki> Nj:=1/(1+exp((Ej-mue)/Boltz)); 1 Nj := --------------------- 1 + exp(1/5 Ej - 1/5) > Boltz:=5; Boltz := 5 > mue:=1; mue := 1 * plot(Nj,Ej=0..50);</nowiki>]] ;Für T → 0:<math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \to \Theta \left( \mu -{{E}_{j}} \right)</math> (Stufenfunktion), sogenannter Quantenlimes! ;T>0: Aufweichungszone bei <math>{{E}_{j}}\tilde{\ }\mu </math> der Breite <math>\approx kT</math> <math>{{E}_{j}}-\mu >>kT</math> (sehr hohe Energien) → <math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \tilde{\ }\exp \left( -\frac{{{E}_{j}}-\mu }{kT} \right)</math> * die Fermiverteilung nähert sich der Boltzmann- Verteilung an (klassischer Grenzfall!!) * keine Berücksichtigung des Pauli- Prinzips mehr! Beispiel einer Maxwell- Boltzmann- Verteilung sehr hoher Energien! ;Gesamte mittlere Teilchenzahl:<math>\bar{N}=\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle </math> ;thermische Zustandsgleichung:<math>pV=kT\ln Y=kT\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\ln {{Y}_{i}}=kT\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\ln \left( 1+\exp \left( \beta \left( \mu -{{E}_{j}} \right) \right) \right)</math> ==Energie und Zustandsdichte freier Teilchen== Energie- Eigenwerte: :<math>{{E}_{j}}=\frac{{{{\bar{k}}}^{2}}{{\hbar }^{2}}}{2m}</math> Das System sei in einem Würfel V = L³ eingeschlossen! Zyklische Randbedingungen (Born - v. Karman): :<math>\begin{align} & {{\Psi }_{j}}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{1}{\sqrt{V}}{{e}^{i\bar{k}\bar{r}}} \\ & {{k}_{a}}L=2\pi {{n}_{a}} \\ & {{n}_{a}}=\pm 1,\pm 2,\pm 3.... \\ & a=1,2,3 \\ \end{align}</math> Ein Zustand im k- Raum beansprucht also das Volumen: :<math>{{\left( \Delta k \right)}^{3}}={{\left( \frac{2\pi }{L} \right)}^{3}}\Delta {{n}_{1}}\Delta {{n}_{2}}\Delta {{n}_{3}}={{\left( \frac{2\pi }{L} \right)}^{3}}=\left( \frac{8{{\pi }^{3}}}{V} \right)</math> Dabei wurde jedoch kein Spin berücksichtigt! ====Thermodynamischer limes (großes Volumen V):==== '''Übergang zum {{FB|Quasikontinuum}}:''' :<math>\begin{align} & \sum\limits_{j}{{}}\to \left( \frac{V}{8{{\pi }^{3}}} \right)\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}k \\ & \bar{p}=\hbar \bar{k} \\ & \to \sum\limits_{j}{{}}\to \left( \frac{V}{8{{\pi }^{3}}{{\hbar }^{3}}} \right)\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}p=\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}p \\ \end{align}</math> In Übereinstimmung mit Kapitel 4.1, Seite 100 <u>'''Spinentartung:'''</u> (2s+1)- fache Entartung! '''Kugelsymmetrisches Integral:''' :<math>\to \sum\limits_{j}{{}}\to \left( \frac{V}{8{{\pi }^{3}}{{\hbar }^{3}}} \right)\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}p=\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}p=\left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{{}}^{{}}{{}}{{p}^{2}}dp</math> <u>'''Großkanonische Zustandssumme:'''</u> :<math>\begin{align} & \ln Y=\sum\limits_{j}{{}}\ln \left( 1+\xi {{e}^{-\beta {{E}_{j}}}} \right) \\ & \xi :={{e}^{\beta \mu }} \\ \end{align}</math> sogenannte {{FB|Fugizität}}! :<math>\begin{align} & \ln Y=\sum\limits_{j}{{}}\ln \left( 1+\xi {{e}^{-\beta {{E}_{j}}}} \right) \\ & \approx \left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}{{p}^{2}}dp\ln \left( 1+\xi {{e}^{-\beta {{E}_{j}}}} \right)=\left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}{{p}^{2}}dp\ln \left( 1+\xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right) \\ \end{align}</math> '''Partielle Integration:''' :<math>\begin{align} & \ln Y\approx \left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}{{p}^{2}}dp\ln \left( 1+\xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right) \\ & =\left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \left[ \left. \left( \frac{{{p}^{3}}}{3}\ln \left( 1+\xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right) \right) \right|_{0}^{\infty }-\int_{0}^{\infty }{{}}{{\frac{p}{3}}^{3}}\frac{-\beta \frac{p}{m}\xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}}{\left( 1+\xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right)}dp \right] \\ & \left. \left( \frac{{{p}^{3}}}{3}\ln \left( 1+\xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right) \right) \right|_{0}^{\infty }=0 \\ & \Rightarrow \ln Y=-\left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}{{\frac{p}{3}}^{3}}\frac{-\beta \frac{p}{m}\xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}}{\left( 1+\xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right)}dp=\frac{2}{3}\left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\frac{\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}{\left( \frac{1}{\xi }{{e}^{\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}+1 \right)} \\ & =\frac{2}{3}\beta \left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\left\langle N(p) \right\rangle \frac{{{p}^{2}}}{2m} \\ \end{align}</math> Mit der Fermi- Verteilung <math>\left\langle N(p) \right\rangle </math>, also: :<math>\ln Y=\frac{2}{3}\beta \left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\left\langle N(p) \right\rangle E(p)</math> <u>'''Diskret:'''</u> :<math>\begin{align} & \ln Y=\frac{2}{3}\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle {{E}_{j}}=\frac{2}{3}\beta U \\ & U=\left\langle {{E}^{ges.}} \right\rangle \\ \end{align}</math> Somit haben wir die '''thermische Zustands-Gleichung''' {{Gln|<math>pV=kT\ln Y=\frac{2}{3}U=\frac{2}{3}\left\langle {{E}^{ges.}} \right\rangle </math>|thermische Zustands Gleichung}} {{Bem|1='''Bemerkungen''' Dies gilt auch für ein klassisches ideales Gas! Klassisch: :<math>\begin{align} & pV=\bar{N}kT \\ & U=\frac{3}{2}\bar{N}kT \\ & \Rightarrow pV=\frac{2}{3}U \\ \end{align}</math> Später werden wir sehen: Das gilt auch für Bose- Verteilung!! Also '''unabhängig''' von der speziellen Statistik!}} ==Entartetes Fermi-Gas== Klassischer Grenzfall der Fermi- Verteilung: :<math>\left\langle N\left( p \right) \right\rangle =\frac{1}{\left( \frac{1}{\xi }{{e}^{\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}+1 \right)}\approx \xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}</math> (Maxwell- Boltzmann- Verteilung) für <math>\xi ={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}<<1\Rightarrow \mu <0</math> (stark verdünnt) * klassischer Limes! * Merke positives chemisches Potenzial ist ein QM- Grenzfall!! <u>'''Nichtklassischer Grenzfall ("Fermi- Entartung ")'''</u> <u>'''Für '''</u><math>\xi >>1</math> (Grenzfall hoher Dichte!) <u>'''Gesamte Teilchenzahl:'''</u> :<math>\bar{N}=\left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\frac{1}{\left( {{e}^{\beta \left( \frac{{{p}^{2}}}{2m}-\mu \right)}}+1 \right)}</math> <u>'''Innere Energie:'''</u> :<math>U=\left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\frac{\frac{{{p}^{2}}}{2m}}{\left( {{e}^{\beta \left( \frac{{{p}^{2}}}{2m}-\mu \right)}}+1 \right)}</math> <u>'''Substitution'''</u> :<math>\begin{align} & \frac{{{p}^{2}}}{2mkT}=y \\ & pdp=mkTdy \\ & \frac{\mu }{kT}=\eta =-\alpha \\ & \bar{N}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{1}{2}}}}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)} \\ & U=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}kT\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{3}{2}}}}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)} \\ \end{align}</math> ====Definition: Fermi- Dirac- Integral der Ordnung s:==== :<math>\begin{align} & {{F}_{s}}\left( \eta \right):=\frac{1}{\Gamma \left( s+1 \right)}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{s}}}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)} \\ & s>0 \\ \end{align}</math> <u>'''Entwicklung für'''</u> :<math>\eta >>1\Rightarrow \xi >>1</math>, also Entartung: :<math>\begin{align} & \Gamma \left( s+1 \right){{F}_{s}}\left( \eta \right):=\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{s}}}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)}=\frac{1}{s+1}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{d}{dy}\left( {{y}^{s+1}} \right)\frac{1}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)} \\ & =\frac{1}{s+1}\left. \left[ \left( {{y}^{s+1}} \right)\frac{1}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)} \right] \right|_{0}^{\infty }+\frac{1}{s+1}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{s+1}}\frac{{{e}^{y-\eta }}}{{{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)}^{2}}} \\ & \frac{1}{s+1}\left. \left[ \left( {{y}^{s+1}} \right)\frac{1}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)} \right] \right|_{0}^{\infty }=0 \\ \end{align}</math> weitere Substitution: :<math>\begin{align} & x=y-\eta \\ & \Rightarrow \Gamma \left( s+1 \right){{F}_{s}}\left( \eta \right)=\frac{1}{s+1}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{s+1}}\frac{{{e}^{y-\eta }}}{{{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{s+1}\int_{-\eta }^{\infty }{{}}dx{{\left( x+\eta \right)}^{s+1}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}} \\ & \eta >>1 \\ \end{align}</math> Somit kann man die Grenzen erweitern, da <math>\eta >>1</math> : :<math>\begin{align} & x=y-\eta \\ & \Rightarrow \Gamma \left( s+1 \right){{F}_{s}}\left( \eta \right)=\frac{1}{s+1}\int_{-\eta }^{\infty }{{}}dx{{\left( x+\eta \right)}^{s+1}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}\approx \frac{1}{s+1}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx{{\left( x+\eta \right)}^{s+1}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}+O\left( {{e}^{-\eta }} \right) \\ & O\left( {{e}^{-\eta }} \right)<<1 \\ \end{align}</math> Dies kann man durch Entwicklung von :<math>{{\left( x+\eta \right)}^{s+1}}</math> lösen: :<math>{{\left( x+\eta \right)}^{s+1}}\approx {{\left( \eta \right)}^{s+1}}+\left( s+1 \right){{\left( \eta \right)}^{s}}x+\frac{s\left( s+1 \right)}{2}{{\left( \eta \right)}^{s-1}}{{x}^{2}}+....</math> Somit: :<math>\begin{align} & \Gamma \left( s+1 \right){{F}_{s}}\left( \eta \right)=\frac{1}{s+1}\int_{-\eta }^{\infty }{{}}dx{{\left( x+\eta \right)}^{s+1}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}\approx \frac{1}{s+1}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx{{\left( x+\eta \right)}^{s+1}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}+O\left( {{e}^{-\eta }} \right) \\ & \approx \frac{1}{s+1}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx{{\left( \eta \right)}^{s+1}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}+\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx{{\left( \eta \right)}^{s}}x\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}+\frac{s}{2}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx{{\left( \eta \right)}^{s-1}}{{x}^{2}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}} \\ & =\frac{{{\left( \eta \right)}^{s+1}}}{s+1}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}+{{\left( \eta \right)}^{s}}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx\frac{x{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}+\frac{s}{2}{{\left( \eta \right)}^{s-1}}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx{{x}^{2}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}} \\ \end{align}</math> Für die Terme gilt im Einzelnen: :<math>\begin{align} & \int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}=\left[ \frac{-1}{\left( {{e}^{x}}+1 \right)} \right]_{-\infty }^{\infty }=1 \\ & \int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx\frac{x{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}=0\quad da\ Integrand\ ungerade \\ & \int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx{{x}^{2}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}:=I \\ \end{align}</math> Bleibt Integral I zu lösen: :<math>\begin{align} & I=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dx{{x}^{2}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}=2\int_{0}^{\infty }{{}}dx{{x}^{2}}\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}^{2}}}=-2\left[ {{x}^{2}}\frac{1}{\left( {{e}^{x}}+1 \right)} \right]_{0}^{\infty }+4\int_{0}^{\infty }{{}}dx\frac{x}{\left( {{e}^{x}}+1 \right)} \\ & \left[ {{x}^{2}}\frac{1}{\left( {{e}^{x}}+1 \right)} \right]_{0}^{\infty }=0 \\ & \int_{0}^{\infty }{{}}dx\frac{x}{\left( {{e}^{x}}+1 \right)}=\frac{{{\pi }^{2}}}{12} \\ & \Rightarrow I=\frac{{{\pi }^{2}}}{3} \\ \end{align}</math> Somit ergibt sich das Fermi- Dirac- Integral gemäß :<math>\begin{align} & \Gamma \left( s+1 \right){{F}_{s}}\left( \eta \right)\approx \frac{{{\left( \eta \right)}^{s+1}}}{s+1}+\frac{s}{2}{{\left( \eta \right)}^{s-1}}\frac{{{\pi }^{2}}}{3} \\ & \Gamma \left( s+1 \right){{F}_{s}}\left( \eta \right)=\frac{{{\left( \eta \right)}^{s+1}}}{s+1}+\frac{s}{2}{{\left( \eta \right)}^{s-1}}\frac{{{\pi }^{2}}}{3}+O\left( {{\left( \eta \right)}^{s-3}} \right) \\ & \Rightarrow {{F}_{s}}\left( \eta \right)=\frac{1}{\Gamma \left( s+1 \right)}\left[ \frac{{{\left( \eta \right)}^{s+1}}}{s+1}+\frac{s{{\pi }^{2}}}{6}{{\left( \eta \right)}^{s-1}}+O\left( {{\left( \eta \right)}^{s-3}} \right) \right] \\ \end{align}</math> '''Speziell:''' :<math>\begin{align} & {{F}_{\frac{1}{2}}}\left( \eta \right)\approx \frac{2}{\sqrt{\pi }}\left[ \frac{{{\left( \eta \right)}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}+\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \eta \right)}^{-\frac{1}{2}}} \right] \\ & {{F}_{\frac{3}{2}}}\left( \eta \right)\approx \frac{4}{3\sqrt{\pi }}\left[ \frac{{{\left( \eta \right)}^{\frac{5}{2}}}}{\frac{5}{2}}+\frac{{{\pi }^{2}}}{4}{{\left( \eta \right)}^{\frac{1}{2}}} \right] \\ \end{align}</math> Also: :<math>\begin{align} & \bar{N}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{1}{2}}}}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\left[ \frac{2}{3}{{\left( \frac{\mu }{kT} \right)}^{\frac{3}{2}}}+\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{\mu }{kT} \right)}^{-\frac{1}{2}}} \right] \\ & \Rightarrow \bar{N}=\frac{2}{3}\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2m\mu \right)}^{\frac{3}{2}}}\left[ 1+\frac{{{\pi }^{2}}}{8}{{\left( \frac{kT}{\mu } \right)}^{2}} \right] \\ \end{align}</math> <u>Definition: Fermi- Energie:</u> :<math>{{E}_{F}}:=\mu \left( T=0,\bar{N},V \right)</math> Bei T= 0 Kelvin sind die Zustände mit <math>E<{{E}_{F}}</math> voll besetzt, die anderen leer! Wir