Editing Das ideale Bosegas

<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|5|3}}</noinclude>


Rechnung geht analog zum Fermigas, nur dass die Besetzungszahlen Nj bis unendlich laufen können:

:<math>\begin{align}
  & Y=\sum\limits_{{{N}_{1}}...{{N}_{l}}=0}^{\infty }{{}}\exp \left( -\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( \sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{{}}\exp \left( -\beta \left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right) \right) \\ 
 & =\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( \sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{{}}{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}} \right) \\ 
 & {{t}_{j}}:=\exp \left( -\beta \left( {{E}_{j}}-\mu  \right) \right) \\ 
 & Y=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\frac{1}{1-{{t}_{j}}}=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}{{Y}_{j}} \\ 
\end{align}</math>

Die geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn <math>{{t}_{j}}<1</math>,
 also wenn <math>{{E}_{j}}>\mu </math>

à Bose - Einstein- Kondensation erfolgt bereits, wenn Ej=µ!

Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, die Besetzungszahlen N1, N2,.... der Einteilchenzustände E1, E2,.... zu finden:

:<math>\begin{align}
  & P\left( {{N}_{1}},{{N}_{2}},... \right)={{Y}^{-1}}\exp \left( -\beta \left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( 1-{{t}_{j}} \right){{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}p\left( {{N}_{j}} \right) \\ 
 & (separiert) \\ 
 &  \\ 
 & p\left( {{N}_{j}} \right)=\left( 1-{{t}_{j}} \right){{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}=\left( 1-\exp \left( \beta \left( \mu -{{E}_{j}} \right) \right) \right)\exp \left( -\beta \left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right) \\ 
 & 1-\exp \left( \beta \left( \mu -{{E}_{j}} \right) \right):={{e}^{{{\Psi }_{j}}}} \\ 
 & p\left( {{N}_{j}} \right)={{e}^{{{\Psi }_{j}}}}\exp \left( -\beta \left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right) \\ 
\end{align}</math>


Mittlere Besetzungszahl im Zustand Ej:

:<math>\begin{align}
  & \left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\frac{\partial {{\Psi }_{j}}}{\partial \alpha }=\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial \mu }\ln {{Y}_{j}}=-\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial \mu }\ln \left( 1-{{t}_{j}} \right)=\frac{{{t}_{j}}}{1-{{t}_{j}}}=\frac{1}{{{t}_{j}}^{-1}-1} \\ 
 & \left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\frac{1}{\exp \left( \beta \left( {{E}_{j}}-\mu  \right) \right)-1}=\frac{1}{\exp \left( \frac{\left( {{E}_{j}}-\mu  \right)}{kT} \right)-1} \\ 
\end{align}</math>


0.1.1	Bose- Verteilung

Die Bose- Verteilung folgt auch explizit aus
:<math>\begin{align}
  & \left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{{}}{{N}_{j}}p({{N}_{j}})=\sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{{}}{{N}_{j}}\left( 1-{{t}_{j}} \right){{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}=\left( 1-{{t}_{j}} \right){{t}_{j}}\frac{d}{d{{t}_{j}}}\sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{{}}{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}} \\ 
 & =\left( 1-{{t}_{j}} \right){{t}_{j}}\frac{d}{d{{t}_{j}}}\left( \frac{1}{1-{{t}_{j}}} \right)=\left( 1-{{t}_{j}} \right){{t}_{j}}\left( \frac{1}{{{\left( 1-{{t}_{j}} \right)}^{2}}} \right)=\frac{{{t}_{j}}}{\left( 1-{{t}_{j}} \right)} \\ 
\end{align}</math>




Die Verteilung divergiert für Ej → µ. Das heißt: Die Zustandssumme Yj divergiert für Ej→µ

Vergleich aller drei Verteilungen:
:<math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\frac{1}{\exp \left( \frac{\left( {{E}_{j}}-\mu  \right)}{kT} \right)-k}\left\{ \begin{matrix}
   k=1  \\
   k=0  \\
   k=-1  \\
\end{matrix} \right.</math>


mit k=-1 → Fermi - Dirac- Statistik
k=0 → Maxwell- Boltzmann
k=  + 1   →   Bose - Einstein!




