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| <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=7|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> | | <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=7|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> |
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| Ausgangspunkt: Das Auftreten besonders stabiler Nukleonenkonfiguration
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| mit charakteristischen Sprüngen in der Separationsenergie bei den sogenannten {{FB|magischen Zahlen}}
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| :<math>N, Z = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126</math>
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| (N) in großer Ähnlichkeit mit den Edelgaskonfigurationen der Atomhülle. Deshalb als Wiederholung:
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| :'''Atomhülle'''
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| [[Datei:AtomhuelleNieveau24.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Edelgaskonfiguration der Atomhülle{{AnMS|Ry ist wahrscheinlich <math>R_\infty</math>]]
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| Aufhebung der {{FB|l-Entartung}}, d-Elektronen (Übergangsmetalle) und f-Elektronen (Lanthaniden, Aktiniden) werden "zu spät" eingebaut.
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| Schalenabschlüsse bei den Edelgasen
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| :<math>z = 2, 10, 18, 36, 54, 86</math> als den '''magischen Zahlen der Atomhülle'''.
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| '''Aufgabe für die Kernphysik:''' Ein Zentralpotential so zu wählen, dass bei den '''Schalenabschlüssen''' die magischen Zahlen erscheinen.
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| Wegen rechnerischer Einfachheit werden oft das {{FB|Kastenpotential}} oder das {{FB|0szillatorpotential}} benutzt.
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| [[Datei:KastenOszillatropotential25.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Kastenpotential]]
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| Da es zunächst nur auf die relative Reihenfolge der Energieniveaus ankommt, kann man die Potentiale nach <math>\infty</math> fortsetzen.
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| Ergebnis z.B. für das Oszillatorpotential:
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| :Äquidistante Abstände der Energieniveaus mit l-Entartung, die bei dem "abgeschnittenen" Potential aufgehoben wird.
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| [[Datei:Aufhebung_l-entartung26.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Ergebnis z.B. für das Oszillatorpotential]]
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| Ebenso wie hier werden auch beim Kastenpotential und selbst für realistische Potentialformen wie das {{FB|Wood-Saxon-Potential}} nur die ersten drei magischen Zahlen als Schalenabschlüsse erreicht.
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| Lösung: Zusätzliche (starke) {{FB|Spin-Bahn-Kopplung}}
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| ;Goeppert-Mayer <ref>Goeppert-Mayer: Phys. Rev. 75, 1969 (49) </ref>
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| ;Haxel , Jensen, Suess: <ref>Haxel, Jensen, Suess:Phys. Rev. 75, 1966 (49)</ref>
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| : <math>V = V(r) + V_{SB} (ls)</math>, <math>|V_{SB}|\approx 1-2 MeV, V_{SB}<0 </math> attraktiv
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| {{FB|Dublettaufspa1tung}}:
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| <math>\begin{align}
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| \vec l \vec s= & \frac{1}{2}\left( \vec j^{2}- \vec l^{2}- \vec S^{2}\right)\\
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| \Rightarrow & \frac{1}{2}\left(j(j-1)-l(l+1)-\frac{3}{4}\right)\\
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| = & \frac{1}{2}l\quad\text{fuer}\quad j=l+{\frac{1}{2}}\\
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| = & -\frac{1}{2}(l+1)\quad\text{fuer}\quad j=l+{\frac{1}{2}}\end{align}</math>
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| [[Datei:Doublettaufspaltung28.png|miniatur|Die Aufspaltung wächst mit 1, solange <math>V_{SB}</math> keine große Abhängigkeit von l zeigt. ]]
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| [[Datei:Feinstruktur29.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|]]
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| [[Datei:KernSchalenModell50-30.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|]]
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| === Verbesserungen des reinen Schalenmodells ===
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| Hinzunahme der {{FB|Paarungskraft}} (bei Weizsäckerformel phänomenologisch als Paarungsterm <math>\delta \approx 1 -2 MeV</math> eingeführt) als (kurzreichweitige) Teil der "Restwechselwirkung", die das Bestreben hat,
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| einen '''möglichst guten Überlapp''' der Nukleonenwellenfunktionen zu
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| erzielen. Dies gelingt besonders gut durch "Antiparallelstellung"
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| der Einzeldrehimpulse und bewirkt den '''verschwindenden Kerndrehimpuls''' <math>I = 0</math> aller (g, g)-Kerne im Grundzustand.
