Editing Das ideale Bosegas
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Latest revision | Your text | ||
Line 11: | Line 11: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Die geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn <math>{{t}_{j}}<1</math>, also wenn <math>{{E}_{j}}>\mu </math> | Die geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn <math>{{t}_{j}}<1</math> | ||
, also wenn <math>{{E}_{j}}>\mu </math> | |||
à Bose - Einstein- Kondensation erfolgt bereits, wenn Ej=µ! | à Bose - Einstein- Kondensation erfolgt bereits, wenn Ej=µ ! | ||
Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, die Besetzungszahlen N1, N2,.... der Einteilchenzustände E1, E2,.... zu finden: | Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, die Besetzungszahlen N1, N2, .... der Einteilchenzustände E1, E2,.... zu finden: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
Line 35: | Line 36: | ||
0.1.1 Bose- Verteilung | |||
Die Bose- Verteilung folgt auch explizit aus | Die Bose- Verteilung folgt auch explizit aus | ||
Line 58: | Line 59: | ||
mit k=-1 → Fermi - Dirac- Statistik | mit k=-1 → Fermi - Dirac- Statistik | ||
k=0 → Maxwell- Boltzmann | k=0 → Maxwell- Boltzmann | ||
k= + 1 → Bose - Einstein! | k= + 1 → Bose - Einstein ! | ||
Line 80: | Line 81: | ||
:<math>pV=kT\ln Y=\frac{2}{3}U</math> | :<math>pV=kT\ln Y=\frac{2}{3}U</math> | ||
also identisch zum fermigas! (S. 131) | also identisch zum fermigas ! ( S. 131) | ||
0.1.2 Verdünntes Bosegas | |||
(quasiklassischer, nicht entarteter Grenzfall) | ( quasiklassischer, nicht entarteter Grenzfall) | ||
Nebenbemerkung: Entartetetes Bosegas hoher Dichte kann nicht wie im Fermifall behandelt werden, da die Zustandssumme für Ej < µ divergiert! | Nebenbemerkung: Entartetetes Bosegas hoher Dichte kann nicht wie im Fermifall behandelt werden, da die Zustandssumme für Ej < µ divergiert ! | ||
Entwicklung nach Potenzen von | Entwicklung nach Potenzen von | ||
Line 172: | Line 173: | ||
:<math>\Delta pV=-kT\bar{N}\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)}\bar{N}</math> | :<math>\Delta pV=-kT\bar{N}\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)}\bar{N}</math> | ||
verringert. | verringert. | ||
Dies ist die sogenannte Bose- Anziehung! → Bildung von Bose - Einstein- Kondensaten! | Dies ist die sogenannte Bose- Anziehung ! → Bildung von Bose - Einstein- Kondensaten ! | ||
0.1.3 Bose- Einstein- Kondensation | |||
Grundzustand des Bosegases: Eo=0 (Verschiebung der Achse geeignet) | Grundzustand des Bosegases: Eo=0 ( Verschiebung der Achse geeignet ) | ||
Somit: | Somit: | ||
Line 190: | Line 191: | ||
:<math>\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle \approx \bar{N}</math> | :<math>\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle \approx \bar{N}</math> | ||
(alle Teilchen kondensieren im grundzustand) | ( alle Teilchen kondensieren im grundzustand ) | ||
Allgemein: | Allgemein: | ||
Line 203: | Line 204: | ||
:<math>\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle </math> | :<math>\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle </math> | ||
ist vernachlässigbar! → verdünntes Bosegas, siehe oben, S. 140 ff. | ist vernachlässigbar ! → verdünntes Bosegas, siehe oben, S. 140 ff. | ||
2) kondensierte Phase | 2) kondensierte Phase | ||
Line 211: | Line 212: | ||
:<math>N\acute{\ }=\sum\limits_{j>0}^{{}}{{}}\frac{1}{{{e}^{\beta {{E}_{j}}}}-1}<<\bar{N}</math> | :<math>N\acute{\ }=\sum\limits_{j>0}^{{}}{{}}\frac{1}{{{e}^{\beta {{E}_{j}}}}-1}<<\bar{N}</math> | ||
unabhängig von <math>\xi ={{e}^{\beta \mu }}</math>! | unabhängig von <math>\xi ={{e}^{\beta \mu }}</math> | ||
! | |||
Kontinuierlicher Fall: | Kontinuierlicher Fall: | ||
Line 226: | Line 228: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Dabei ist dies der | Dabei ist dies der NICHT kondensierte Anteil, eine normale Komponente, die sich wie verdünntes Bosegas verhält ! | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \frac{N\acute{\ }}{V}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{{{\lambda }^{3}}}\tilde{\ }{{T}^{\frac{3}{2}}} \\ | & \frac{N\acute{\ }}{V}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{{{\lambda }^{3}}}\tilde{\ }{{T}^{\frac{3}{2}}} \\ | ||
Line 232: | Line 234: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Die kritische Temperatur ist definiert durch | |||
:<math>\frac{V}{{\bar{N}}}\frac{\left( 2s+1 \right)}{\lambda {{\left( {{T}_{C}} \right)}^{3}}}=!=1</math> | :<math>\frac{V}{{\bar{N}}}\frac{\left( 2s+1 \right)}{\lambda {{\left( {{T}_{C}} \right)}^{3}}}=!=1</math> | ||
Line 246: | Line 248: | ||
Das markierte Gebiet ist das Gebiet der Bose- Einstein-Kondensation! | Das markierte Gebiet ist das Gebiet der Bose- Einstein-Kondensation ! | ||
Bei zweikomponentigen Gasen liegt eine normale und ein kondensierte Komponente vor. | Bei zweikomponentigen Gasen liegt eine normale und ein kondensierte Komponente vor. | ||
Dann wird der Druck nur durch die normale Komponente alleine bestimmt! | Dann wird der Druck nur durch die normale Komponente alleine bestimmt ! | ||
Vergleiche dazu auch: Dampfdruck über einer Flüssigkeit! | Vergleiche dazu auch: Dampfdruck über einer Flüssigkeit ! | ||
Phasenübegang bei <math>{{T}_{C}}</math>: | Phasenübegang bei <math>{{T}_{C}}</math> | ||
: | |||
normale Phase - >Kondensierte Phase | normale Phase - >Kondensierte Phase | ||
Vorgang der Bose- Einstein- Kondensation | Vorgang der Bose- Einstein- Kondensation | ||
è ein makroskopisches Quantenphänomen! | è ein makroskopisches Quantenphänomen ! | ||
Anwendung: | Anwendung: | ||
Die suprafluide Phase von <math>^{4}He</math> | Die suprafluide Phase von <math>^{4}He</math> | ||
bei tiefen Temperaturen ähnelt einer 2- komponentigen Flüssigkeit aus normaler und kondensierter Komponente! | bei tiefen Temperaturen ähnelt einer 2- komponentigen Flüssigkeit aus normaler und kondensierter Komponente ! |