Editing D'Alembertsches Prinzip der virtuellen Arbeit

{{Scripthinweis|Mechanik|1|3}}


Gegeben sei ein System von N Massepunkten mit beliebigen ( holonomen oder nicht holonomen) Zwangsbed.

Schreiben wir die Bewegungsgleichungen mit den Zwangskräften Zi als:


<math>\begin{align}
  & {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}(t)-{{{\vec{X}}}_{i}}={{{\vec{Z}}}_{i}}\quad i=1...N \\
 & \to \sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}(t)-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)\delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}} \\
\end{align}</math>

{{Def|;Dabei versteht man
:<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{X}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}}</math> als virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte und
:<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}}</math> als virtuelle Arbeit der Zwangskräfte.|Virtuelle Arbeit}}

{{Beispiel|<u>'''Beispiel: Bewegung auf einer Fläche'''</u>


<math>f({{\vec{r}}_{i}},t)=0</math>


das ist auf der Ebene gerade durch die Normale auszudrücken:


<math>\vec{a}\cdot (\vec{r}-{{\vec{r}}_{o}}(t))=0</math>


Annahme: Alle Zwangskräfte stehen senkrecht auf die Fläche:


<math>\begin{align}
  & {{{\vec{Z}}}_{i}}={{\lambda }_{i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}}){{\nabla }_{ri}}f \\
 & {{\nabla }_{ri}}f\quad z.B.\vec{a}\ f\ddot{u}r\ Ebene \\
\end{align}</math>


Die Virtuelle Arbeit der Zwangskräfte verschwindet nun:


<math>{{\vec{Z}}_{i}}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0={{\lambda }_{i}}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},...,{{\vec{r}}_{N}}){{\nabla }_{ri}}f\delta {{\vec{r}}_{i}}={{\lambda }_{i}}\delta f</math>


Begründung:


<math>{{\nabla }_{ri}}f\delta {{\vec{r}}_{i}}</math>
ist als Variation der Zwangsbedingung zu verstehen:


<math>{{\nabla }_{ri}}f</math>
ist ein Differenzial senkrecht auf die Fläche


<math>f\delta {{\vec{r}}_{i}}</math>
ein Differenzial parallel zur Fläche

Also folgt:


<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}}=0</math>


Die reale Arbeit der Zwangskräfte verschwindet dagegen im Allgemeinen nicht:


<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}d{{{\vec{r}}}_{i}}}\ne 0</math>
}}
{{Beispiel|
'''Beispiel: Starrer Körper'''


<math>{{f}_{\lambda }}=\left| {{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}} \right|-{{l}_{ij}}:={{r}_{ij}}-{{l}_{ij}}=0</math>


Annahme: Die Zwangskräfte wirken in Richtung
<math>{{\vec{r}}_{i}}-{{\vec{r}}_{j}}</math>



<math>{{\vec{Z}}_{ij}}={{\lambda }_{ij}}\frac{{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}</math>


Das Vorgehen läßt sich also folgendermaßen schematisieren:

Bestimme die Richtung der Zwangskraft und multipliziere einen beliebigen skalaren Faktor mit dieser Richtung.

Falls die Richtungen für verschiedene Zwangskräfte verschieden sind, so muss man diese indizieren ( mit einem Index kenntlich machen). Die Zwangskräfte erhalten dann ebenso indizierte skalare Faktoren.

Mit Hilfe des 3. Newtonschen Axioms können wir weiter einschränken:


<math>{{\vec{Z}}_{ij}}=-{{\vec{Z}}_{ji}}\Rightarrow {{\lambda }_{i{{j}_{{}}}}}={{\lambda }_{ji}}</math>


Auf das Teilchen i wirkt also insgesamt die Zwangskraft:


<math>{{\vec{Z}}_{i}}=\sum\limits_{j\ne i}{{{Z}_{ij}}}=\sum\limits_{j}{{{\lambda }_{ij}}\frac{{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}}</math>



<math>{{\vec{Z}}_{i}}\delta {{\vec{r}}_{i}}\ne 0</math>
im Allgemeinen. Es verschwindet also nicht die virtuelle Arbeit für jede Masse einzeln.

Jedoch gilt:


<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i,j}{{{\lambda }_{ij}}\frac{{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i,j}{{{\lambda }_{ij}}\frac{{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}}{{\delta }_{{}}}{{({{\vec{r}}_{i}}-{{\vec{r}}_{j}})}_{{}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i,j}{{{\lambda }_{ij}}}{{\delta }_{{}}}{{r}_{ij}}=0</math>


Beweis:


<math>\delta |r|=\delta {{(\vec{r}\cdot \vec{r})}^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}{{(\vec{r}\cdot \vec{r})}^{-\frac{1}{2}}}2\vec{r}\delta \vec{r}=\frac{\vec{r}\delta \vec{r}}{r}</math>


und


<math>{{\delta }_{{}}}{{r}_{ij}}=0</math>

}}
Allgemein kann man fordern:


<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=0</math>
für alle betrachteten Zwangskräfte.

Das bedeutet: Gleitreibungskräfte längs einer Fläche sind als Zwangskräfte ausgeschlossen.

