Editing Das Schalenmodell des Kerns

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<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=7|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>
<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=7|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>


Ausgangspunkt: Das Auftreten besonders stabiler Nukleonenkonfiguration  
Asgangspunkt: Das Auftreten besonders stabiler Nukleonenkonfiguration  
mit charakteristischen Sprüngen in der Separationsenergie bei den sogenannten {{FB|magischen Zahlen}}
mit charakteristischen Sprüngen in der Separationsenergie bei den Sogenannten magischen Zahlen N, Z = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 (N) in großer Ähnlichkeit mit den Edelgaskonfigurationen der  
:<math>N, Z = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126</math>
Atomhülle. Deshalb als Wiederholung:
(N) in großer Ähnlichkeit mit den Edelgaskonfigurationen der Atomhülle. Deshalb als Wiederholung:
[[Datei:AtomhuelleNieveau24.png]]
:'''Atomhülle'''
Aufhebung der l-Entartung, d-Elektronen (Übergangsmetalle) und f­-Elektronen (Lanthaniden, Aktiniden) werden "zu spät" eingebaut.
Schalenabschlüsse bei den Edelgasen z = 2, 10, 18, 36, 54, 86 als den "magischen" Zahlen der Atomhülle.


[[Datei:AtomhuelleNieveau24.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Edelgaskonfiguration der Atomhülle{{AnMS|Ry ist wahrscheinlich <math>R_\infty</math>]]


Aufhebung der {{FB|l-Entartung}}, d-Elektronen (Übergangsmetalle) und f­-Elektronen (Lanthaniden, Aktiniden) werden "zu spät" eingebaut.
Aufgabe für die Kernphysik: Ein Zentralpotential 50 zu wählen, daß
Schalenabschlüsse bei den Edelgasen
bei den Schalenabschlüssen die magischen Zahlen erscheinen. Wegen
:<math>z = 2, 10, 18, 36, 54, 86</math> als den '''magischen Zahlen der Atomhülle'''.
rechnerischer Einfachheit werden oft das Kastenpotential oder das
05zillatorpotential benutzt.  


[[Datei:KastenOszillatropotential25.png]]


'''Aufgabe für die Kernphysik:''' Ein Zentralpotential so zu wählen, dass bei den '''Schalenabschlüssen''' die magischen Zahlen erscheinen.
Da es zunächst nur auf die relative Reihenfolge der Energiertiveaus
ankommt, kann man die Potentiale nach 00 fortsetzen.
Ergebnis z.B. für das Oszillatorpotential:  
äquidistante Abstände der Energieniveaus mit I-Entartung, die bei  
dem "abgeschnittenen" Potential aufgehoben wird


Wegen rechnerischer Einfachheit werden oft das {{FB|Kastenpotential}} oder das {{FB|0szillatorpotential}} benutzt.
[[Datei:Aufhebung_l-entartung26.png]]


[[Datei:KastenOszillatropotential25.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Kastenpotential]]


Da es zunächst nur auf die relative Reihenfolge der Energieniveaus ankommt, kann man die Potentiale nach <math>\infty</math> fortsetzen.
Lösung: Zusätzliche (starke) Spin-Bahn-Kopplung
Goeppert-Mayer
Phys. Rev. ]2, 1969 (49)
!laxe1 , Jensen, Suess
Phys. Rev. JE, 1966 (49)
V = V(r) + VSB • (1.5')
IVSBI
RJ 1 -
2 MeV
VSB <  
Dub1ettaufspa1tung:
-> -+
1 (j2 _"12 _ 82)
(1. s) = "Z
=>1
"Z (j(j+1) - 1(1+1)
3
- 4")
= 1 1 für j = 1 + 1
"Z
"Z
= -i (1+1) für j = 1
1
"Z
35---­
2d-----(
Igl--­.....,,
o attraktiv
L....______ IP3/2
Die Aufspaltung wächst mit
1, solange VSB keine große
Abhängigkeit von 1 zeigt.  


Ergebnis z.B. für das Oszillatorpotential:
[[Datei:Doublettaufspaltung28.png]]
:Äquidistante Abstände der Energieniveaus mit l-Entartung, die bei dem "abgeschnittenen" Potential aufgehoben wird.  


