Editing Das Wasserstoffatom (relativistsich)
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:<math>\left[ \hbar Q,H \right]=0</math> | :<math>\left[ \hbar Q,H \right]=0</math> | ||
. | |||
. Somit existieren gemeinsame Eigenzustände zu <math>H</math> | |||
und <math>\hbar Q</math> | und <math>\hbar Q</math> | ||
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Weil <math>{{e}^{+\rho }}</math> | Weil <math>{{e}^{+\rho }}</math> | ||
divergiert! | divergiert ! | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
Line 377: | Line 377: | ||
Es existieren nichttriviale Lösungen <math>{{f}_{0}},{{g}_{0}}</math> | Es existieren nichttriviale Lösungen <math>{{f}_{0}},{{g}_{0}}</math> | ||
, | |||
, falls <math>\left( \lambda +q \right)\left( \lambda -q \right)+{{\gamma }^{2}}={{\lambda }^{2}}-{{q}^{2}}+{{\gamma }^{2}}=0</math> | |||
Also <math>\lambda =\pm \sqrt{{{q}^{2}}-{{\gamma }^{2}}}>0</math> | Also <math>\lambda =\pm \sqrt{{{q}^{2}}-{{\gamma }^{2}}}>0</math> | ||
Line 434: | Line 434: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
k=0,1,2,.... Rekursionsformel!! | k=0,1,2,.... Rekursionsformel !! | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
Line 480: | Line 480: | ||
exponentiell für <math>\rho \to \infty \Rightarrow F(\rho ),G(\rho )\tilde{\ }{{e}^{\rho }}</math> | exponentiell für <math>\rho \to \infty \Rightarrow F(\rho ),G(\rho )\tilde{\ }{{e}^{\rho }}</math> | ||
Dies ist jedoch ein Widerspruch zu den gesetzten Randbedingungen! | Dies ist jedoch ein Widerspruch zu den gesetzten Randbedingungen ! | ||
Also muss es einen Abbruch bei <math>k=n\acute{\ }\in N</math> | Also muss es einen Abbruch bei <math>k=n\acute{\ }\in N</math> | ||
Line 563: | Line 563: | ||
entwickelt man die Energieeigenwerte nach der Feinstrukturkonstanten bis <math>O\left( {{\gamma }^{4}} \right)</math> | entwickelt man die Energieeigenwerte nach der Feinstrukturkonstanten bis <math>O\left( {{\gamma }^{4}} \right)</math> | ||
, | |||
, so folgt: | |||
:<math>E={{m}_{0}}{{c}^{2}}\left[ 1-\frac{1}{2}{{\left( \frac{\gamma }{\lambda +n\acute{\ }} \right)}^{2}}+\frac{3}{8}{{\left( \frac{\gamma }{\lambda +n\acute{\ }} \right)}^{4}}+O\left( {{\gamma }^{6}} \right) \right]</math> | :<math>E={{m}_{0}}{{c}^{2}}\left[ 1-\frac{1}{2}{{\left( \frac{\gamma }{\lambda +n\acute{\ }} \right)}^{2}}+\frac{3}{8}{{\left( \frac{\gamma }{\lambda +n\acute{\ }} \right)}^{4}}+O\left( {{\gamma }^{6}} \right) \right]</math> | ||
Line 582: | Line 582: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Setzt man dies in die exakten Energieeigenwerte E ein, so folgt: | Setzt man dies in die exakten Energieeigenwerte E ein , so folgt: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& E={{m}_{0}}{{c}^{2}}\left[ 1-\left( \frac{{{\gamma }^{2}}}{2{{n}^{2}}} \right)-\left( \frac{{{\gamma }^{4}}}{2{{n}^{3}}} \right)\left( \frac{1}{j+\frac{1}{2}}-\frac{3}{4n} \right)+O\left( {{\gamma }^{6}} \right) \right] \\ | & E={{m}_{0}}{{c}^{2}}\left[ 1-\left( \frac{{{\gamma }^{2}}}{2{{n}^{2}}} \right)-\left( \frac{{{\gamma }^{4}}}{2{{n}^{3}}} \right)\left( \frac{1}{j+\frac{1}{2}}-\frac{3}{4n} \right)+O\left( {{\gamma }^{6}} \right) \right] \\ | ||
Line 599: | Line 599: | ||
Dabei bleibt die Freiheit der Ausrichtung der Achse des magnetischen Moments, also die <math>2(2j+1)</math> | Dabei bleibt die Freiheit der Ausrichtung der Achse des magnetischen Moments, also die <math>2(2j+1)</math> | ||
- fache <math>{{m}_{j}}</math> | - fache <math>{{m}_{j}}</math> | ||
- Entartung+ Parität! | - Entartung+ Parität ! | ||
====Spektroskopische Beziehung der Feinstrukturterme: <math>n{{l}_{j}}</math>==== | ====Spektroskopische Beziehung der Feinstrukturterme: <math>n{{l}_{j}}</math>==== | ||
:<math>n=1:\quad j=\frac{1}{2}:\ 1{{s}_{\frac{1}{2}}}</math> | :<math>n=1:\quad j=\frac{1}{2}:\ 1{{s}_{\frac{1}{2}}}</math> | ||
Line 608: | Line 608: | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
n´=0. | n´=0 | ||
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