Editing D'Alembertsches Prinzip der virtuellen Arbeit
Jump to navigation
Jump to search
The edit can be undone. Please check the comparison below to verify that this is what you want to do, and then publish the changes below to finish undoing the edit.
Latest revision | Your text | ||
Line 7: | Line 7: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}(t)-{{{\vec{X}}}_{i}}={{{\vec{Z}}}_{i}}\quad i=1...N \\ | & {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}(t)-{{{\vec{X}}}_{i}}={{{\vec{Z}}}_{i}}\quad i=1...N \\ | ||
& \to \sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}(t)-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)\delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}} \\ | & \to \sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}(t)-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)\delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}} \\ | ||
Line 19: | Line 19: | ||
<math>f({{\vec{r}}_{i}},t)=0</math> | |||
Line 25: | Line 25: | ||
<math>\vec{a}\cdot (\vec{r}-{{\vec{r}}_{o}}(t))=0</math> | |||
Line 31: | Line 31: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{{\vec{Z}}}_{i}}={{\lambda }_{i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}}){{\nabla }_{ri}}f \\ | & {{{\vec{Z}}}_{i}}={{\lambda }_{i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}}){{\nabla }_{ri}}f \\ | ||
& {{\nabla }_{ri}}f\quad z.B.\vec{a}\ f\ddot{u}r\ Ebene \\ | & {{\nabla }_{ri}}f\quad z.B.\vec{a}\ f\ddot{u}r\ Ebene \\ | ||
Line 40: | Line 40: | ||
<math>{{\vec{Z}}_{i}}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0={{\lambda }_{i}}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},...,{{\vec{r}}_{N}}){{\nabla }_{ri}}f\delta {{\vec{r}}_{i}}={{\lambda }_{i}}\delta f</math> | |||
Line 46: | Line 46: | ||
<math>{{\nabla }_{ri}}f\delta {{\vec{r}}_{i}}</math> | |||
ist als Variation der Zwangsbedingung zu verstehen: | ist als Variation der Zwangsbedingung zu verstehen: | ||
<math>{{\nabla }_{ri}}f</math> | |||
ist ein Differenzial senkrecht auf die Fläche | ist ein Differenzial senkrecht auf die Fläche | ||
<math>f\delta {{\vec{r}}_{i}}</math> | |||
ein Differenzial parallel zur Fläche | ein Differenzial parallel zur Fläche | ||
Line 60: | Line 60: | ||
<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}}=0</math> | |||
Line 66: | Line 66: | ||
<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}d{{{\vec{r}}}_{i}}}\ne 0</math> | |||
}} | }} | ||
{{Beispiel| | {{Beispiel| | ||
Line 72: | Line 72: | ||
<math>{{f}_{\lambda }}=\left| {{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}} \right|-{{l}_{ij}}:={{r}_{ij}}-{{l}_{ij}}=0</math> | |||
Annahme: Die Zwangskräfte wirken in Richtung | Annahme: Die Zwangskräfte wirken in Richtung | ||
<math>{{\vec{r}}_{i}}-{{\vec{r}}_{j}}</math> | |||
<math>{{\vec{Z}}_{ij}}={{\lambda }_{ij}}\frac{{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}</math> | |||
Line 87: | Line 87: | ||
Bestimme die Richtung der Zwangskraft und multipliziere einen beliebigen skalaren Faktor mit dieser Richtung. | Bestimme die Richtung der Zwangskraft und multipliziere einen beliebigen skalaren Faktor mit dieser Richtung. | ||
Falls die Richtungen für verschiedene Zwangskräfte verschieden sind, so muss man diese indizieren (mit einem Index kenntlich machen). Die Zwangskräfte erhalten dann ebenso indizierte skalare Faktoren. | Falls die Richtungen für verschiedene Zwangskräfte verschieden sind, so muss man diese indizieren ( mit einem Index kenntlich machen). Die Zwangskräfte erhalten dann ebenso indizierte skalare Faktoren. | ||