[[Datei:Aufhebung_l-entartung26.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Ergebnis z.B. für das Oszillatorpotential]]


Ebenso wie hier werden auch beim Kastenpotential und selbst für realistische Potentialformen wie das {{FB|Wood-Saxon-Potential}} nur die ersten drei magischen Zahlen als Schalenabschlüsse erreicht.
[[Datei:Feinstruktur29.png]]




Lösung: Zusätzliche (starke) {{FB|Spin-Bahn-Kopplung}}
[[Datei:KernSchalenModell50-30.png]]
 
R,a wegen endlicher Reichweite etwas
;Goeppert-Mayer <ref>Goeppert-Mayer: Phys. Rev. 75, 1969 (49) </ref>
MeV
;Haxel , Jensen, Suess: <ref>Haxel, Jensen, Suess:Phys. Rev. 75, 1966 (49)</ref>
größer als die entsprechenden Para­
meter bei der Dichteverteilung
: <math>V = V(r) + V_{SB}  (ls)</math>, <math>|V_{SB}|\approx 1-2 MeV, V_{SB}<0 </math> attraktiv
 
{{FB|Dublettaufspa1tung}}:
<math>\begin{align}
\vec l \vec s= & \frac{1}{2}\left( \vec j^{2}- \vec l^{2}- \vec S^{2}\right)\\
\Rightarrow & \frac{1}{2}\left(j(j-1)-l(l+1)-\frac{3}{4}\right)\\
= & \frac{1}{2}l\quad\text{fuer}\quad j=l+{\frac{1}{2}}\\
= & -\frac{1}{2}(l+1)\quad\text{fuer}\quad j=l+{\frac{1}{2}}\end{align}</math>
 
 
[[Datei:Doublettaufspaltung28.png|miniatur|Die Aufspaltung wächst mit 1, solange <math>V_{SB}</math> keine große Abhängigkeit von l zeigt. ]]
 
 
[[Datei:Feinstruktur29.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|]]
 
 
[[Datei:KernSchalenModell50-30.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|]]
 
=== Verbesserungen des reinen Schalenmodells  ===
=== Verbesserungen des reinen Schalenmodells  ===
Hinzunahme der {{FB|Paarungskraft}} (bei Weizsäckerformel phänomenolo­gisch als Paarungsterm <math>\delta \approx  1 -2 MeV</math> eingeführt) als (kurzreich­weitige) Teil der "Restwechselwirkung", die das Bestreben hat,  
Hinzunahme der Paarungskraft (bei Weizsäckerformel phänomenolo­
einen '''möglichst guten Überlapp''' der Nukleonenwellenfunktionen zu  
gisch als Paarungsterm 0 ~
1 -
2 MeV eingeführt) als (kurzreich­
weitige) Teil der "Restwechselwirkung", die das Bestreben hat,  
einen möglichst guten Überlapp der Nukleonenwellenfunktionen zu  
erzielen. Dies gelingt besonders gut durch "Antiparallelstellung"  
erzielen. Dies gelingt besonders gut durch "Antiparallelstellung"  
der Einzeldrehimpulse und bewirkt den '''verschwindenden Kerndrehim­puls''' <math>I = 0</math> aller (g, g)-Kerne im Grundzustand.  
der Einzeldrehimpulse und bewirkt den verschwindenden Kerndrehim­
puls I = 0 aller (g, g)-Kerne im Grundzustand.  




[[Datei:UeberlagerungKerndrehimpulse-31.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Überlapp der Nukleonenwellenfunktionen]]
[[Datei:UeberlagerungKerndrehimpulse-31.png]]


 
Damit wird für (u, g)- und (g, u)-Kerne der Kerndrehimpuls I = j  
Damit wird für (u, g)- und (g, u)-Kerne der Kerndrehimpuls <math>I = j</math> des '''letzten ungepaarten Nukleons'''. Diese Regel stimmt für (fast)  
des letzten ungepaarten Nukleons. Diese Regel stimmt für (fast)  
alle (u, g)- und (g, u)-Kerne, wobei allerdings zu berücksichtigen ist, daß die Paarungskraft die Reihenfolge innerhalb einer Schale  
alle (u, g)- und (g, u)-Kerne, wobei allerdings zu berücksichtigen  
verändern kann, indern sie besonders große Einzeldrehimpulse <math>j</math> möglichst paarweise absättigt, so daß hohe Gesamtdrehimpulse <math>I</math>
ist, daß die Paarungskraft die Reihenfolge innerhalb einer Schale  
nicht so häufig vorkommen.
verändern kann, indern sie besonders große Einzeldrehimpulse j  
 
möglichst paarweise absättigt, so daß hohe Gesamtdrehimpulse I  
Eine weitere Verbesserung ist für Kerne zwischen den magischen zahlen mit großen Quadrupolmomenten (z.B. im Bereich der Seltenen Erden) die Verwendung eines ''''deformierten' Potentials''' <math>V = V(r, \theta)</math> {{FB|Nilsson-Modell}}.
nicht so häufig vorkommen.  
 
