Editing Das Photonengas im Strahlungshohlraum

<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|5|4}}</noinclude>

Betrachte: elektromagnetische Strahlung in einem ladungs- und stromfreien Hohlraum im thermischen Gleichgewicht:

:<math>\begin{align}

& \bar{E}\left( \bar{r},t \right)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega \left( q \right)t \right)}} \\

& \bar{B}\left( \bar{r},t \right)={{{\bar{B}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega \left( q \right)t \right)}} \\

\end{align}</math>

Ebene Wellen als Lösung der Maxwell- Gleichung!

Mit:

:<math>\begin{align}

& {{{\bar{E}}}_{0}}{{{\bar{B}}}_{0}}=0 \\

& \bar{q}{{{\bar{E}}}_{0}}=\bar{q}{{{\bar{B}}}_{0}}= 0\\

& \text{und} \\

& \omega (q)=c\left| {\bar{q}} \right| \\

\end{align}</math>

Also: E- Feld, B- Feld und Ausbreitungsrichtung stehen senkrecht aufeinander!

 '''Quantisierung des elektromagnetischen Feldes:''' 

betrachte elektromagnetisches Feld als Feld von  Oszillatoren mit Frequenz <math>\omega (q)=c\left| {\bar{q}} \right|</math>
:→<math>\begin{align}

& {{E}_{q}}=\hbar \omega (q)\left( {{n}_{q}}+\frac{1}{2} \right) \\

& q=1,2,3,.... \\

\end{align}</math>

Interpretation von n<sub>q</sub> als Zahl der {{FB|Schwingungsquanten}} oder {{FB|Photonen}} mit der Energie <math>\hbar \omega (q).</math> und mit dem Impuls <math>\hbar \bar{q}</math>!

Photonen sind Bosonen (da n<sub>q</sub>=0,1,2,3,4,5,....  möglich!)

mit Spin S=1.

<u>'''Aber:'''</u>

Entartungsgrad nur 2: 2 Spinzustände!, entsprechend 2 Polarisationsrichtungen:

linkszirkular und rechtszirkulare Polarisation! der klassischen elektromagnetischen Welle!

Bei linkszirkularer Polarisation gilt:

:<math>\bar{S}\uparrow \downarrow \bar{q}</math>

Bei rechtszirkularer Polarisation gilt:

:<math>\bar{S}\uparrow \uparrow \bar{q}</math>

Die dritte Einstellmöglichkeit tritt nicht auf, da es '''keine "longitudinalen" Photonen''' gibt! (longitudinale Wellen!)

 Lichtgeschwindigkeit ist c, da m0=0 (Ruhemasse)=0

Im thermischen Gleichgewciht des Photonengases mit den Wänden ("{{FB|Hohlraumstrahlung}}") werden ständig Photonen emittiert und absorbiert!

Ihre Anzahl <math>\bar{N}</math> ist deshalb bereits  durch T und V festgelegt und daher keine unabhängige Nebenbedingung!

->  kanonisches Ensemble!

'''Formal:'''

Setze <math>\mu =0</math> in der Boseverteilung ({{FB|chemisches Potenzial}} verschwindet)

:<math>\begin{align}

& \bar{N}=2\sum\limits_{{\bar{q}}}^{{}}{{}}\frac{1}{\exp \left( \frac{\hbar \omega \left( q \right)}{kT} \right)-1}=2\sum\limits_{{\bar{q}}}^{{}}{{}}\left\langle {{N}_{q}} \right\rangle  \\

& U=2\sum\limits_{{\bar{q}}}^{{}}{{}}\frac{\hbar \omega \left( q \right)}{\exp \left( \frac{\hbar \omega \left( q \right)}{kT} \right)-1} \\

\end{align}</math>

Dabei kommt der Vorfaktor 2 wegen den beiden möglichen Polarisationsrichtungen!

====Übergang zum Quasi- Kontinuum!====
:<math>\begin{align}

& 2\sum\limits_{{\bar{q}}}^{{}}{{}}->\frac{2V}{{{h}^{3}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}\left( \hbar \bar{q} \right)=\frac{8\pi V}{{{\left( 2\pi  \right)}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dq{{q}^{2}}=\frac{8\pi V}{{{\left( 2\pi  \right)}^{3}}{{c}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}d\omega {{\omega }^{2}} \\

& \omega =cq \\

& \omega =2\pi \nu  \\

& \Rightarrow \frac{8\pi V}{{{\left( 2\pi  \right)}^{3}}{{c}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}d\omega {{\omega }^{2}}=\frac{8\pi V}{{{c}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}d\nu {{\nu }^{2}} \\

\end{align}</math>

<u>'''Zustandsdichte der Photonen'''</u>

Somit folgt die Zustandsdichte der Photonen als:

:<math>\begin{align}

& \bar{N}=2\sum\limits_{{\bar{q}}}^{{}}{{}}\left\langle {{N}_{q}} \right\rangle  \\

& \Rightarrow \bar{N}=\frac{8\pi V}{{{\left( 2\pi  \right)}^{3}}{{c}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}d\omega {{\omega }^{2}}\left\langle N(\omega ) \right\rangle =\frac{8\pi V}{{{c}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}d\nu {{\nu }^{2}}\left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle  \\

& \bar{N}:=\int_{0}^{\infty }{{}}d\nu D\left( \nu  \right)\left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle  \\

& \Rightarrow D\left( \nu  \right)=\frac{8\pi V}{{{c}^{3}}}{{\nu }^{2}} \\

& \bar{N}=\frac{8\pi V}{{{c}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}d\nu {{\nu }^{2}}\left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle =\int_{0}^{\infty }{{}}d\nu D\left( \nu  \right)\left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle  \\

& U=\int_{0}^{\infty }{{}}d\nu D\left( \nu  \right)h\nu \left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle  \\

\end{align}</math>

Dabei ist die Energie ein mit dem Volumen skalierter Wert einer spektralen Energiedichte, die über alle Frequenzen integriert wird.

Dem entsprechend ist der Wert der {{FB|spektralen Energiedichte}}, die

{{Gln|'''Plancksche Strahlungsformel'''

:<math>u\left( \nu ,T \right):=\frac{1}{V}D\left( \nu  \right)h\nu \left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle =\frac{8\pi h}{{{c}^{3}}}\frac{{{\nu }^{3}}}{{{e}^{\frac{h\nu }{kT}}}-1}</math>|Plancksche Strahlungsformel}}

<u>'''Grenzfälle'''</u>

:<math>\begin{align}

& h\nu <<kT \\

& u\left( \nu ,T \right)\cong \frac{8\pi h}{{{c}^{3}}}\frac{{{\nu }^{3}}}{\frac{h\nu }{kT}}=\frac{8\pi }{{{c}^{3}}}{{\nu }^{2}}kT \\

\end{align}</math>

klassisches Resultat, '''Rayleigh- Jeans- Gesetz ''' richtig für <math>\nu \to 0</math>
,
 aber: Infrarot- Katastrophe!

:<math>\begin{align}

& h\nu >>kT \\

& u\left( \nu ,T \right)\cong \frac{8\pi h}{{{c}^{3}}}\frac{{{\nu }^{3}}}{{{e}^{\frac{h\nu }{kT}}}}=\frac{8\pi h}{{{c}^{3}}}{{\nu }^{3}}{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}} \\

\end{align}</math>

W. Wien: empirisches Resultat für <math>\nu \to \infty </math>!

für irdische Lichtquellen, versagt jedoch für Sonne und Fixsterne!

Plancksche Ableitung der Strahlungsformel (1900):

'''Postulat:'''

Strahlungsenergie gequantelt gemäß <math>{{E}_{n}}=nh\nu </math>

in Zustandssumme!

Damit konnte M. Planck erstmals die Strahlung schwarzer Körper (also vollständig absorbierender Strahlungshohlräume im thermodynamischen Gleichgewicht) erklären!

Er konnte damit auch zwischen Rayleigh- Jeans und Wien interpolieren!

* <u>'''historischer Ausgangspunkt der Quantenmechanik!!'''</u>

<u>'''Maximum der spektralen Energiedichte für'''</u>

:<math>\begin{align}

& h\nu >>kT \\

& \frac{\partial u\left( \nu ,T \right)}{\partial \nu }=0=\frac{\partial }{\partial \nu }\frac{8\pi h}{{{c}^{3}}}\frac{{{\nu }^{3}}}{{{e}^{\frac{h\nu }{kT}}}}=\frac{8\pi h}{{{c}^{3}}}\frac{\partial }{\partial \nu }\left( {{\nu }^{3}}{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}} \right)=\frac{8\pi h}{{{c}^{3}}}\left( 3{{\nu }^{2}}{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}}-\frac{h}{kT}{{\nu }^{3}}{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}} \right) \\

& \Rightarrow 3{{\nu }^{2}}{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}}=\frac{h}{kT}{{\nu }^{3}}{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}} \\

& \Rightarrow \frac{3kT}{h}={{\nu }_{\max .}} \\

\end{align}</math>

'''Wiensches Verschiebungsgesetz'''

Hier sieht man den Verlauf für T=100, 200, 300, 400 K:


====Gesamtenergie====

Gewinnt man durch Integration über alle Frequenzen:

:<math>\begin{align}

& U\left( T \right):=V\int_{{}}^{{}}{{}}d\nu \frac{1}{V}D\left( \nu  \right)h\nu \left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle =\frac{8\pi hV}{{{c}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}d\nu \frac{{{\nu }^{3}}}{{{e}^{\frac{h\nu }{kT}}}-1} \\

& =\frac{8\pi V}{{{\left( ch \right)}^{3}}}{{\left( kT \right)}^{4}}\int_{0}^{\infty }{{}}dx\frac{{{x}^{3}}}{{{e}^{x}}-1} \\

& \int_{0}^{\infty }{{}}dx\frac{{{x}^{3}}}{{{e}^{x}}-1}=\frac{{{\pi }^{4}}}{15} \\

& U\left( T \right)=\frac{8{{\pi }^{5}}V}{15{{\left( ch \right)}^{3}}}{{\left( kT \right)}^{4}} \\

\end{align}</math>

Also das Integral unter den obigen Kurven mal das Volumen des Hohlraums!