Mit Hilfe des 3. Newtonschen Axioms können wir weiter einschränken: | Mit Hilfe des 3. Newtonschen Axioms können wir weiter einschränken: | ||
<math>{{\vec{Z}}_{ij}}=-{{\vec{Z}}_{ji}}\Rightarrow {{\lambda }_{i{{j}_{{}}}}}={{\lambda }_{ji}}</math> | |||
Line 98: | Line 98: | ||
<math>{{\vec{Z}}_{i}}=\sum\limits_{j\ne i}{{{Z}_{ij}}}=\sum\limits_{j}{{{\lambda }_{ij}}\frac{{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}}</math> | |||
<math>{{\vec{Z}}_{i}}\delta {{\vec{r}}_{i}}\ne 0</math> | |||
im Allgemeinen. Es verschwindet also nicht die virtuelle Arbeit für jede Masse einzeln. | im Allgemeinen. Es verschwindet also nicht die virtuelle Arbeit für jede Masse einzeln. | ||
Line 108: | Line 108: | ||
<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i,j}{{{\lambda }_{ij}}\frac{{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i,j}{{{\lambda }_{ij}}\frac{{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}}{{\delta }_{{}}}{{({{\vec{r}}_{i}}-{{\vec{r}}_{j}})}_{{}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i,j}{{{\lambda }_{ij}}}{{\delta }_{{}}}{{r}_{ij}}=0</math> | |||
Line 114: | Line 114: | ||
<math>\delta |r|=\delta {{(\vec{r}\cdot \vec{r})}^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}{{(\vec{r}\cdot \vec{r})}^{-\frac{1}{2}}}2\vec{r}\delta \vec{r}=\frac{\vec{r}\delta \vec{r}}{r}</math> und <math>{{\delta }_{{}}}{{r}_{ij}}=0</math> | |||
}} | }} | ||
==Allgemeine Forderung== | ==Allgemeine Forderung== | ||
Allgemein kann man fordern: | Allgemein kann man fordern: | ||
<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=0</math> | |||
für alle betrachteten Zwangskräfte. | für alle betrachteten Zwangskräfte. | ||
Line 125: | Line 125: | ||
{{Def|Somit folgt als '''d'Alembertsches Prinzip''': | {{Def|Somit folgt als '''d'Alembertsches Prinzip''': | ||
<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math> | |||
|d'Alembertsches Prinzip}} | |d'Alembertsches Prinzip}} | ||
Line 132: | Line 132: | ||
Beispiel für ein {{FB|Variationsprinzip}}: | Beispiel für ein {{FB|Variationsprinzip}}: | ||
{{FB|Differentialprinzip}}: (für infinitesimal kleine Variationen): | {{FB|Differentialprinzip}}: ( für infinitesimal kleine Variationen): | ||
Der wirklich angenommene Zustand eines Systems ist in Extremalzustand in dem Sinn, dass die gesamte virtuelle Arbeit Null ist. Dieser Zustand ist stabil gegen kleine Verrückungen der Bahn | Der wirklich angenommene Zustand eines Systems ist in Extremalzustand in dem Sinn, dass die gesamte virtuelle Arbeit Null ist. Dieser Zustand ist stabil gegen kleine Verrückungen der Bahn | ||
<math>\left\{ \delta {{{\vec{r}}}_{i}} \right\}</math>. | |||
==Variationsprinzip mit Nebenbedingungen== | ==Variationsprinzip mit Nebenbedingungen== | ||
Wir numerieren nun die Vektorkoordinaten um: | Wir numerieren nun die Vektorkoordinaten um: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \vec{r}\to {{r}_{j}}(j=1...3) \\ | & \vec{r}\to {{r}_{j}}(j=1...3) \\ | ||
& \vec{X}\to {{X}_{j}} \\ | & \vec{X}\to {{X}_{j}} \\ | ||
Line 148: | Line 148: | ||
Aus dem d´Alembertschen Prinzip gewinnen wir: | Aus dem d´Alembertschen Prinzip gewinnen wir: | ||
<math>\sum\limits_{i=1}^{3N}{{{Z}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{r}_{i}}}=\sum\limits_{i=1}^{3N}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{r}}}_{i}}-{{X}_{i}} \right)\delta {{r}_{i}}=0}</math> | |||