können dann <math>\mu \left( T=0,\bar{N},V \right)</math> durch <math>{{E}_{F}}</math> und <math>\bar{N}</math> eliminieren: <u>'''T→0'''</u> :<math>\begin{align} & \bar{N}=\frac{2}{3}\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2m\mu \right)}^{\frac{3}{2}}}\left[ 1+\frac{{{\pi }^{2}}}{8}{{\left( \frac{kT}{\mu } \right)}^{2}} \right]=\frac{2}{3}\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2m{{E}_{F}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \\ & \\ \end{align}</math> Für größere Temperaturen T>0 wird nun :<math>\begin{align} & \bar{N}=\frac{2}{3}\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2m{{E}_{F}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \\ & \\ \end{align}</math> in niedrigster Ordnung in <math>\frac{kT}{{{E}_{F}}}</math> entwickelt und diese Entwicklung dann eingesetzt in die Formel :<math>\begin{align} & \bar{N}=\frac{2}{3}\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2m\mu \right)}^{\frac{3}{2}}}\left[ 1+\frac{{{\pi }^{2}}}{8}{{\left( \frac{kT}{\mu } \right)}^{2}} \right]=\frac{2}{3}\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2m{{E}_{F}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \\ & \Rightarrow {{\left( \mu \right)}^{\frac{3}{2}}}\left[ 1+\frac{{{\pi }^{2}}}{8}{{\left( \frac{kT}{\mu } \right)}^{2}} \right]\approx {{\left( {{E}_{F}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \\ & \Rightarrow \mu \approx {{E}_{F}}{{\left[ 1+\frac{{{\pi }^{2}}}{8}{{\left( \frac{kT}{\mu } \right)}^{2}} \right]}^{-\frac{2}{3}}} \\ \end{align}</math> '''Jetzt wird '''in niedrigster Ordnung in <math>\frac{kT}{{{E}_{F}}}</math> entwickelt: Das heißt, für kT=1 zeigt µ über Ef etwa folgenden verlauf: '''die Kurve wird für höhere Temperaturen immer weiter auseinandergedehnt!''' <u>'''Innere Energie'''</u> :<math>\begin{align} & U=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}kT\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{3}{2}}}}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)} \\ & {{F}_{\frac{3}{2}}}\left( \eta \right)\approx \frac{4}{3\sqrt{\pi }}\left[ \frac{{{\left( \eta \right)}^{\frac{5}{2}}}}{\frac{5}{2}}+\frac{{{\pi }^{2}}}{4}{{\left( \eta \right)}^{\frac{1}{2}}} \right] \\ \end{align}</math> Also: :<math>\begin{align} & U=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2m \right)}^{\frac{3}{2}}}{{\left( kT \right)}^{\frac{5}{2}}}\left[ \frac{2}{5}{{\left( \frac{\mu }{kT} \right)}^{\frac{5}{2}}}+\frac{{{\pi }^{2}}}{4}{{\left( \frac{\mu }{kT} \right)}^{\frac{1}{2}}} \right] \\ & =\frac{2}{5}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \frac{\left( 2s+1 \right)}{2}{{\left( 2m \right)}^{\frac{3}{2}}}{{\left( \mu \right)}^{\frac{5}{2}}}\left[ 1+\frac{5}{2}\frac{{{\pi }^{2}}}{4}{{\left( \frac{kT}{\mu } \right)}^{2}} \right] \\ \end{align}</math> Verwende: So dass: :<math>\begin{align} & U=\frac{2}{5}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \frac{\left( 2s+1 \right)}{2}{{\left( 2m \right)}^{\frac{3}{2}}}{{\left( \mu \right)}^{\frac{5}{2}}}\left[ 1+\frac{5}{2}\frac{{{\pi }^{2}}}{4}{{\left( \frac{kT}{\mu } \right)}^{2}} \right] \\ & \approx \frac{2}{5}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \frac{\left( 2s+1 \right)}{2}{{\left( 2m \right)}^{\frac{3}{2}}}{{\left( {{E}_{F}} \right)}^{\frac{5}{2}}}{{\left[ 1-\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right]}^{\frac{5}{2}}}\left[ 1+\frac{5}{2}\frac{{{\pi }^{2}}}{4}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right] \\ \end{align}</math> Mit :<math>\bar{N}=\frac{2}{3}\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2m{{E}_{F}} \right)}^{\frac{3}{2}}}</math> folgt: :<math>\begin{align} & U\approx \frac{2}{5}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \frac{\left( 2s+1 \right)}{2}{{\left( 2m \right)}^{\frac{3}{2}}}{{\left( {{E}_{F}} \right)}^{\frac{5}{2}}}{{\left[ 1-\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right]}^{\frac{5}{2}}}\left[ 1+\frac{5}{2}\frac{{{\pi }^{2}}}{4}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right] \\ & \frac{2}{5}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \frac{\left( 2s+1 \right)}{2}{{\left( 2m \right)}^{\frac{3}{2}}}{{\left( {{E}_{F}} \right)}^{\frac{5}{2}}}\approx \frac{3}{5}\bar{N}{{E}_{F}} \\ & {{\left[ 1-\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right]}^{\frac{5}{2}}}\left[ 1+\frac{5}{2}\frac{{{\pi }^{2}}}{4}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right]\approx 1+5\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \\ & \Rightarrow U\approx \frac{3}{5}\bar{N}{{E}_{F}}\left[ 1+5\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right] \\ \end{align}</math> Somit haben wir die '''kalorische Zustandsgleichung''' :<math>U\approx \frac{3}{5}\bar{N}{{E}_{F}}\left[ 1+5\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right]</math> und die '''thermische Zustandsgleichung''' :<math>pV=\frac{2}{3}U\approx \frac{2}{5}\bar{N}{{E}_{F}}\left[ 1+5\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}} \right]</math> Das bedeutet: Der Druck des fermigases ist um einen Faktor <math>\frac{{{E}_{F}}}{kT}</math> größer als in klassischen idealen Gasen Beispiel: :<math>{{E}_{F}}\approx 1eV\Rightarrow T\tilde{\ }{{10}^{4}}K</math> 1 eV entspricht 10.000 K!! '''Grund ''' ist das Pauli- Prinzip!! Also eine effektive Abstoßung der Teilchen! Dies bewirkt für niedrige Temperaturen den enormen Faktor :<math>\frac{{{E}_{F}}}{kT}</math> , mit dem der Druck gegenüber dem idealen Gas zu multiplizieren ist. Für sehr hohe Temperaturen überwiegt dann der hintere teil, und es gilt: Der Fermidruck ist etwa :<math>pV=\frac{2}{3}U\approx \frac{2}{5}\bar{N}{{E}_{F}}5\frac{{{\pi }^{2}}}{12}{{\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)}^{2}}=\frac{{{\pi }^{2}}}{6}\bar{N}kT\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)</math> Also auch größer als beim klassischen idealen Gas, nämlich um den Faktor <math>\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)</math> ! == Spezifische Wärme == :<math>\begin{align} & {{C}_{V}}={{\left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)}_{V}}=\frac{{{\pi }^{2}}}{2}\bar{N}k\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right) \\ & {{c}_{V}}=\frac{{{\pi }^{2}}}{2}R\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)\tilde{\ }T \\ \end{align}</math> Die Wärmekapazität ist sage und schreibe um den Faktor <math>\left( \frac{kT}{{{E}_{F}}} \right)</math> kleiner als bei idealen gasen. Bei T ~ 300 K ist dies 1/ 40! ideales Gas: :<math>{{c}_{V}}=\frac{3}{2}R</math> Physikalsicher Grund: Nur die Teilchen in der " Aufweichungszone" :<math>{{E}_{F}}-kT<E<{{E}_{F}}+kT</math> tragen zur spezifischen Wärme bei, da nur sie in freie Zustände thermisch angeregt werden könen : Zahl: :<math>\Delta N\tilde{\ }\bar{N}\frac{kT}{{{E}_{F}}}</math> jedes hat Energie ~ kT :<math>\begin{align} & \Rightarrow \Delta U\tilde{\ }\bar{N}\frac{{{\left( kT \right)}^{2}}}{{{E}_{F}}} \\ & \Rightarrow {{C}_{v}}\tilde{\ }\bar{N}k\frac{\left( kT \right)}{{{E}_{F}}} \\ \end{align}</math> <u>Beispiele für entartete Fermigase</u> * Elektronen in Metallen → hohe Dichten! * Elektronen