Editing Das Zweikörperproblem
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Latest revision | Your text | ||
Line 4: | Line 4: | ||
Idee: | Idee: | ||
f Freiheitsgrade | f Freiheitsgrade -> f Differenzialgleichungen 2. Ordnung | ||
* 2f Integrationskonstanten nötig! (jeweils zweifaches Integrieren). (Anfangsbedingungen). | * 2f Integrationskonstanten nötig ! ( jeweils zweifaches Integrieren). ( Anfangsbedingungen). | ||
* Also existieren auch 2f Integrale der Bewegung | * Also existieren auch 2f Integrale der Bewegung | ||
Line 12: | Line 12: | ||
<math>{{I}_{r}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...{{\dot{q}}_{f}})={{c}_{r}}\quad \quad r=1,...2f</math> | |||
Line 18: | Line 18: | ||
<math>{{q}_{k}}={{q}_{k}}({{c}_{1}},...,{{c}_{2f}},t)\quad \quad k=1,...,f</math> | |||
Line 25: | Line 25: | ||
Beispiel: Zweikörperproblem | Beispiel: Zweikörperproblem | ||
2 Massen, m1 und m2 unter dem Einfluss Ihrer inneren Wechselwirkung: V(|r1-r2|) (Zentralpotenzial). | 2 Massen, m1 und m2 unter dem Einfluss Ihrer inneren Wechselwirkung: V(|r1-r2|) ( Zentralpotenzial). | ||
Beispiel: Sonne / Erde unter Gravitationswechselwirkung | Beispiel: Sonne / Erde unter Gravitationswechselwirkung | ||
Line 37: | Line 37: | ||
# V(|r1-r2|) ist translationsinvariant. | # V(|r1-r2|) ist translationsinvariant. | ||
Somit ist der Impuls: | Somit ist der Impuls: | ||
<math>\bar{P}={{\bar{p}}_{1}}+{{\bar{p}}_{2}}</math> | |||
=konstant | =konstant | ||
Der Schwerpunkt: | Der Schwerpunkt: | ||
<math>\bar{R}=\frac{1}{M}\bar{P}t+{{\bar{R}}_{0}}</math> | |||
bewegt sich gleichförmig und geradlinig. | bewegt sich gleichförmig und geradlinig. | ||
Dies folgt aus: | Dies folgt aus: | ||
<math>M\dot{\bar{R}}=\bar{P}=const</math> | |||
Line 51: | Line 51: | ||
Somit sind 6 Integrationskonstanten gefunden: | Somit sind 6 Integrationskonstanten gefunden: | ||
<math>\bar{P},\bar{R}</math> | |||
# V(|r1-r2|) ist rotationsinvariant: | # V(|r1-r2|) ist rotationsinvariant: | ||
Damit ist der Drehimpuls | Damit ist der Drehimpuls | ||
<math>\bar{l}={{m}_{1}}{{\bar{r}}_{1}}\times {{\bar{v}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar{r}}_{2}}\times {{\bar{v}}_{2}}=const</math> | |||
Es sind drei weitere Integrationskonstanten | Es sind drei weitere Integrationskonstanten | ||
<math>\bar{l}</math> | |||
gefunden. | gefunden. | ||
Line 66: | Line 66: | ||
<math>E=\frac{1}{2}{{m}_{1}}{{\bar{v}}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}{{m}_{2}}{{\bar{v}}_{2}}^{2}+V\left( \left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right| \right)=const</math> | |||
Line 73: | Line 73: | ||
Insgesamt sind 10 Integrale der Bewegung gefunden. Es bleiben nur 2 Integrationskonstanten, nämlich der Nullpunkt der Zeit- und Winkelskala. Diese ergeben sich aus den ANfangsbedingungen. | Insgesamt sind 10 Integrale der Bewegung gefunden. Es bleiben nur 2 Integrationskonstanten, nämlich der Nullpunkt der Zeit- und Winkelskala. Diese ergeben sich aus den ANfangsbedingungen. | ||
====Impuls- und Drehimpulserhaltung==== | |||
Lagrange- Formulierung: | |||
<math>L=T-V=\frac{1}{2}{{m}_{1}}{{\bar{v}}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}{{m}_{2}}{{\bar{v}}_{2}}^{2}-V\left( \left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right| \right)</math> | |||
Verallgeminerte Koordinaten: Schwerpunktskoordinaten: | |||
<math>\left( \begin{matrix} | |||
{{q}_{1}} \\ | |||