Auch für einen Strahlungshohlraum lassen sich Wärmekapazität, Druck etc.. angeben:

<u>'''Wärmekapazität:'''</u>

:<math>{{C}_{V}}={{\left( \frac{\partial U\left( T \right)}{\partial T} \right)}_{V}}=\frac{32{{\pi }^{5}}V}{15{{\left( ch \right)}^{3}}}{{k}^{4}}{{T}^{3}}</math>

====Strahlungsdruck im Hohlraum====

Aus

:<math>p=-{{\left( \frac{\partial F}{\partial V} \right)}_{T}}</math>

folgt mit der kanonischen Zustandssumme Z:

:<math>\begin{align}

& F=-kT\ln Z=kT\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}\ln \left( 1-{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}} \right) \\

& p=kT{{\left( \frac{\partial }{\partial V}\ln Z \right)}_{T}}=-kT\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}\frac{\frac{h}{kT}\left( \frac{\partial \nu }{\partial V} \right){{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}}}{\left( 1-{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}} \right)} \\

\end{align}</math>

Dies ist keineswegs Null, denn: mit dem Volumen V ändert sich die Frequenz einer stehenden Welle:


:<math>\begin{align}

& \nu =\frac{c}{\lambda }\tilde{\ }{{V}^{-\frac{1}{3}}} \\

& \frac{\partial \nu }{\partial V}=-\frac{1}{3}\frac{\nu }{V} \\

\end{align}</math>

:<math>\begin{align}

& p=kT{{\left( \frac{\partial }{\partial V}\ln Z \right)}_{T}}=-kT\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}\frac{\frac{h}{kT}\left( \frac{\partial \nu }{\partial V} \right){{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}}}{\left( 1-{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}} \right)}=kT\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}\frac{\frac{h}{kT}\frac{\nu }{3V}{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}}}{\left( 1-{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}} \right)}=\frac{1}{3V}\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}\frac{h\nu {{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}}}{\left( 1-{{e}^{-\frac{h\nu }{kT}}} \right)}= \\

& \Rightarrow p=\frac{1}{3V}\sum\limits_{\nu }^{{}}{{}}h\nu \left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle  \\

& p=\frac{1}{3}\frac{U}{V} \\

\end{align}</math>

Der Strahlungsdruck!

Also:

:<math>p\left( T \right)=\frac{8{{\pi }^{5}}}{45{{\left( ch \right)}^{3}}}{{\left( kT \right)}^{4}}</math>

Das heißt: In einem Hohlraum steigt der Strahlungsdruck mit der vierten Potenz der Temperatur!

Betrachtet man dies in N/ m², so ergibt sich:

Im Zentrum der Sonne allerdings herrschen <math>2,5\cdot {{10}^{7}}</math>

bar Strahlungsdruck!:



====Einsteinsche Ableitung der Planckschen Strahlungsformel====

(1917)

Einstein hatte den begriff "{{FB|Photon}}" im Zusammenhang  mit dem {{FB|Photoeffekt}} entwickelt. Im Strahlungshohlraum seien 2 Niveau- Atome, die zwischen den Energien E1 und E2 mit Entartungsgrade g1 und g2 Strahlungsübergänge machen können, indem sie Photonen der Energie <math>h\nu ={{E}_{2}}-{{E}_{1}}</math> absorbieren oder emittieren!

Im thermodynamischen Gleichgewicht gilt für die mittleren Besetzungszahlen der elektronischen Atomniveaus (Fermionen):

:<math>\begin{align}

& \frac{\left\langle {{N}_{2}} \right\rangle }{\left\langle {{N}_{1}} \right\rangle }=\frac{{{g}_{2}}P({{E}_{2}})}{{{g}_{1}}P({{E}_{1}})}=\frac{{{g}_{2}}{{e}^{-\beta {{E}_{2}}}}}{{{g}_{1}}{{e}^{-\beta {{E}_{1}}}}}=\frac{{{g}_{2}}}{{{g}_{1}}}{{e}^{-\beta \left( {{E}_{2}}-{{E}_{1}} \right)}}=\frac{{{g}_{2}}}{{{g}_{1}}}{{e}^{-\beta h\nu }} \\