Übergang zum Quasikontinuum der Zustände: <math>E=\frac{{{p}^{2}}}{2m}</math>

Fugazität: <math>\xi ={{e}^{\beta \mu }}</math>

:<math>\begin{align}
  & \ln Y=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\ln {{Y}_{j}}=-\sum\limits_{j}^{{}}{{}}\ln \left( 1-\zeta {{e}^{-\beta {{E}_{j}}}} \right) \\ 
 & \approx -\left( 2s+1 \right)\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\ln \left( 1-\zeta {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right) \\ 
 & =-\left( 2s+1 \right)\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}\left[ \frac{{{p}^{3}}}{3}\ln \left( 1-\zeta {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right)_{0}^{\infty }-\int_{0}^{\infty }{{}}dp\frac{{{p}^{3}}}{3}\frac{\beta \frac{p}{m}\zeta {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}}{\left( 1-\zeta {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right)} \right] \\ 
 & \frac{{{p}^{3}}}{3}\ln \left( 1-\zeta {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right)_{0}^{\infty }=0 \\ 
 & \Rightarrow \ln Y=\frac{2}{3}\beta \left( 2s+1 \right)\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\frac{\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}{\left( \frac{1}{\zeta }{{e}^{\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}-1 \right)}=\frac{2}{3}\beta \left( 2s+1 \right)\frac{V}{{{h}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dp4\pi {{p}^{2}}\left\langle N(p) \right\rangle E(p) \\ 
 & \Rightarrow \ln Y=\frac{2}{3}\beta \left( 2s+1 \right)\frac{V}{{{h}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dp4\pi {{p}^{2}}\left\langle N(p) \right\rangle E(p)=\frac{2}{3}\beta U \\ 
\end{align}</math>

somit folgt:

:<math>pV=kT\ln Y=\frac{2}{3}U</math>

also identisch zum fermigas! (S. 131)

0.1.2	Verdünntes Bosegas

(quasiklassischer, nicht entarteter Grenzfall)

Nebenbemerkung:  Entartetetes Bosegas hoher Dichte kann nicht wie im Fermifall behandelt werden, da die Zustandssumme für Ej < µ  divergiert!

Entwicklung nach Potenzen von 
:<math>\xi ={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}<<1</math>

also:
:<math>\mu <0</math>


Gesamte Teilchenzahl:




:<math>\begin{align}
  & \bar{N}=\sum\limits_{j}^{{}}{{}}\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \approx \left( 2s+1 \right)\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\frac{1}{\exp \left( \frac{\left( {{E}_{j}}-\mu  \right)}{kT} \right)-1}=\left( 2s+1 \right)\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\frac{1}{\exp \left( \frac{\left( \frac{{{p}^{2}}}{2m}-\mu  \right)}{kT} \right)-1} \\ 
 & \frac{{{p}^{2}}}{2mkT}=y \\ 
 & \Rightarrow \bar{N}=\sum\limits_{j}^{{}}{{}}\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \approx \left( 2s+1 \right)\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\frac{1}{\exp \left( \frac{\left( \frac{{{p}^{2}}}{2m}-\mu  \right)}{kT} \right)-1} \\  
 & =\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}{{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{1}{2}}}}{{{\xi }^{-1}}\exp \left( y \right)-1}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}{{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{1}{2}}}\frac{\xi {{e}^{-y}}}{1-\xi {{e}^{-y}}} \\ 
 & \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{1}{2}}}\frac{\xi {{e}^{-y}}}{1-\xi {{e}^{-y}}}\approx \xi \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{1}{2}}}{{e}^{-y}}+{{\xi }^{2}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{1}{2}}}{{e}^{-2y}}+.... \\ 
 & \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{1}{2}}}{{e}^{-y}}=\frac{1}{2}\sqrt{\pi } \\ 
 & \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{1}{2}}}{{e}^{-2y}}=\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\sqrt{\pi } \\ 
 & \Rightarrow \bar{N}\approx \frac{\left( 2s+1 \right)}{4}\frac{4V}{{{h}^{3}}}{{\left( 2\pi mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\left[ \xi +\frac{1}{{{2}^{\frac{3}{2}}}}{{\xi }^{2}} \right] \\ 
 & \lambda :={{\left( \frac{{{h}^{2}}}{2\pi mkT} \right)}^{\frac{1}{2}}}={{\left( \frac{2s+1}{{{N}_{C}}} \right)}^{\frac{1}{3}}} \\ 
 & \Rightarrow \bar{N}\approx \left( 2s+1 \right)\frac{V}{{{\lambda }^{3}}}\xi \left[ 1+\frac{1}{{{2}^{\frac{3}{2}}}}\xi  \right]=\left( 2s+1 \right)\frac{V}{{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1+\frac{1}{{{2}^{\frac{3}{2}}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}} \right] \\ 
\end{align}</math>