Eine weitere Verbesserung ist für Kerne zwischen den magischen  
[[Datei:DeformiertesPotential32.png|miniatur]]  
zahlen mit großen Quadrupolmomenten (z.B. im Bereich der Seltenen  
Erden) die Verwendung eines 'deformierten' Potentials V = V(r, 8)  
[Nilsson-Modell].
[[Datei:DeformiertesPotential32.png|miniatur]  
Für das deformierte Potential ist der  
Für das deformierte Potential ist der  
Bahndrehimpuls <math>\vec l</math> und damit auch <math>\vec j=\vec l+\vec s</math>
Bahndrehimpuls I und damit auch j=1+1
''keine'' Konstante der Bewegung mehr.
keine Konstante der Bewegung mehr. Nur
Nur die Projektion <math>m</math> auf die Symmetrie­achse bleibt konstant, wobei es zu einer Energieaufspaltung bezüglich  
die Projektion m auf die Symmetrie­
der verschiedenen <math>m</math> kommt, je nachdem <math>j</math> die "Bahn" <math>1</math> mehr oder weniger lang <math>m</math> im Bereich des anziehenden Potentials verläuft.
achse bleibt konstant, wobei es zu  
 
einer Energieaufspaltung bezüglich  
Für '''angeregte''' Kernzustände ist die Einteilchenvorstellung eines  
der verschiedenen m kommt, je nachdem  
j  
die "Bahn" 1 mehr oder weniger lang
m  
im Bereich des anziehenden Potentials  
verläuft.  
Für angeregte Kernzustände ist die Einteilchenvorstellung eines  
"Valenznukleons" nur sehr bedingt verwendbar. Am besten geht es  
"Valenznukleons" nur sehr bedingt verwendbar. Am besten geht es  
noch ganz in der Nähe der magischen Zahlen, z.B. bei
noch ganz in der Nähe der magischen Zahlen,  
:<math>^{209}_{82}Pb \hat {=} \textrm{''} {}^{208}_{82}Pb \textrm{''} + (2g_{9/2})-</math>Valenzneutronen mit <math>^{208}_{82}Pb</math> doppelmagischer Rumpf
.
 
h
 
B
 
b
209pb
,,208pb"
(2)
1
z. .  
e
~
82  
92
+  
g9/2 - Va enzneutron.
doppeltmagischer
Rumpf
Besonders zwischen den magischen Zahlen treten Anregungsspektren  
Besonders zwischen den magischen Zahlen treten Anregungsspektren  
auf, die sehr viel besser durch '''kollektive''' Nukleonenbewegungen, z.B.  
auf, die sehr viel besser durch kollektive Nukleonenbewegungen, z.B.  
durch '''Rotations'''- und '''Vibrationszustände''' - ähnlich wie bei Mole­külspektren - beschrieben werden können. Im Gegensatz zu den Mole­külspektren sind die Verhältnisse jedoch weitaus komplizierter, da  
durch Rotations- und Vibrationszustände - ähnlich wie bei Mole­
külspektren - beschrieben werden können. Im Gegensatz zu den Mole­
külspektren sind die Verhältnisse jedoch weitaus komplizierter, da  
die Trennung in Einteilchenzustände, Vibrationen und Rotationen  
die Trennung in Einteilchenzustände, Vibrationen und Rotationen  
keine gute Näherung darstellt, da die Bedingung  
keine gute Näherung darstellt, da die Bedingung E (Einteilchen) ))
:<math>\rm E (Einteilchen) \gg E (Vibration) \gg E (Rotation)</math> im Kern nur '''sehr schlecht''' erfüllt ist.
E (Vibration) )) E (Rotation) im Kern nur sehr schlecht erfüllt  
{{AnMS|Die starke WW im Kern ist viel größer als die elektromagnetische WW in der Hülle}}
ist.
==Einzelnachweise==
<references />
==Ergänzende Informationen==
(gehört nicht zum Skript)
 
===Prüfungsfragen===
* Schalernnodell (Wood-Saxon-Potential, Spin-Bahn-Kopplung(Goeppert Mayer, vgl. Atomhülle), Magische Zahlen bis 28 aufmalen können)
** Grenzen des Modells (Valenznukleonen, uu-Kerne werden schlecht beschrieben)
** Kollektive Anregungen
** Deformationen des Kerns -> Quadrupoltenne (Energieaufspaltung messbar mit dEldx)
** Nielssonmodell (Aufhebung der rn-Entartung, ansonsten nichts genaueres)
* Heutige Experimente und Theorien der Kerne (hier wollte sie, glaube ich, die Verbindung zwischen Streuexperimenten und theoretischen Modellentwickhmgen wissen)
*Woher kommt das Geraffel am Anfang der Bindungsenergiekurve E_B/A(A)?->Schalenabschlüsse
*Schalenmodell: erst nur harmonischer Oszillator dann Spinbahnterm zur Erklärung der magischen Zahlen.
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