Quelltext der Seite Das Schalenmodell des Kerns

<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=7|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>

Ausgangspunkt: Das Auftreten besonders stabiler Nukleonenkonfiguration 
mit charakteristischen Sprüngen in der Separationsenergie bei den sogenannten {{FB|magischen Zahlen}}
:<math>N, Z = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126</math>
(N) in großer Ähnlichkeit mit den Edelgaskonfigurationen der Atomhülle. Deshalb als Wiederholung:
:'''Atomhülle'''

[[Datei:AtomhuelleNieveau24.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Edelgaskonfiguration der Atomhülle{{AnMS|Ry ist wahrscheinlich <math>R_\infty</math>]]

Aufhebung der {{FB|l-Entartung}}, d-Elektronen (Übergangsmetalle) und f-Elektronen (Lanthaniden, Aktiniden) werden "zu spät" eingebaut. 
Schalenabschlüsse bei den Edelgasen 
:<math>z = 2, 10, 18, 36, 54, 86</math> als den '''magischen Zahlen der Atomhülle'''.


'''Aufgabe für die Kernphysik:''' Ein Zentralpotential so zu wählen, dass bei den '''Schalenabschlüssen''' die magischen Zahlen erscheinen.

Wegen rechnerischer Einfachheit werden oft das {{FB|Kastenpotential}} oder das {{FB|0szillatorpotential}} benutzt.

[[Datei:KastenOszillatropotential25.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Kastenpotential]]

Da es zunächst nur auf die relative Reihenfolge der Energieniveaus ankommt, kann man die Potentiale nach <math>\infty</math> fortsetzen.

Ergebnis z.B. für das Oszillatorpotential:
:Äquidistante Abstände der Energieniveaus mit l-Entartung, die bei dem "abgeschnittenen" Potential aufgehoben wird. 

[[Datei:Aufhebung_l-entartung26.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Ergebnis z.B. für das Oszillatorpotential]]

Ebenso wie hier werden auch beim Kastenpotential und selbst für realistische Potentialformen wie das {{FB|Wood-Saxon-Potential}} nur die ersten drei magischen Zahlen als Schalenabschlüsse erreicht.


Lösung: Zusätzliche (starke) {{FB|Spin-Bahn-Kopplung}}

;Goeppert-Mayer <ref>Goeppert-Mayer: Phys. Rev. 75, 1969 (49) </ref>
;Haxel , Jensen, Suess: <ref>Haxel, Jensen, Suess:Phys. Rev. 75, 1966 (49)</ref>
 
: <math>V = V(r) + V_{SB}  (ls)</math>, <math>|V_{SB}|\approx 1-2 MeV, V_{SB}<0 </math> attraktiv 

{{FB|Dublettaufspa1tung}}: 
<math>\begin{align}
\vec l \vec s= & \frac{1}{2}\left( \vec j^{2}- \vec l^{2}- \vec S^{2}\right)\\
\Rightarrow & \frac{1}{2}\left(j(j-1)-l(l+1)-\frac{3}{4}\right)\\
= & \frac{1}{2}l\quad\text{fuer}\quad j=l+{\frac{1}{2}}\\
= & -\frac{1}{2}(l+1)\quad\text{fuer}\quad j=l+{\frac{1}{2}}\end{align}</math>


[[Datei:Doublettaufspaltung28.png|miniatur|Die Aufspaltung wächst mit 1, solange <math>V_{SB}</math> keine große Abhängigkeit von l zeigt. ]]


[[Datei:Feinstruktur29.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|]]


[[Datei:KernSchalenModell50-30.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|]]

=== Verbesserungen des reinen Schalenmodells  ===
Hinzunahme der {{FB|Paarungskraft}} (bei Weizsäckerformel phänomenologisch als Paarungsterm <math>\delta \approx   1 -2 MeV</math> eingeführt) als (kurzreichweitige) Teil der "Restwechselwirkung", die das Bestreben hat, 
einen '''möglichst guten Überlapp''' der Nukleonenwellenfunktionen zu 
erzielen. Dies gelingt besonders gut durch "Antiparallelstellung" 
der Einzeldrehimpulse und bewirkt den '''verschwindenden Kerndrehimpuls''' <math>I = 0</math> aller (g, g)-Kerne im Grundzustand. 