Wobei wieder die thermische Wellenlänge eingesetzt wurde.
Auch hier:


:<math>\Delta \bar{N}=\left( 2s+1 \right)\frac{V}{{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\frac{1}{{{2}^{\frac{3}{2}}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}</math>
 als Quantenkorrektur


Elimination von <math>\mu </math>
durch <math>\bar{N}</math>
:

0.	Näherung: 
:<math>\bar{N}=\left( 2s+1 \right)\frac{V}{{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}</math>
 
1. Näherung:
:<math>\begin{align}
  & \bar{N}=\left( 2s+1 \right)\frac{V}{{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1+\frac{1}{{{2}^{\frac{3}{2}}}}\frac{\bar{N}{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)} \right] \\ 
 & \Rightarrow {{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\approx \frac{\bar{N}{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)}\left[ 1-\frac{1}{{{2}^{\frac{3}{2}}}}\frac{\bar{N}{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)} \right] \\ 
\end{align}</math>


Innere Energie:
:<math>\begin{align}
  & U=\left( 2s+1 \right)\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\frac{\frac{{{p}^{2}}}{2m}}{\exp \left( \frac{\left( \frac{{{p}^{2}}}{2m}-\mu  \right)}{kT} \right)-1} \\ 
 & \frac{{{p}^{2}}}{2mkT}=y \\ 
 & \Rightarrow U=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}{{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}kT}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{3}{2}}}\frac{\xi {{e}^{-y}}}{1-\xi {{e}^{-y}}} \\ 
 & \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{3}{2}}}\frac{\xi {{e}^{-y}}}{1-\xi {{e}^{-y}}}\approx \xi \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{3}{2}}}{{e}^{-y}}+{{\xi }^{2}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{1}{2}}}{{e}^{-2y}}+.... \\ 
 & \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{3}{2}}}{{e}^{-y}}=\frac{3}{4}\sqrt{\pi } \\ 
 & \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{3}{2}}}{{e}^{-2y}}=\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{3}{4}\sqrt{\pi } \\ 
 & \Rightarrow U\approx \frac{3}{2}kTV\frac{\left( 2s+1 \right)}{{{h}^{3}}}{{\left( 2\pi mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\left[ \xi +\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}{{\xi }^{2}} \right] \\ 
 & \lambda :={{\left( \frac{{{h}^{2}}}{2\pi mkT} \right)}^{\frac{1}{2}}}={{\left( \frac{2s+1}{{{N}_{C}}} \right)}^{\frac{1}{3}}} \\ 
 & \Rightarrow U\approx \frac{3}{2}\left( 2s+1 \right)\frac{VkT}{{{\lambda }^{3}}}\xi \left[ 1+\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\xi  \right]=\frac{3}{2}\left( 2s+1 \right)kT\frac{V}{{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1+\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}} \right] \\ 
\end{align}</math>

Also folgt als kalorische Zustandsgleichung:

:<math>\begin{align}
  & U\approx \frac{3}{2}\left( 2s+1 \right)\frac{VkT}{{{\lambda }^{3}}}\xi \left[ 1+\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\xi  \right]=\frac{3}{2}\left( 2s+1 \right)kT\frac{V}{{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1+\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}} \right]= \\ 
 &  \\ 
 & \Rightarrow U\approx \frac{3}{2}kT\bar{N}\left[ 1-\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)}\bar{N} \right] \\ 
\end{align}</math>

Mit der Quantenkorrektur





:<math>\Delta U\approx -\frac{3}{2}kT\bar{N}\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)}\bar{N}</math>


thermische Zustandsgleichung
:<math>pV=\frac{2}{3}U=kT\bar{N}\left[ 1-\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)}\bar{N} \right]</math>

Hier wird der Druck um die Quantenkorrektur

:<math>\Delta pV=-kT\bar{N}\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)}\bar{N}</math>
 verringert.
Dies ist die sogenannte Bose- Anziehung! → Bildung von Bose - Einstein- Kondensaten!