{{q}_{2}} \\ | |||
{{q}_{3}} \\ | |||
\end{matrix} \right):=\bar{R}=\frac{1}{M}({{m}_{1}}{{\bar{r}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar{r}}_{2}})</math> | |||
Schwerpunktskoordinate | |||
<math>\left( \begin{matrix} | |||
{{q}_{4}} \\ | |||
{{q}_{5}} \\ | |||
{{q}_{6}} \\ | |||
\end{matrix} \right):=\bar{r}={{\bar{r}}_{1}}-{{\bar{r}}_{2}}</math> | |||
Relativkoordinate | |||
Die Umkehrung liefert dann die gesuchten Größen: | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{{\bar{r}}}_{1}}=\bar{R}+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\bar{r}}}_{{}}}\quad \quad {{{\bar{r}}}_{2}}=\bar{R}-\frac{{{m}_{1}}}{M}\bar{r} \\ | |||
& {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}=\dot{\bar{R}}+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}}\quad \quad {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}=\dot{\bar{R}}-\frac{{{m}_{1}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}} \\ | |||
& L=\frac{M}{2}{{{\dot{\bar{R}}}}^{2}}+\frac{1}{2}m{{{\dot{\bar{r}}}}^{2}}-V(r) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Dabei bezeichnet | |||
<math>r:=\left| {\bar{r}} \right|</math> | |||
den Abstand und | |||
<math>m=\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}</math> | |||
die relative Masse | |||
<math>L=\frac{M}{2}{{\dot{\bar{R}}}^{2}}+\frac{1}{2}m{{\dot{\bar{r}}}^{2}}-V(r)</math> | |||
<math>\bar{R}</math> | |||
ist zyklische Koordinate: | |||
<math>\frac{\partial L}{\partial {{R}_{k}}}=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{R}}}_{k}}}=M{{\dot{R}}_{k}}={{P}_{k}}=const</math> | |||
mit k= x,y,z | |||
<math>\Rightarrow \bar{R}=\frac{1}{M}\bar{P}t+{{\bar{R}}_{0}}</math> | |||
Verwende das Schwerpunktsystem als Inertialsystem: | |||
o.B.d.A: | |||
<math>\bar{R}=\dot{\bar{R}}=0</math> | |||
Damit ergibt sich die vereinfachte Lagrangegleichung | |||
<math>L=\frac{1}{2}m{{\dot{\bar{r}}}^{2}}-V(r)</math> | |||
mit: | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{{\bar{r}}}_{1}}=+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\bar{r}}}_{{}}}\quad \quad {{{\bar{r}}}_{2}}=-\frac{{{m}_{1}}}{M}\bar{r} \\ | |||
& {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}=+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}}\quad \quad {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}=-\frac{{{m}_{1}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Der Drehimpuls berechnet sich gemäß: | |||
<math>\bar{l}={{m}_{1}}{{\bar{r}}_{1}}\times {{\bar{v}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar{r}}_{2}}\times {{\bar{v}}_{2}}=\left( \frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}^{2}}{{{M}^{2}}}+\frac{{{m}_{2}}{{m}_{1}}^{2}}{{{M}^{2}}} \right)\bar{r}\times \dot{\bar{r}}=m\bar{r}\times \dot{\bar{r}}=const</math> | |||
(Rotationsinvarianz) | |||
Somit folgt aber auch (zyklische Vertauschbarkeit): | |||
<math>\bar{l}\cdot \bar{r}=\bar{l}\cdot \dot{\bar{r}}=0</math> | |||
Beide, Radiusvektor und Geschwindigkeitsvektor | |||
<math>\bar{r},\dot{\bar{r}}</math> | |||
liegen in der Ebene senkrecht zu | |||
<math>\bar{l}</math> | |||
( Im Schwerpunktsystem). | |||
Übergang zu Polarkoordinaten. Wir legen das Koordinatensystem so, dass der Drehimpuls parallel zur z- Achse zeigt: | |||
<math>\begin{align} | |||
& x=r\cos \phi \quad \dot{x}=\dot{r}\cos \phi -r\dot{\phi }\sin \phi \\ | |||
& y=r\sin \phi \quad \dot{y}=\dot{r}\sin \phi +r\dot{\phi }\cos \phi \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Somit: | |||