[[Datei:UeberlagerungKerndrehimpulse-31.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Überlapp der Nukleonenwellenfunktionen]]


Damit wird für (u, g)- und (g, u)-Kerne der Kerndrehimpuls <math>I = j</math> des '''letzten ungepaarten Nukleons'''. Diese Regel stimmt für (fast) 
alle (u, g)- und (g, u)-Kerne, wobei allerdings zu berücksichtigen ist, daß die Paarungskraft die Reihenfolge innerhalb einer Schale 
verändern kann, indern sie besonders große Einzeldrehimpulse <math>j</math> möglichst paarweise absättigt, so daß hohe Gesamtdrehimpulse <math>I</math> 
nicht so häufig vorkommen.

Eine weitere Verbesserung ist für Kerne zwischen den magischen zahlen mit großen Quadrupolmomenten (z.B. im Bereich der Seltenen Erden) die Verwendung eines ''''deformierten' Potentials''' <math>V = V(r, \theta)</math> {{FB|Nilsson-Modell}}.

[[Datei:DeformiertesPotential32.png|miniatur]] 
Für das deformierte Potential ist der 
Bahndrehimpuls <math>\vec l</math> und damit auch <math>\vec j=\vec l+\vec s</math> 
''keine'' Konstante der Bewegung mehr.
Nur die Projektion <math>m</math> auf die Symmetrieachse bleibt konstant, wobei es zu einer Energieaufspaltung bezüglich 
der verschiedenen <math>m</math> kommt, je nachdem <math>j</math> die "Bahn" <math>1</math> mehr oder weniger lang <math>m</math> im Bereich des anziehenden Potentials verläuft.

Für '''angeregte''' Kernzustände ist die Einteilchenvorstellung eines 
"Valenznukleons" nur sehr bedingt verwendbar. Am besten geht es 
noch ganz in der Nähe der magischen Zahlen, z.B. bei 
:<math>^{209}_{82}Pb \hat {=} \textrm{''} {}^{208}_{82}Pb \textrm{''} + (2g_{9/2})-</math>Valenzneutronen mit <math>^{208}_{82}Pb</math> doppelmagischer Rumpf



Besonders zwischen den magischen Zahlen treten Anregungsspektren 
auf, die sehr viel besser durch '''kollektive''' Nukleonenbewegungen, z.B. 
durch '''Rotations'''- und '''Vibrationszustände''' - ähnlich wie bei Molekülspektren - beschrieben werden können. Im Gegensatz zu den Molekülspektren sind die Verhältnisse jedoch weitaus komplizierter, da 
die Trennung in Einteilchenzustände, Vibrationen und Rotationen 
keine gute Näherung darstellt, da die Bedingung 
:<math>\rm E (Einteilchen) \gg E (Vibration) \gg E (Rotation)</math> im Kern nur '''sehr schlecht''' erfüllt ist.
{{AnMS|Die starke WW im Kern ist viel größer als die elektromagnetische WW in der Hülle}}
==Einzelnachweise==
<references />
==Ergänzende Informationen==
(gehört nicht zum Skript)

===Prüfungsfragen===
* Schalernnodell (Wood-Saxon-Potential, Spin-Bahn-Kopplung(Goeppert Mayer, vgl. Atomhülle), Magische Zahlen bis 28 aufmalen können)
** Grenzen des Modells (Valenznukleonen, uu-Kerne werden schlecht beschrieben)
** Kollektive Anregungen
** Deformationen des Kerns -> Quadrupoltenne (Energieaufspaltung messbar mit dEldx)
** Nielssonmodell (Aufhebung der rn-Entartung, ansonsten nichts genaueres)
* Heutige Experimente und Theorien der Kerne (hier wollte sie, glaube ich, die Verbindung zwischen Streuexperimenten und theoretischen Modellentwickhmgen wissen)
*Woher kommt das Geraffel am Anfang der Bindungsenergiekurve E_B/A(A)?->Schalenabschlüsse
*Schalenmodell: erst nur harmonischer Oszillator dann Spinbahnterm zur Erklärung der magischen Zahlen.