0.1.3	Bose- Einstein- Kondensation

Grundzustand des Bosegases: Eo=0 (Verschiebung der Achse geeignet)

Somit:
:<math>\begin{align}
  & \left\langle {{N}_{0}} \right\rangle =\frac{1}{{{\xi }^{-1}}-1}=\frac{\xi }{1-\xi } \\ 
 & \xi ={{e}^{\beta \mu }} \\ 
\end{align}</math>

Fugazität

Die mittlere Besetzungszahl dieses Quantenzustandes kann makroskopisch groß werden für <math>\xi \approx 1</math>

:<math>\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle \approx \bar{N}</math>

(alle Teilchen kondensieren im grundzustand)

Allgemein:

:<math>\begin{align}
  & \bar{N}=\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle +N\acute{\ } \\ 
 & N\acute{\ }=\sum\limits_{j>0}^{{}}{{}}\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle  \\ 
\end{align}</math>

1)	Normale Phase:
:<math>\xi ={{e}^{\beta \mu }}<<1</math>

:<math>\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle </math>
 ist vernachlässigbar! → verdünntes Bosegas, siehe oben, S. 140 ff.

2)	kondensierte Phase

:<math>\xi \approx 1</math>

:<math>N\acute{\ }=\sum\limits_{j>0}^{{}}{{}}\frac{1}{{{e}^{\beta {{E}_{j}}}}-1}<<\bar{N}</math>

unabhängig von  <math>\xi ={{e}^{\beta \mu }}</math>
!

Kontinuierlicher Fall:



:<math>\frac{N\acute{\ }}{V}\approx \left( 2s+1 \right)\frac{2\pi }{{{h}^{3}}}{{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{1}{2}}}}{{{e}^{y}}-1}\approx \left( 2s+1 \right){{\left( \frac{2\pi mkT}{{{h}^{2}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}\frac{2}{\sqrt{\pi }}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{e}^{-y}}{{y}^{\frac{1}{2}}}</math>

Vergl. S. 141
:<math>\begin{align}
  & \frac{N\acute{\ }}{V}\approx \left( 2s+1 \right)\frac{2\pi }{{{h}^{3}}}{{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{1}{2}}}}{{{e}^{y}}-1}\approx \left( 2s+1 \right){{\left( \frac{2\pi mkT}{{{h}^{2}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}\frac{2}{\sqrt{\pi }}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{e}^{-y}}{{y}^{\frac{1}{2}}} \\ 
 & \frac{2}{\sqrt{\pi }}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{e}^{-y}}{{y}^{\frac{1}{2}}}=1 \\ 
 & {{\left( \frac{2\pi mkT}{{{h}^{2}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}={{\lambda }^{-3}} \\ 
\end{align}</math>

Dabei ist dies der NICHT kondensierte Anteil, eine normale Komponente, die sich wie verdünntes Bosegas verhält!
:<math>\begin{align}
  & \frac{N\acute{\ }}{V}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{{{\lambda }^{3}}}\tilde{\ }{{T}^{\frac{3}{2}}} \\ 
 & \Rightarrow \frac{N\acute{\ }}{{\bar{N}}}={{\left( \frac{T}{{{T}_{C}}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \\ 
\end{align}</math>

Die kritische Temperatur ist definiert durch

:<math>\frac{V}{{\bar{N}}}\frac{\left( 2s+1 \right)}{\lambda {{\left( {{T}_{C}} \right)}^{3}}}=!=1</math>


Somit ergibt sich der Bruchteil der Kondensierten Teilchen:

:<math>\begin{align}
  & \frac{\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle }{{\bar{N}}}=1-{{\left( \frac{T}{{{T}_{C}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}\quad f\ddot{u}r\quad T<{{T}_{C}} \\ 
 & \frac{\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle }{{\bar{N}}}=0\quad f\ddot{u}r\quad T>{{T}_{C}} \\ 
\end{align}</math>



Das markierte Gebiet ist das Gebiet der Bose- Einstein-Kondensation! 
Bei zweikomponentigen Gasen liegt eine normale und ein kondensierte Komponente vor.
Dann wird der Druck nur durch die normale Komponente alleine bestimmt!
Vergleiche dazu auch: Dampfdruck  über einer Flüssigkeit!

Phasenübegang bei <math>{{T}_{C}}</math>
:
normale Phase - >Kondensierte Phase 
Vorgang der Bose- Einstein- Kondensation 
è	ein makroskopisches Quantenphänomen!

Anwendung:

Die suprafluide Phase von <math>^{4}He</math>
bei tiefen Temperaturen ähnelt einer 2- komponentigen Flüssigkeit aus normaler und kondensierter Komponente!