<math>{{\dot{\bar{r}}}^{2}}={{\dot{x}}^{2}}+{{\dot{y}}^{2}}=...={{\dot{r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot{\phi }}^{2}}</math> | |||
Nun wählen wir neue verallgemeinerte Koordinaten statt x,y : | |||
<math>\left( r,\phi \right)</math> | |||
<math>L=\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}} \right)-V(r)</math> | |||
<math>\phi </math> | |||
ist zyklische Koordinate: | |||
<math>\frac{\partial L}{\partial \phi }=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}=m{{r}^{2}}\dot{\phi }=l=const</math> | |||
Hier: l = lz, da lx = ly =0 | |||
Also: | |||
<math>m{{r}^{2}}\dot{\phi }={{l}_{z}}=m(x\dot{y}-y\dot{x})=const</math> | |||
=====Flächensatz: 2. keplersches Gesetz===== | |||
Geometrische Interpretation von | |||
<math>m{{r}^{2}}\dot{\phi }={{l}_{z}}=m(x\dot{y}-y\dot{x})=const</math> | |||
: | |||
Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. | |||
Das heißt: Die Flächengeschwindigkei ist konstant: | |||
Für die Fläche gilt: | |||
<math>\delta F=\frac{1}{2}\left| {\bar{r}} \right|\cdot \left| \bar{r}+\delta \bar{r} \right|\sin \delta \phi \approx \frac{1}{2}{{r}^{2}}\delta \phi </math> | |||
Dabei gilt die rechtsseitige Näherung für sehr kleine Änderungen in Radiusvektor und Winkel. Bleibt richtig für infinitesimale Betrachtung: | |||
<math>\frac{d}{dt}F=\frac{1}{2}{{r}^{2}}\frac{d\phi }{dt}=\frac{l}{2m}=const</math> | |||
====Energieerhaltung und Bahngleichung==== | |||
Bestimmen wir die Lagranggleichung 2. Art für den radius r: | |||
<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}-\frac{\partial L}{\partial r}=0</math> | |||
<math>\begin{align} | |||
& \frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=m\dot{r} \\ | |||
& \frac{\partial L}{\partial r}=mr{{{\dot{\phi }}}^{2}}-V\acute{\ }(r) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Somit gilt: | |||
<math>m\ddot{r}-mr{{\dot{\phi }}^{2}}+V\acute{\ }(r)=0</math> | |||
Mit der Zentrifugalkraft | |||
<math>mr{{\dot{\phi }}^{2}}</math> | |||
Die Zeitableitung des Winkels können wir eliminieren durch die Bewegungskonstante l: | |||
<math>\dot{\phi }=\frac{l}{m{{r}^{2}}}</math> | |||
<math>m\ddot{r}-\frac{{{l}^{2}}}{m{{r}^{3}}}+V\acute{\ }(r)=0</math> | |||
# '''Integral: '''Trick: Wir müssen die Gleichung auf zeitliche Änderung bringen. Zu diesem zweck multiplizieren wir alles mit | |||
<math>\dot{r}</math> | |||
: | |||
<math>\begin{align} | |||
& m\ddot{r}\dot{r}-\frac{{{l}^{2}}}{m{{r}^{3}}}\dot{r}+\dot{r}V\acute{\ }(r)=0 \\ | |||
& m\ddot{r}\dot{r}=\frac{d}{dt}\left( \frac{m}{2}{{{\dot{r}}}^{2}} \right) \\ | |||
& \frac{{{l}^{2}}}{m{{r}^{3}}}\dot{r}=\frac{d}{dt}\left( -\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}} \right) \\ | |||
& \dot{r}V\acute{\ }(r)=\frac{d}{dt}V(r) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Somit können wir Integration über die zeit ausführen und es ergibt sich: | |||
<math>\frac{m}{2}{{\dot{r}}^{2}}+\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r)=const=E</math> | |||
Energieerhaltung mit | |||
<math>T=\frac{m}{2}\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+\frac{{{l}^{2}}}{{{m}^{2}}{{r}^{2}}} \right)=\frac{m}{2}\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}} \right)</math> | |||
<u>'''Andere Interpretation'''</u> | |||
Die Bewegung der beiden Körper ist ebenfalls als eindimensionale Bewegung in einem '''effektiven''' | |||
