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Das ideale Bosegas
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<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|5|3}}</noinclude> Rechnung geht analog zum Fermigas, nur dass die Besetzungszahlen Nj bis unendlich laufen können: :<math>\begin{align} & Y=\sum\limits_{{{N}_{1}}...{{N}_{l}}=0}^{\infty }{{}}\exp \left( -\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( \sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{{}}\exp \left( -\beta \left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right) \right) \\ & =\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( \sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{{}}{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}} \right) \\ & {{t}_{j}}:=\exp \left( -\beta \left( {{E}_{j}}-\mu \right) \right) \\ & Y=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\frac{1}{1-{{t}_{j}}}=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}{{Y}_{j}} \\ \end{align}</math> Die geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn <math>{{t}_{j}}<1</math>, also wenn <math>{{E}_{j}}>\mu </math> à Bose - Einstein- Kondensation erfolgt bereits, wenn Ej=µ! Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, die Besetzungszahlen N1, N2,.... der Einteilchenzustände E1, E2,.... zu finden: :<math>\begin{align} & P\left( {{N}_{1}},{{N}_{2}},... \right)={{Y}^{-1}}\exp \left( -\beta \left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( 1-{{t}_{j}} \right){{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}p\left( {{N}_{j}} \right) \\ & (separiert) \\ & \\ & p\left( {{N}_{j}} \right)=\left( 1-{{t}_{j}} \right){{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}=\left( 1-\exp \left( \beta \left( \mu -{{E}_{j}} \right) \right) \right)\exp \left( -\beta \left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right) \\ & 1-\exp \left( \beta \left( \mu -{{E}_{j}} \right) \right):={{e}^{{{\Psi }_{j}}}} \\ & p\left( {{N}_{j}} \right)={{e}^{{{\Psi }_{j}}}}\exp \left( -\beta \left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right) \\ \end{align}</math> Mittlere Besetzungszahl im Zustand Ej: :<math>\begin{align} & \left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\frac{\partial {{\Psi }_{j}}}{\partial \alpha }=\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial \mu }\ln {{Y}_{j}}=-\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial \mu }\ln \left( 1-{{t}_{j}} \right)=\frac{{{t}_{j}}}{1-{{t}_{j}}}=\frac{1}{{{t}_{j}}^{-1}-1} \\ & \left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\frac{1}{\exp \left( \beta \left( {{E}_{j}}-\mu \right) \right)-1}=\frac{1}{\exp \left( \frac{\left( {{E}_{j}}-\mu \right)}{kT} \right)-1} \\ \end{align}</math> == Bose- Verteilung == Die Bose- Verteilung folgt auch explizit aus :<math>\begin{align} & \left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{{}}{{N}_{j}}p({{N}_{j}})=\sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{{}}{{N}_{j}}\left( 1-{{t}_{j}} \right){{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}=\left( 1-{{t}_{j}} \right){{t}_{j}}\frac{d}{d{{t}_{j}}}\sum\limits_{{{N}_{j}}=0}^{\infty }{{}}{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}} \\ & =\left( 1-{{t}_{j}} \right){{t}_{j}}\frac{d}{d{{t}_{j}}}\left( \frac{1}{1-{{t}_{j}}} \right)=\left( 1-{{t}_{j}} \right){{t}_{j}}\left( \frac{1}{{{\left( 1-{{t}_{j}} \right)}^{2}}} \right)=\frac{{{t}_{j}}}{\left( 1-{{t}_{j}} \right)} \\ \end{align}</math> Die Verteilung divergiert für Ej → µ. Das heißt: Die Zustandssumme Yj divergiert für Ej→µ Vergleich aller drei Verteilungen: :<math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\frac{1}{\exp \left( \frac{\left( {{E}_{j}}-\mu \right)}{kT} \right)-k}\left\{ \begin{matrix} k=1 \\ k=0 \\ k=-1 \\ \end{matrix} \right.