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| [[Datei:UeberlagerungKerndrehimpulse-31.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Überlapp der Nukleonenwellenfunktionen]]
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| Damit wird für (u, g)- und (g, u)-Kerne der Kerndrehimpuls <math>I = j</math> des '''letzten ungepaarten Nukleons'''. Diese Regel stimmt für (fast)
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| alle (u, g)- und (g, u)-Kerne, wobei allerdings zu berücksichtigen ist, daß die Paarungskraft die Reihenfolge innerhalb einer Schale
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| verändern kann, indern sie besonders große Einzeldrehimpulse <math>j</math> möglichst paarweise absättigt, so daß hohe Gesamtdrehimpulse <math>I</math>
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| nicht so häufig vorkommen.
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| Eine weitere Verbesserung ist für Kerne zwischen den magischen zahlen mit großen Quadrupolmomenten (z.B. im Bereich der Seltenen Erden) die Verwendung eines ''''deformierten' Potentials''' <math>V = V(r, \theta)</math> {{FB|Nilsson-Modell}}.
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| [[Datei:DeformiertesPotential32.png|miniatur]]
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| Für das deformierte Potential ist der
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| Bahndrehimpuls <math>\vec l</math> und damit auch <math>\vec j=\vec l+\vec s</math>
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| ''keine'' Konstante der Bewegung mehr.
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| Nur die Projektion <math>m</math> auf die Symmetrieachse bleibt konstant, wobei es zu einer Energieaufspaltung bezüglich
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| der verschiedenen <math>m</math> kommt, je nachdem <math>j</math> die "Bahn" <math>1</math> mehr oder weniger lang <math>m</math> im Bereich des anziehenden Potentials verläuft.
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| Für '''angeregte''' Kernzustände ist die Einteilchenvorstellung eines
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| "Valenznukleons" nur sehr bedingt verwendbar. Am besten geht es
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| noch ganz in der Nähe der magischen Zahlen, z.B. bei
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| :<math>^{209}_{82}Pb \hat {=} \textrm{''} {}^{208}_{82}Pb \textrm{''} + (2g_{9/2})-</math>Valenzneutronen mit <math>^{208}_{82}Pb</math> doppelmagischer Rumpf
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| Besonders zwischen den magischen Zahlen treten Anregungsspektren
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| auf, die sehr viel besser durch '''kollektive''' Nukleonenbewegungen, z.B.
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| durch '''Rotations'''- und '''Vibrationszustände''' - ähnlich wie bei Molekülspektren - beschrieben werden können. Im Gegensatz zu den Molekülspektren sind die Verhältnisse jedoch weitaus komplizierter, da
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| die Trennung in Einteilchenzustände, Vibrationen und Rotationen
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| keine gute Näherung darstellt, da die Bedingung
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| :<math>\rm E (Einteilchen) \gg E (Vibration) \gg E (Rotation)</math> im Kern nur '''sehr schlecht''' erfüllt ist.
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| {{AnMS|Die starke WW im Kern ist viel größer als die elektromagnetische WW in der Hülle}}
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| ==Einzelnachweise==
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| <references />
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| ==Ergänzende Informationen==
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| (gehört nicht zum Skript)
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| ===Prüfungsfragen===
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| * Schalernnodell (Wood-Saxon-Potential, Spin-Bahn-Kopplung(Goeppert Mayer, vgl. Atomhülle), Magische Zahlen bis 28 aufmalen können)
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| ** Grenzen des Modells (Valenznukleonen, uu-Kerne werden schlecht beschrieben)
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| ** Kollektive Anregungen
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| ** Deformationen des Kerns -> Quadrupoltenne (Energieaufspaltung messbar mit dEldx)
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| ** Nielssonmodell (Aufhebung der rn-Entartung, ansonsten nichts genaueres)
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| * Heutige Experimente und Theorien der Kerne (hier wollte sie, glaube ich, die Verbindung zwischen Streuexperimenten und theoretischen Modellentwickhmgen wissen)
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| *Woher kommt das Geraffel am Anfang der Bindungsenergiekurve E_B/A(A)?->Schalenabschlüsse
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| *Schalenmodell: erst nur harmonischer Oszillator dann Spinbahnterm zur Erklärung der magischen Zahlen.
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