'''Radialpotenzial''' | |||
<math>\tilde{V}(r):=\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r)</math> | |||
Dabei wird | |||
<math>\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}</math> | |||
als Zentrifugalbarriere bezeichnet. | |||
Es ergibt sich: | |||
<math>\frac{m}{2}{{\dot{r}}^{2}}+\tilde{V}(r)=const=E</math> | |||
Somit: | |||
<math>\dot{r}=\sqrt{\frac{2}{m}\left( E-\tilde{V}(r) \right)}=\frac{dr}{dt}</math> | |||
Integration liefert: | |||
<math>\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{\frac{dr\acute{\ }}{\sqrt{\frac{2}{m}\left( E-\tilde{V}(r\acute{\ }) \right)}}=\int\limits_{{{t}_{o}}}^{t}{dt\acute{\ }}}</math> | |||
Es sind somit t( r) und r( t) berechenbar. | |||
Der Winkel folgt dann aus: | |||
<math>\dot{\phi }=\frac{d\phi }{dt}=\frac{l}{mr{{(t)}^{2}}}</math> | |||
durch Einsetzen: | |||
<math>\int\limits_{{{\phi }_{o}}}^{\phi }{d}\phi \acute{\ }=\int\limits_{{{t}_{o}}}^{t}{{}}\frac{l}{m{{r}^{2}}(t\acute{\ })}dt\acute{\ }</math> | |||
Es ergibt sich also: | |||
<math>\phi (t)</math> | |||
. | |||
Die Bahngleichung wird gewonnen gemäß: | |||
<math>\frac{dr}{d\phi }=\frac{{\dot{r}}}{{\dot{\phi }}}=\frac{m{{r}^{2}}\sqrt{\frac{2}{m}\left( E-\tilde{V}(r) \right)}}{l}={{r}^{2}}\sqrt{\frac{2m}{{{l}^{2}}}\left( E-\tilde{V}(r) \right)}</math> | |||
Es folgt: | |||
<math>\int\limits_{{{\phi }_{o}}}^{\phi }{d}\phi \acute{\ }=\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{dr\acute{\ }}\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}\sqrt{\frac{2m}{{{l}^{2}}}\left( E-\tilde{V}(r\acute{\ }) \right)}}</math> | |||
Daraus erhält man als Bahngleichung | |||
<math>\phi (r)</math> | |||
bzw. | |||
<math>r(\phi )</math> | |||
. | |||
Die Bahngleichung. | |||
====Planetenbewegung und Keplersche Gesetze==== | |||
Betrachten wir speziell das Gravitationspotenzial als Wechselwirkung: | |||
<math>V(r)=-\frac{\gamma {{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{r}^{{}}}}</math> | |||
mit | |||
<math>r=|{{\bar{r}}_{1}}-{{\bar{r}}_{2}}|</math> | |||
Somit ergibt sich ein effektives Radialpotenzial gemäß | |||
<math>\tilde{V}(r)=-\frac{k}{{{r}^{{}}}}+\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}\quad k:=\gamma {{m}_{1}}m>0</math> | |||
ALs Grenzwert folgt: | |||
<math>\begin{align} | |||
& r\to 0:\tilde{V}(r)=\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}\quad \to \infty \\ | |||
& r\to \infty :\tilde{V}(r)=-\frac{k}{r}\quad \to 0 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Differenziation findet ein Minimum: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \frac{d\tilde{V}(r)}{dr}=\frac{k}{{{r}^{2}}}-\frac{{{l}^{2}}}{m{{r}^{3}}}=0\to {{r}_{o}}=\frac{{{l}^{2}}}{mk} \\ | |||
& \tilde{V}({{r}_{o}})=\frac{-m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Wegen | |||
<math>\frac{m}{2}{{\dot{r}}^{2}}=E-\tilde{V}(r)</math> | |||
ist eine Bewegung nur für | |||
<math>E-\tilde{V}(r)\ge 0</math> | |||
möglich. Also muss | |||
<math>E\ge \tilde{V}(r)</math> | |||
Es gilt: | |||
<math>0>E\ge \tilde{V}({{r}_{o}})\Rightarrow 0>E\ge \frac{-m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}</math> | |||
: Bahnen sind geschlossen ( Ellipse, Spezialfall: Kreis) | |||
<math>E>0</math> | |||
Bahnen sind offen. ( Hyperbeln) | |||
Wir werden sehen, dass für E=0 eine Parabelbahn folgt. | |||
Das Potenzial hat die folgende Gestalt: | |||
Für | |||
<math>0>E\ge \tilde{V}({{r}_{o}})\Rightarrow 0>E\ge \frac{-m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}</math> | |||