& h\nu ={{E}_{2}}-{{E}_{1}} \\

\end{align}</math>

Dabei gilt für die Besetzungswahrscheinlichkeiten:

:<math>P({{E}_{i}})={{Z}^{-1}}{{e}^{-\beta {{E}_{i}}}}</math>

Im thermischen Gleichgewicht werden im Mittel so viele Photonen emittiert wie absorbiert:

'''Ansatz für die {{FB|Raten}} '''(= Anzahl der Übergänge pro Zeit und Volumen)_

1) {{FB|Absorption}}: <math>{{E}_{1}}\to {{E}_{2}}</math>

mit der Photonenzahl u:

{{FB|Absorptionsrate}}: <math>{{E}_{1}}\to {{E}_{2}}</math>

:<math>{{B}_{12}}u\left( \nu ,T \right)\left\langle {{N}_{1}} \right\rangle </math>

2) {{FB|Spontane Emission}}:

{{FB|Emissionsrate}}: <math>{{E}_{2}}\to {{E}_{1}}</math>

:<math>{{A}_{21}}\left\langle {{N}_{2}} \right\rangle </math>

Man erhält als {{FB|mittlere Lebensdauer}} eines Anregungszustandes: <math>\frac{1}{\tau }={{A}_{21}}</math>

3) {{FB|Induzierte Emission}}:

{{FB|Emissionsrate}}: <math>{{E}_{2}}\to {{E}_{1}}</math>

:<math>{{B}_{21}}u\left( \nu ,T \right)\left\langle {{N}_{2}} \right\rangle </math>

Diese wurde von Einstein neu eingeführt!

* Grundlage der Maser (1954) und Laser (1961)

Vergleichsweise zum {{FB|chemischen Massenwirkungsgesetz}} (Kapitel 4.5) gewinnt man schließlich eine {{FB|Bilanzgleichung}} mit den "{{FB|Einstein- Koeffizienten}}"  B12, A21 und B21:

:<math>\begin{align}

& {{B}_{12}}u\left( \nu ,T \right)\left\langle {{N}_{1}} \right\rangle ={{B}_{21}}u\left( \nu ,T \right)\left\langle {{N}_{2}} \right\rangle +{{A}_{21}}\left\langle {{N}_{2}} \right\rangle  \\

& \Rightarrow u\left( \nu ,T \right)=\frac{{{A}_{21}}}{{{B}_{12}}\frac{\left\langle {{N}_{1}} \right\rangle }{\left\langle {{N}_{2}} \right\rangle }-{{B}_{21}}}=\frac{{{A}_{21}}}{{{B}_{12}}\frac{{{g}_{1}}}{{{g}_{2}}}{{e}^{\beta h\nu }}-{{B}_{21}}} \\

\end{align}</math>

'''Auf das richtige {{FB|Plancksche Strahlungsgesetz}} kommt man über 2 zusätzliche Postulate:'''

 <math>\begin{matrix}
    \lim   \\
    T->\infty   \\
 \end{matrix}u\left( \nu ,T \right)=\infty \Rightarrow {{B}_{12}}\frac{{{g}_{1}}}{{{g}_{2}}}={{B}_{21}}</math>


Damit muss man das Strahlungsgesetz in der Form

:<math>u\left( \nu ,T \right)=\frac{{{A}_{21}}}{{{B}_{12}}\frac{{{g}_{1}}}{{{g}_{2}}}{{e}^{\beta h\nu }}-{{B}_{21}}}=\frac{a}{{{e}^{\beta h\nu }}-1}</math>

schreiben können. Die {{FB|Bose-Einstein-Verteilung}} ist also bereits herausgekommen!

 <math>\begin{align}
   & kT>>h\nu \Rightarrow \begin{matrix}
    \lim   \\
    T->\infty   \\
 \end{matrix}u\left( \nu ,T \right)=\frac{8\pi }{{{c}^{3}}}{{\nu }^{2}}kT \\
  & \Rightarrow a=\frac{8\pi }{{{c}^{3}}}h{{\nu }^{3}} \\
 \end{align}</math>

das heißt: für hohe Temperaturen sollte das Strahlungsgesetz in das {{FB|Rayleigh-Jeans-Gesetz}} übergehen!

Damit gewinnt man den Faktor a!

{{Gln|<math>u\left( \nu ,T \right)=\frac{8\pi }{{{c}^{3}}}h{{\nu }^{3}}\frac{1}{{{e}^{\beta h\nu }}-1}</math>|Plancksches Strahlungsgesetz}}

====Verallgemeinerung====

kann auf Elektronensysteme im '''Nicht'''gleichgewicht geschehen!

Wie bei Photonen nur mit {{FB|effektivem chemischem Potenzial}} <math>\mu \ne 0</math>

Anwendung: Laser!