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Das Zweikörperproblem
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<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|3|5}}</noinclude> Hier werden die Erhaltungssätze zur Lösung der Bewegungsgleichung verwendet. Idee: f Freiheitsgrade → f Differenzialgleichungen 2. Ordnung * 2f Integrationskonstanten nötig! (jeweils zweifaches Integrieren). (Anfangsbedingungen). * Also existieren auch 2f Integrale der Bewegung Falls alle 2f Integrale der Bewegung bekannt wären: :<math>{{I}_{r}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...{{\dot{q}}_{f}})={{c}_{r}}\quad \quad r=1,...2f</math> So wäre das Problem vollständig gelöst: :<math>{{q}_{k}}={{q}_{k}}({{c}_{1}},...,{{c}_{2f}},t)\quad \quad k=1,...,f</math> Also ist es das Ziel, möglichst viele Integrale der Bewegung zu finden. Beispiel: Zweikörperproblem 2 Massen, m1 und m2 unter dem Einfluss Ihrer inneren Wechselwirkung: V(|r1-r2|) (Zentralpotenzial). Beispiel: Sonne / Erde unter Gravitationswechselwirkung Zahl der Freiheitsgrade: f=6 Also: es muessten 12 Integrale der Bewegung existieren <u>'''Erhaltungssätze'''</u> # V(|r1-r2|) ist translationsinvariant. Somit ist der Impuls: :<math>\bar{P}={{\bar{p}}_{1}}+{{\bar{p}}_{2}}</math> =konstant Der Schwerpunkt: :<math>\bar{R}=\frac{1}{M}\bar{P}t+{{\bar{R}}_{0}}</math> bewegt sich gleichförmig und geradlinig. Dies folgt aus: :<math>M\dot{\bar{R}}=\bar{P}=const</math> M:=m1 + m2 Somit sind 6 Integrationskonstanten gefunden: :<math>\bar{P},\bar{R}</math> # V(|r1-r2|) ist rotationsinvariant: Damit ist der Drehimpuls :<math>\bar{l}={{m}_{1}}{{\bar{r}}_{1}}\times {{\bar{v}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar{r}}_{2}}\times {{\bar{v}}_{2}}=const</math> Es sind drei weitere Integrationskonstanten :<math>\bar{l}</math> gefunden. # Die zeitliche Translationsinvarianz bei konservativer Kraft: :<math>E=\frac{1}{2}{{m}_{1}}{{\bar{v}}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}{{m}_{2}}{{\bar{v}}_{2}}^{2}+V\left( \left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right| \right)=const</math> Eine Integrationskonstante E Insgesamt sind 10 Integrale der Bewegung gefunden. Es bleiben nur 2 Integrationskonstanten, nämlich der Nullpunkt der Zeit- und Winkelskala. Diese ergeben sich aus den ANfangsbedingungen. This info is the cats pjamaas!
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