</math> mit k=-1 → Fermi - Dirac- Statistik k=0 → Maxwell- Boltzmann k= + 1 → Bose - Einstein! Übergang zum Quasikontinuum der Zustände: <math>E=\frac{{{p}^{2}}}{2m}</math> Fugazität: <math>\xi ={{e}^{\beta \mu }}</math> :<math>\begin{align} & \ln Y=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\ln {{Y}_{j}}=-\sum\limits_{j}^{{}}{{}}\ln \left( 1-\zeta {{e}^{-\beta {{E}_{j}}}} \right) \\ & \approx -\left( 2s+1 \right)\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\ln \left( 1-\zeta {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right) \\ & =-\left( 2s+1 \right)\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}\left[ \frac{{{p}^{3}}}{3}\ln \left( 1-\zeta {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right)_{0}^{\infty }-\int_{0}^{\infty }{{}}dp\frac{{{p}^{3}}}{3}\frac{\beta \frac{p}{m}\zeta {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}}{\left( 1-\zeta {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right)} \right] \\ & \frac{{{p}^{3}}}{3}\ln \left( 1-\zeta {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}} \right)_{0}^{\infty }=0 \\ & \Rightarrow \ln Y=\frac{2}{3}\beta \left( 2s+1 \right)\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\frac{\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}{\left( \frac{1}{\zeta }{{e}^{\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}-1 \right)}=\frac{2}{3}\beta \left( 2s+1 \right)\frac{V}{{{h}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dp4\pi {{p}^{2}}\left\langle N(p) \right\rangle E(p) \\ & \Rightarrow \ln Y=\frac{2}{3}\beta \left( 2s+1 \right)\frac{V}{{{h}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dp4\pi {{p}^{2}}\left\langle N(p) \right\rangle E(p)=\frac{2}{3}\beta U \\ \end{align}</math> somit folgt: :<math>pV=kT\ln Y=\frac{2}{3}U</math> also identisch zum fermigas! (S. 131) == Verdünntes Bosegas == (quasiklassischer, nicht entarteter Grenzfall) Nebenbemerkung: Entartetetes Bosegas hoher Dichte kann nicht wie im Fermifall behandelt werden, da die Zustandssumme für Ej < µ divergiert! Entwicklung nach Potenzen von :<math>\xi ={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}<<1</math> also: :<math>\mu <0</math> Gesamte Teilchenzahl: :<math>\begin{align} & \bar{N}=\sum\limits_{j}^{{}}{{}}\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \approx \left( 2s+1 \right)\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\frac{1}{\exp \left( \frac{\left( {{E}_{j}}-\mu \right)}{kT} \right)-1}=\left( 2s+1 \right)\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\frac{1}{\exp \left( \frac{\left( \frac{{{p}^{2}}}{2m}-\mu \right)}{kT} \right)-1} \\ & \frac{{{p}^{2}}}{2mkT}=y \\ & \Rightarrow \bar{N}=\sum\limits_{j}^{{}}{{}}\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \approx \left( 2s+1 \right)\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\frac{1}{\exp \left( \frac{\left( \frac{{{p}^{2}}}{2m}-\mu \right)}{kT} \right)-1} \\ & =\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}{{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{1}{2}}}}{{{\xi }^{-1}}\exp \left( y \right)-1}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}{{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{1}{2}}}\frac{\xi {{e}^{-y}}}{1-\xi {{e}^{-y}}} \\ & \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{1}{2}}}\frac{\xi {{e}^{-y}}}{1-\xi {{e}^{-y}}}\approx \xi \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{1}{2}}}{{e}^{-y}}+{{\xi }^{2}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{1}{2}}}{{e}^{-2y}}+.... \\ & \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{1}{2}}}{{e}^{-y}}=\frac{1}{2}\sqrt{\pi } \\ & \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{1}{2}}}{{e}^{-2y}}=\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\sqrt{\pi } \\ & \Rightarrow \bar{N}\approx \frac{\left( 2s+1 \right)}{4}\frac{4V}{{{h}^{3}}}{{\left( 2\pi mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\left[ \xi +\frac{1}{{{2}^{\frac{3}{2}}}}{{\xi }^{2}} \right] \\ & \lambda :={{\left( \frac{{{h}^{2}}}{2\pi mkT} \right)}^{\frac{1}{2}}}={{\left( \frac{2s+1}{{{N}_{C}}} \right)}^{\frac{1}{3}}} \\ & \Rightarrow \bar{N}\approx \left( 2s+1 \right)\frac{V}{{{\lambda }^{3}}}\xi \left[ 1+\frac{1}{{{2}^{\frac{3}{2}}}}\xi \right]=\left( 2s+1 \right)\frac{V}{{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1+\frac{1}{{{2}^{\frac{3}{2}}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}} \right] \\ \end{align}</math> Wobei wieder die thermische Wellenlänge eingesetzt wurde. Auch hier: :<math>\Delta \bar{N}=\left( 2s+1 \right)\frac{V}{{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\frac{1}{{{2}^{\frac{3}{2}}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}</math> als Quantenkorrektur Elimination von <math>\mu </math> durch <math>\bar{N}</math> : 0. Näherung: :<math>\bar{N}=\left( 2s+1 \right)\frac{V}{{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}</math> 1. Näherung: :<math>\begin{align} & \bar{N}=\left( 2s+1 \right)\frac{V}{{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1+\frac{1}{{{2}^{\frac{3}{2}}}}\frac{\bar{N}{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)} \right] \\ & \Rightarrow {{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\approx \frac{\bar{N}{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)}\left[ 1-\frac{1}{{{2}^{\frac{3}{2}}}}\frac{\bar{N}{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)} \right] \\ \end{align}</math> Innere Energie: :<math>\begin{align} & U=\left( 2s+1 \right)\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\frac{\frac{{{p}^{2}}}{2m}}{\exp \left( \frac{\left( \frac{{{p}^{2}}}{2m}-\mu \right)}{kT} \right)-1} \\ & \frac{{{p}^{2}}}{2mkT}=y \\ & \Rightarrow U=\frac{\left( 2s+1 \right)}{2}\frac{4\pi V}{{{h}^{3}}}{{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}kT}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{3}{2}}}\frac{\xi {{e}^{-y}}}{1-\xi {{e}^{-y}}} \\ & \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{3}{2}}}\frac{\xi {{e}^{-y}}}{1-\xi {{e}^{-y}}}\approx \xi \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{3}{2}}}{{e}^{-y}}+{{\xi }^{2}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{1}{2}}}{{e}^{-2y}}+.... \\ & \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{3}{2}}}{{e}^{-y}}=\frac{3}{4}\sqrt{\pi } \\ & \int_{0}^{\infty }{{}}dy{{y}^{\frac{3}{2}}}{{e}^{-2y}}=\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{3}{4}\sqrt{\pi } \\ & \Rightarrow U\approx \frac{3}{2}kTV\frac{\left( 2s+1 \right)}{{{h}^{3}}}{{\left( 2\pi mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\left[ \xi +\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}{{\xi }^{2}} \right] \\ & \lambda :={{\left( \frac{{{h}^{2}}}{2\pi mkT} \right)}^{\frac{1}{2}}}={{\left( \frac{2s+1}{{{N}_{C}}} \right)}^{\frac{1}{3}}} \\ & \Rightarrow U\approx \frac{3}{2}\left( 2s+1 \right)\frac{VkT}{{{\lambda }^{3}}}\xi \left[ 1+\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\xi \right]=\frac{3}{2}\left( 2s+1 \right)kT\frac{V}{{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1+\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}} \right] \\ \end{align}</math> Also folgt als kalorische Zustandsgleichung: :<math>\begin{align} & U\approx \frac{3}{2}\left( 2s+1 \right)\frac{VkT}{{{\lambda }^{3}}}\xi \left[ 1+\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\xi \right]=\frac{3}{2}\left( 2s+1 \right)kT\frac{V}{{{\lambda }^{3}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}}\left[ 1+\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}{{e}^{\frac{\mu }{kT}}} \right]= \\ & \\ & \Rightarrow U\approx \frac{3}{2}kT\bar{N}\left[ 1-\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)}\bar{N} \right] \\ \end{align}</math> Mit der Quantenkorrektur :<math>\Delta U\approx -\frac{3}{2}kT\bar{N}\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)}\bar{N}</math> thermische Zustandsgleichung :<math>pV=\frac{2}{3}U=kT\bar{N}\left[ 1-\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)}\bar{N} \right]</math> Hier wird der Druck um die Quantenkorrektur :<math>\Delta pV=-kT\bar{N}\frac{1}{{{2}^{\frac{5}{2}}}}\frac{{{\lambda }^{3}}}{V\left( 2s+1 \right)}\bar{N}</math> verringert. Dies ist die sogenannte Bose- Anziehung! → Bildung von Bose - Einstein- Kondensaten! == Bose- Einstein- Kondensation == Grundzustand des Bosegases: Eo=0 (Verschiebung der Achse geeignet) Somit: :<math>\begin{align} & \left\langle {{N}_{0}} \right\rangle =\frac{1}{{{\xi }^{-1}}-1}=\frac{\xi }{1-\xi } \\ & \xi ={{e}^{\beta \mu }} \\ \end{align}</math> Fugazität Die mittlere Besetzungszahl dieses Quantenzustandes kann makroskopisch groß werden für <math>\xi \approx 1</math> :<math>\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle \approx \bar{N}</math> (alle Teilchen kondensieren im grundzustand) Allgemein: :<math>\begin{align} & \bar{N}=\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle +N\acute{\ } \\ & N\acute{\ }=\sum\limits_{j>0}^{{}}{{}}\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \\ \end{align}</math> 1) Normale Phase: :<math>\xi ={{e}^{\beta \mu }}<<1</math> :<math>\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle </math> ist vernachlässigbar! → verdünntes Bosegas, siehe oben, S. 140 ff. 2) kondensierte Phase :<math>\xi \approx 1</math> :<math>N\acute{\ }=\sum\limits_{j>0}^{{}}{{}}\frac{1}{{{e}^{\beta {{E}_{j}}}}-1}<<\bar{N}</math> unabhängig von <math>\xi ={{e}^{\beta \mu }}</math>! Kontinuierlicher Fall: :<math>\frac{N\acute{\ }}{V}\approx \left( 2s+1 \right)\frac{2\pi }{{{h}^{3}}}{{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{1}{2}}}}{{{e}^{y}}-1}\approx \left( 2s+1 \right){{\left( \frac{2\pi mkT}{{{h}^{2}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}\frac{2}{\sqrt{\pi }}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{e}^{-y}}{{y}^{\frac{1}{2}}}</math> Vergl. S. 141 :<math>\begin{align} & \frac{N\acute{\ }}{V}\approx \left( 2s+1 \right)\frac{2\pi }{{{h}^{3}}}{{\left( 2mkT \right)}^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dy\frac{{{y}^{\frac{1}{2}}}}{{{e}^{y}}-1}\approx \left( 2s+1 \right){{\left( \frac{2\pi mkT}{{{h}^{2}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}\frac{2}{\sqrt{\pi }}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{e}^{-y}}{{y}^{\frac{1}{2}}} \\ & \frac{2}{\sqrt{\pi }}\int_{0}^{\infty }{{}}dy{{e}^{-y}}{{y}^{\frac{1}{2}}}=1 \\ & {{\left( \frac{2\pi mkT}{{{h}^{2}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}={{\lambda }^{-3}} \\ \end{align}</math> Dabei ist dies der '''nicht''' kondensierte Anteil, eine normale Komponente, die sich wie verdünntes Bosegas verhält! :<math>\begin{align} & \frac{N\acute{\ }}{V}=\frac{\left( 2s+1 \right)}{{{\lambda }^{3}}}\tilde{\ }{{T}^{\frac{3}{2}}} \\ & \Rightarrow \frac{N\acute{\ }}{{\bar{N}}}={{\left( \frac{T}{{{T}_{C}}} \right)}^{\frac{3}{2}}} \\ \end{align}</math> {{Def|Die kritische Temperatur ist definiert durch :<math>\frac{V}{{\bar{N}}}\frac{\left( 2s+1 \right)}{\lambda {{\left( {{T}_{C}} \right)}^{3}}}=!=1</math>|kritische Temperatur}} Somit ergibt sich der Bruchteil der Kondensierten Teilchen: :<math>\begin{align} & \frac{\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle }{{\bar{N}}}=1-{{\left( \frac{T}{{{T}_{C}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}\quad f\ddot{u}r\quad T<{{T}_{C}} \\ & \frac{\left\langle {{N}_{0}} \right\rangle }{{\bar{N}}}=0\quad f\ddot{u}r\quad T>{{T}_{C}} \\ \end{align}</math> Das markierte Gebiet ist das Gebiet der Bose- Einstein-Kondensation! Bei zweikomponentigen Gasen liegt eine normale und ein kondensierte Komponente vor. Dann wird der Druck nur durch die normale Komponente alleine bestimmt! Vergleiche dazu auch: Dampfdruck über einer Flüssigkeit! Phasenübegang bei <math>{{T}_{C}}</math>: normale Phase - >Kondensierte Phase Vorgang der Bose- Einstein- Kondensation è ein makroskopisches Quantenphänomen! Anwendung: Die suprafluide Phase von <math>^{4}He</math> bei tiefen Temperaturen ähnelt einer 2- komponentigen Flüssigkeit aus normaler und kondensierter Komponente!
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