in Halbleitern, bei sehr tiefen Temperaturen oder hoher Dotierung! ==Nichtenatartetes fermigas== verdünntes, nichtrelativistisches Quantengas! z.B. Elektronen in Halbleitern im Normalbereich! '''Voraussetzung:''' :<math>\xi ={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}<<1</math> das heißt: :<math>\begin{align} & \mu <0 \\ & \eta =\frac{\mu }{kT}<0 \\ \end{align}</math> <u>'''Entwicklung der Fermi- Dirac- Integrale nach Potenzen von '''</u><math>\xi ={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}<<1</math> : :<math>\begin{align} & {{F}_{s}}\left( \eta \right)=\frac{1}{\Gamma \left( s+1 \right)}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{s}}}{{{e}^{y-\eta }}+1} \\ & =\frac{1}{\Gamma \left( s+1 \right)}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{s}}\frac{\xi {{e}^{-y}}}{1+\xi {{e}^{-y}}}\approx \frac{1}{\Gamma \left( s+1 \right)}\left[ \xi \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{s}}{{e}^{-y}}-{{\xi }^{2}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{s}}{{e}^{-2y}}+.... \right] \\ & \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{s}}{{e}^{-y}}=\Gamma \left( s+1 \right) \\ & \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{s}}{{e}^{-2y}}=\frac{1}{{{2}^{s+1}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dz{{z}^{s}}{{e}^{-z}}=\frac{1}{{{2}^{s+1}}}\Gamma \left( s+1 \right) \\ & \Rightarrow {{F}_{s}}\left( \eta \right)\approx \left[ \xi -{{\xi }^{2}}\frac{1}{{{2}^{s+1}}}+.... \right]\approx \left[ \xi -{{\xi }^{2}}\frac{1}{{{2}^{s+1}}} \right]={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1-{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\frac{1}{{{2}^{s+1}}} \right] \\ \end{align}</math> '''Dabei ist''' :<math>{{F}_{s}}\left( \eta \right)={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}</math> das Boltzman- Limit mit der Quantenkorrektur <math>-{{e}^{2\frac{\mu }{kT}}}\frac{1}{{{2}^{s+1}}}</math> Also: :<math>\bar{N}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\frac{\sqrt{\pi }}{2}{{F}_{\frac{1}{2}}}\left( \eta \right)=V{{N}_{C}}{{F}_{\frac{1}{2}}}\left( \frac{\mu }{kT} \right)</math> mit der Entartungskonzentration :<math>{{N}_{C}}:=\left( 2s+1 \right){{\left( \frac{2\pi mkT}{{{h}^{2}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}</math> Also genähert: :<math>\bar{N}=V{{N}_{C}}{{F}_{\frac{1}{2}}}\left( \frac{\mu }{kT} \right)\approx V{{N}_{C}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1-{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\frac{1}{{{2}^{\frac{3}{2}}}} \right]</math> Bei vollständiger Nichtentartung: :<math>\begin{align} & \frac{{\bar{N}}}{V}\approx {{N}_{C}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}} \\ & {{e}^{\frac{\mu }{kT}}}<<1 \\ & \frac{{\bar{N}}}{V}<<{{N}_{C}} \\ \end{align}</math> Die klassische Maxwell- Boltzmann- Verteilung (vergl. S. 101) :<math>\begin{align} & U=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}kT\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{3}{2}}}}{\left( {{e}^{y-\eta }}+1 \right)}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi {{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}kT\frac{3\sqrt{\pi }}{4}{{F}_{\frac{3}{2}}}\left( \frac{\mu }{kT} \right) \\ & U=V{{N}_{C}}\frac{3}{2}kT{{F}_{\frac{3}{2}}}\left( \frac{\mu }{kT} \right) \\ & U\approx V{{N}_{C}}\frac{3}{2}kT{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1-{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}} \right] \\ \end{align}</math> '''Elimination von '''<math>\mu </math> durch <math>\bar{N}=V{{N}_{C}}{{F}_{\frac{1}{2}}}\left( \frac{\mu }{kT} \right)\approx V{{N}_{C}}\xi \left[ 1-\xi {{2}^{-\frac{3}{2}}} \right]</math> # Näherung: :<math>\bar{N}=V{{N}_{C}}\xi </math> # Näherung :<math>\begin{align} & \bar{N}=V{{N}_{C}}\xi \left[ 1-{{2}^{-\frac{3}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}} \right] \\ & \Rightarrow \xi ={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\approx \frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}}\left[ 1+{{2}^{-\frac{3}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}} \right] \\ & \Rightarrow U\approx V{{N}_{C}}\frac{3}{2}kT{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1-{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}} \right]\approx \frac{3}{2}kT\bar{N}\left[ 1+{{2}^{-\frac{3}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}} \right]\left[ 1-\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}} \right] \\ \end{align}</math> :<math>U\approx \frac{3}{2}kT\bar{N}\left[ 1+{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)} \right]</math> Dabei wurden alle Terme der Ordnung <math>{{\left( \frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)} \right)}^{2}}</math> weggenähert! Also: kalorische Zustandsgleichung :<math>U\approx \frac{3}{2}kT\bar{N}\left[ 1+{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)} \right]</math> mit der Quantenkorrektur <math>O\left( \frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)} \right)</math> :<math>\frac{3}{2}kT\bar{N}{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)}</math> '''thermische Zustandsgleichung''' :<math>pV=\frac{2}{3}U\approx kT\bar{N}\left[ 1+{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)} \right]</math> Also: :<math>pv\approx RT\left[ 1+{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{{N}_{A}}}{v{{N}_{C}}(T)} \right]</math> Dabei ist :<math>pv\approx RT</math> die Zustandsgleichung des klassischen idealen Gases und <math>RT{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{{N}_{A}}}{v{{N}_{C}}(T)}</math> eine Erhöhung des klassischen Drucks durch die Fermi- Abstoßung! '''Nebenbemerkung:''' Mit der {{FB|thermischen Wellenlänge}} <math>\lambda :={{\left( \frac{{{h}^{2}}}{2\pi mkT} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math> entsprechend der {{FB|de Broglie-Wellenlänge}} für <math>\frac{{{k}^{2}}{{\hbar }^{2}}}{2m}\tilde{\ }kT\Rightarrow \lambda ={{\left( \frac{{{h}^{2}}}{2mkT} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math> E= kT also, schreibt man: :<math>{{N}_{C}}=\frac{2s+1}{{{\lambda }^{3}}}</math>
Summary:
Please note that all contributions to testwiki are considered to be released under the Creative Commons Attribution (see
Testwiki:Copyrights
for details). If you do not want your writing to be edited mercilessly and redistributed at will, then do not submit it here.
You are also promising us that you wrote this yourself, or copied it from a public domain or similar free resource.
Do not submit copyrighted work without permission!
Cancel
Editing help
(opens in new window)
Templates used on this page:
Template:Anker
(
edit
)
Template:Anker/code
(
edit
)
Template:Bem
(
edit
)
Template:FB
(
edit
)
Template:Gln
(
edit
)
Template:ScriptProf
(
edit
)
Template:Scripthinweis
(
edit
)
Template:Scriptnav
(
edit
)
Navigation menu
Personal tools
Not logged in
Talk
Contributions
Log in
Namespaces
Page
Discussion
English
Views
Read
Edit
Edit source
View history
More
Search
Navigation
Main page
Recent changes
Random page
Physikerwelt
Tools
What links here
Related changes
Special pages
Page information