Sind die Umkehrpunkte durch | |||
<math>\tilde{V}(r)=-\frac{k}{{{r}^{{}}}}+\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}\quad =E</math> | |||
bestimmt ( quadratisch Gleichung in r mit zwei Lösungen): | |||
<math>{{r}_{\min /\max }}=\frac{1}{2|E|}\left( k\mp \sqrt{{{k}^{2}}-\frac{2{{l}^{2}}|E|}{m}} \right)</math> | |||
Für E>0 gibt es nur noch eine Lösung für r, die positiv und damit physikalisch sinnvoll ist. | |||
Aus | |||
gewinnt man den inneren Umkehrpunkt: | |||
Die Bahngleichung kann nun explizit berechnet werden: | |||
<math>\int\limits_{{{\phi }_{o}}}^{\phi }{d}\phi \acute{\ }=\phi -{{\phi }_{o}}=\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{dr\acute{\ }}\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}\sqrt{\frac{2m}{{{l}^{2}}}\left( E-\tilde{V}(r\acute{\ }) \right)}}=\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{\frac{dr\acute{\ }}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}\frac{1}{\sqrt{\frac{2mE}{{{l}^{2}}}+\frac{2mk}{{{l}^{2}}r\acute{\ }}-\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}}</math> | |||
Dieses Integral ist nicht leicht zu berechnen, jedoch lediglich ein mathematisches Problem. Es gelingt mit einer geschickten Substitution: | |||
Zunächst soll der Ausdruck unter der Wurzel quadratisch ergänzt werden: | |||
<math>\frac{2mE}{{{l}^{2}}}+\frac{2mk}{{{l}^{2}}r\acute{\ }}-\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}}=-{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{2}}+\frac{{{m}^{2}}{{k}^{2}}}{{{l}^{4}}}+\frac{2mE}{{{l}^{2}}}</math> | |||
mit | |||
<math>\begin{align} | |||
& -{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{2}}+\frac{{{m}^{2}}{{k}^{2}}}{{{l}^{4}}}+\frac{2mE}{{{l}^{2}}}:=D\left[ 1-\frac{1}{D}{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{2}} \right] \\ | |||
& D:=\frac{2m}{{{l}^{2}}}\left( \frac{m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}+E \right) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Dabei gilt: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \frac{m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}=\tilde{V}({{r}_{o}}) \\ | |||
& \Rightarrow D:=\frac{2m}{{{l}^{2}}}\left( \frac{m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}+E \right)\ge 0 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Substitution: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \cos \vartheta \acute{\ }:=\frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)\Rightarrow \frac{d\cos \vartheta }{dr\acute{\ }}=-\frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}} \right) \\ | |||
& \frac{d\cos \vartheta }{d\vartheta }=-\sin \vartheta \acute{\ }\Rightarrow -\sin \vartheta d\vartheta =d\cos \vartheta \\ | |||
& -\sin \vartheta \acute{\ }d\vartheta =-\frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{dr\acute{\ }}{r{{\acute{\ }}^{2}}} \right) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Somit folgt: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \phi -{{\phi }_{o}}=\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{\frac{dr\acute{\ }}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}\frac{1}{\sqrt{\frac{2mE}{{{l}^{2}}}+\frac{2mk}{{{l}^{2}}r\acute{\ }}-\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}}=\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{\frac{dr\acute{\ }}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}\frac{1}{\sqrt{D\left[ 1-\frac{1}{D}{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{2}} \right]}}=\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{\frac{dr\acute{\ }}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}\frac{1}{\sqrt{D}\left[ 1-\frac{1}{D}{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{{}}} \right]} \\ | |||