Nebenbedingung: | Nebenbedingung: | ||
<math>\sum\limits_{i=1}^{3N}{{{b}_{i}}^{n}\delta {{r}_{i}}=0\quad n=1,...,\nu }</math> | |||
<math>\nu</math> charakterisiert auch hier die Zahl der Nebenbedingungen, der Index n steht für die n-te Nebenbedingung | |||
Dies ist lösbar mit der {{FB|Methode der Lagrange-Multiplikatoren}}. | Dies ist lösbar mit der {{FB|Methode der Lagrange-Multiplikatoren}}. | ||
Denn: Wenn die Vektorkomponenten <math>{{r}_{i}}</math> frei variierbar wären, also <math>\delta {{r}_{i}}</math> beliebig, so müsste gelten: | Denn: Wenn die Vektorkomponenten <math>{{r}_{i}}</math> frei variierbar wären, also <math>\delta {{r}_{i}}</math> beliebig, so müsste gelten: | ||
<math>{{m}_{i}}{{\ddot{r}}_{i}}-{{X}_{i}}=0</math> | |||
Line 175: | Line 175: | ||
**Da hier jedoch die <math>\delta {{r}_{j}}</math> frei variierbar sind, gilt: | **Da hier jedoch die <math>\delta {{r}_{j}}</math> frei variierbar sind, gilt: | ||
{{Def|<math>{{m}_{j}}{{\ddot{r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0</math>'''Lagrange- Gleichung der 1. Art'''|Lagrange- Gleichung der 1. Art}} | {{Def|<math>{{m}_{j}}{{\ddot{r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0</math>'''Lagrange- Gleichung der 1. Art'''|Lagrange- Gleichung der 1. Art}} | ||
<math>\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}</math> kann als Zwangskraft interpretiert werden und taucht in der Statik als Lagrange- Parameter auf. | |||
{{Beispiel|Beispiel Atwoodsche Fallmaschine | {{Beispiel|Beispiel Atwoodsche Fallmaschine | ||
[[Datei: | [[Datei:Atwoods_machine_functionally.svg|miniatur|Atwoods Fallmaschine]] | ||
Aus der Schule bekannt ist die Kraft, die an m1 angreift, nämlich -m1g und die Kraft, die an m2 angreift, nämlich -m2g. | Aus der Schule bekannt ist die Kraft, die an m1 angreift, nämlich -m1g und die Kraft , die an m2 angreift, nämlich -m2g. | ||
Beginnen wir mit dem d´Alembertschen Prinzip: | Beginnen wir mit dem d´Alembertschen Prinzip: | ||
<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math> | |||
so folgt: | so folgt: | ||
<math>({{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}-{{X}_{1}})\delta {{h}_{1}}+({{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{2}}-{{X}_{2}})\delta {{h}_{2}}=0</math> | |||
Da der Aufbau nur ein Rädchen besitzt gilt ganz einfach: | Da der Aufbau nur ein Rädchen besitzt gilt ganz einfach: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{h}_{1}}+{{h}_{2}}=const. \\ | & {{h}_{1}}+{{h}_{2}}=const. \\ | ||
& \delta {{h}_{1}}=-\delta {{h}_{2}} \\ | & \delta {{h}_{1}}=-\delta {{h}_{2}} \\ | ||
Line 195: | Line 195: | ||
Also folgt: | Also folgt: | ||
<math>({{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{1}}g)\delta {{h}_{1}}-(-{{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{2}}g)\delta {{h}_{1}}=0</math> | |||
<math>{{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{1}}g+{{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{1}}-{{m}_{2}}g=0</math> | |||
<math>{{\ddot{h}}_{1}}=\frac{({{m}_{2}}-{{m}_{1}})}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}g</math> | |||
Also: Am bedeutendsten ist das d´Alembertsche Prinzip, welches sagt, dass die Summe über alle virtuellen Arbeiten der Zwangskräfte Null ist: | Also: Am bedeutendsten ist das d´Alembertsche Prinzip, welches sagt, dass die Summe über alle virtuellen Arbeiten der Zwangskräfte Null ist: | ||
<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math>}} |