& \int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{\frac{dr\acute{\ }}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}\frac{1}{\sqrt{D}\left[ 1-\frac{1}{D}{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{{}}} \right]}=\int\limits_{{{\vartheta }_{0}}}^{\vartheta }{d\vartheta \acute{\ }\sin \vartheta \acute{\ }\frac{1}{\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\vartheta }\acute{\ }}=}\int\limits_{{{\vartheta }_{0}}}^{\vartheta }{d\vartheta \acute{\ }=\vartheta -{{\vartheta }_{0}}} \\ | |||
& \vartheta -{{\vartheta }_{0}}=\arccos \frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{{{r}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)-\arccos \frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{{{r}_{o}}^{{}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Also in Summary: | |||
<math>\phi -{{\phi }_{o}}=\arccos \frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{{{r}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)-\arccos \frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{{{r}_{o}}^{{}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)</math> | |||
Eine der Integrationskonstanten, | |||
<math>{{\phi }_{o}}</math> | |||
oder | |||
<math>{{r}_{o}}</math> | |||
kann frei eingesetzt werden. | |||
Wir wählen den Winkel willkürlich: | |||
Mit der vereinfachenden Wahl von | |||
<math>{{\phi }_{o}}=\arccos \frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{{{r}_{o}}^{{}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)</math> | |||
ergibt sich: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \phi (r)=\arccos \frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{{{r}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right) \\ | |||
& \Rightarrow \frac{1}{r(\phi )}=\frac{mk}{{{l}^{2}}}+\sqrt{D}\cos \phi =\frac{mk}{{{l}^{2}}}\left( 1+\varepsilon \cos \phi \right) \\ | |||
& mit\quad \varepsilon :=\sqrt{D}\frac{{{l}^{2}}}{mk}=\sqrt{1+\frac{2E{{l}^{2}}}{m{{k}^{2}}}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Wesentlich ist unsere Bahngleichung: | |||
<math>\frac{1}{r(\phi )}=\frac{mk}{{{l}^{2}}}+\sqrt{D}\cos \phi =\frac{mk}{{{l}^{2}}}\left( 1+\varepsilon \cos \phi \right)</math> | |||
Dies ist nämlich, wie jedem Mathematiker bekannt ist, die Gleichung eines Kegelschnitts in Polarkoordinaten: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \varepsilon >1\cong E>0\quad Hyperbel(offene\ Bahn) \\ | |||
& \varepsilon =1\cong E=0\quad Parabel(offene\ Bahn) \\ | |||
& \varepsilon <1\cong -\frac{m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}<E<0\quad Ellipse(geschlossene\ Bahn) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Für da zweidimensionale Problem ist die Umrechnung auf kartesische Korodinaten sehr einfach: | |||
Dies ist nämlich, wie jedem Mathematiker bekannt ist, die Gleichung eines Kegelschnitts in Polarkoordinaten: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \cos \phi =\frac{x}{r} \\ | |||
& \sin \phi =\frac{y}{r} \\ | |||
& r=\sqrt{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Für | |||
<math>\varepsilon <1</math> | |||
folgt: | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{\left( \frac{mk}{{{l}^{2}}}\left( 1-{{\varepsilon }^{2}} \right)x+\varepsilon \right)}^{2}}+\frac{{{m}^{2}}{{k}^{2}}}{{{l}^{4}}}\left( 1-{{\varepsilon }^{2}} \right){{y}^{2}}=1 \\ | |||
& \frac{{{m}^{2}}{{k}^{2}}}{{{l}^{4}}}{{\left( 1-{{\varepsilon }^{2}} \right)}^{2}}{{\left( x+\frac{{{l}^{2}}}{mk}\frac{\varepsilon }{\left( 1-{{\varepsilon }^{2}} \right)} \right)}^{2}}+\frac{{{m}^{2}}{{k}^{2}}}{{{l}^{4}}}\left( 1-{{\varepsilon }^{2}} \right){{y}^{2}}=1 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Dies kann vereinfacht werden zu: | |||
<math>\frac{{{\left( x+e \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1</math> | |||
mit der Exzentrizität | |||
<math>e=\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}</math> | |||
Dies ist die Gleichung einer Ellipse mit einem Brennpunkt im Ursprung. | |||
Die Hauptachsen lauten: | |||
<math>\begin{align} | |||
& a=\frac{{{l}^{2}}}{mk(1-{{\varepsilon }^{2}})}=\frac{k}{2|E|} \\ | |||
& b=\frac{{{l}^{2}}}{mk\sqrt{1-{{\varepsilon }^{2}}}}=\frac{l}{\sqrt{2m|E|}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Die relative Exzentrizität: | |||
<math>\varepsilon =\frac{e}{a}=\sqrt{1-\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}}</math> | |||
e, die absolute Exzentrizität ist der absolute Abstand zwischen Mittelpunkt der Ellipse und einem Brennpunkt. | |||
=====Keplersches Gesetz===== | |||
Folgt also aus der Bewegungsgleichung mit Gravitationspotenzial bei negativen Energien: | |||
Die Planetenbahnen sind Ellipsen, in deren einen Brennpunkt die Sonne steht. | |||
=====Keplersches Gesetz===== | |||
T²~a³ | |||
<u>'''Beweis:'''</u> | |||
Für die Fläche einer Ellipse gilt: | |||
<math>F=\pi ab</math> | |||
Wenn wir das zweite Keplersche Gesetz verwenden ( Flächensatz), so gilt: | |||
<math>\frac{dF}{dt}=\frac{l}{2m}=const</math> | |||
Es ergibt sich der folgende Zusammenhang mit der Umlaufzeit: | |||
<math>\int\limits_{0}^{T}{dt}\frac{dF}{dt}=\frac{l}{2m}T=F=\pi ab</math> | |||
Aus der Herleitung des ersten Keplerschen Gesetzes ist bekannt: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \frac{{{b}^{2}}}{a}=\frac{{{l}^{2}}}{mk}\Rightarrow b=\frac{l}{\sqrt{mk}}\sqrt{a} \\ | |||
& T=\frac{2m\pi ab}{l}=\frac{2\sqrt{m}\pi {{a}^{\frac{3}{2}}}}{\sqrt{k}} \\ | |||
& \frac{{{T}^{2}}}{{{a}^{3}}}=\frac{4{{\pi }^{2}}m}{k} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Die zweiten Potenzen der Umlaufdauer sind somit nicht exakt proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen, da auch die Masse des Planeten noch eingeht: | |||
<math>\begin{align} | |||
& k=\gamma {{m}_{1}}{{m}_{2}} \\ | |||
& m=\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \\ | |||
& \frac{m}{k}=\frac{1}{\gamma \left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}} \right)} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Falls die Planeten jedoch deutlich leichter sind als die Zentralgestirne, so gilt: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \frac{m}{k}\approx \frac{1}{\gamma {{m}_{2}}} \\ | |||
& \frac{{{T}^{2}}}{{{a}^{3}}}\approx \frac{4{{\pi }^{2}}}{\gamma {{m}_{2}}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Leitet man dies aus dem Kraftansatz ab, so steckt der Fehler der Vernachlässigung der Planetenmasse in der Annahme einer kreisförmigen Bewegung um das Zentralgestirn. Das Ergebnis ist ebenso fehlerbelastet. |