Somit folgt als d'Alembertsches Prinzip:


<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math>


Das d´Alembertsche Prinzip gilt gleichermaßen für holonome und anholonome Zwangsbedingungen

<u>'''Beispiel für ein Variationsprinzip:'''</u>

'''Differentialprinzip: ( für infinitesimal kleine Variationen):'''

Der wirklich angenommene Zustand eines Systems ist in Extremalzustand in dem Sinn, dass die gesamte virtuelle Arbeit Null ist. Dieser Zustand ist stabil gegen kleine Verrückungen der Bahn
<math>\left\{ \delta {{{\vec{r}}}_{i}} \right\}</math>
.

====Variationsprinzip mit Nebenbedingungen====

Wir numerieren nun die Vektorkoordinaten um:


<math>\begin{align}
  & \vec{r}\to {{r}_{j}}(j=1...3) \\
 & \vec{X}\to {{X}_{j}} \\
 & \vec{a}\to {{b}_{j}}^{n} \\
\end{align}</math>


Aus dem d´Alembertschen Prinzip gewinnen wir:


<math>\sum\limits_{i=1}^{3N}{{{Z}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{r}_{i}}}=\sum\limits_{i=1}^{3N}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{r}}}_{i}}-{{X}_{i}} \right)\delta {{r}_{i}}=0}</math>


Nebenbedingung:


<math>\sum\limits_{i=1}^{3N}{{{b}_{i}}^{n}\delta {{r}_{i}}=0\quad n=1,...,\nu }</math>


Nü charakterisiert auch hier die Zahl der Nebenbedingungen, der Index n steht für die n-te Nebenbedingung

Dies ist lösbar mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren.

Denn: Wenn die Vektorkomponenten
<math>{{r}_{i}}</math>
frei variierbar wären, also
<math>\delta {{r}_{i}}</math>
beliebig, so müsste gelten:


<math>{{m}_{i}}{{\ddot{r}}_{i}}-{{X}_{i}}=0</math>


Also wäre es sinnvoll, das lineare Gleichungssystem so umzuschreiben, dass ein Satz von Faktoren frei variierbar ist:

Zuerst addieren wir die Nebenbedingungen mit noch beliebigen Lagrangemultiplikatoren
<math>{{\lambda }_{n}}</math>
:

Wir erhalten:


<math>\sum\limits_{j=1}^{3N}{\left( {{m}_{j}}{{{\ddot{r}}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}} \right)\delta {{r}_{j}}=0}</math>


Nun sind
<math>\delta {{r}_{1}},\delta {{r}_{2}},...,\delta {{r}_{\nu }}</math>
 aus den Nebenbedingungen zu eliminieren.

Die verbleibenden
<math>\delta {{r}_{\nu +1}},...,\delta {{r}_{3N}}</math>
sind nun frei variierbar.

Nun kann das Summenzeichen weggelassen werden, da die verbleibenden Vektorkomponenten frei variiert werden können und dementsprechend jeder Summand für sich Null sein muss:

Es lassen sich
<math>{{\lambda }_{1,}}...,{{\lambda }_{\nu }}</math>
derart bestimmen, dass


<math>{{m}_{j}}{{\ddot{r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0\quad j=1,...,\nu </math>


Das heißt, wir suchen die
<math>{{\lambda }_{1,}}...,{{\lambda }_{\nu }}</math>
aus diesem gegebenen linearen Gleichungssystem für die
<math>{{\lambda }_{n}}(t)</math>
als Funktion der
<math>{{\ddot{r}}_{j}}(t)</math>
. Im stationären Fall ist dies direkt auflösbar.


<math>\sum\limits_{j=\nu +1}^{3N}{\left( {{m}_{j}}{{{\ddot{r}}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}} \right)\delta {{r}_{j}}=0}</math>


Da hier jedoch die
<math>\delta {{r}_{j}}</math>
frei variierbar sind, gilt:


<math>{{m}_{j}}{{\ddot{r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0</math>


Die Lagrange- Gleichung der 1. Art


<math>\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}</math>
kann als Zwangskraft interpretiert werden und taucht in der Statik als Lagrange- Parameter auf.

====Beispiel Atwoodsche Fallmaschine====

[[Datei:Atwoods_machine_functionally.svg|miniatur|Atwoods Fallmaschine]]

Aus der Schule bekannt ist die Kraft, die an m1 angreift, nämlich -m1g und die Kraft , die an m2 angreift, nämlich -m2g.

Beginnen wir mit dem d´Alembertschen Prinzip:


<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math>


so folgt:


<math>({{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}-{{X}_{1}})\delta {{h}_{1}}+({{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{2}}-{{X}_{2}})\delta {{h}_{2}}=0</math>


Da der Aufbau nur ein Rädchen besitzt gilt ganz einfach:


<math>\begin{align}
  & {{h}_{1}}+{{h}_{2}}=const. \\
 & \delta {{h}_{1}}=-\delta {{h}_{2}} \\
 & {{{\ddot{h}}}_{1}}=-{{{\ddot{h}}}_{2}} \\
\end{align}</math>


Also folgt:


<math>({{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{1}}g)\delta {{h}_{1}}-(-{{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{2}}g)\delta {{h}_{1}}=0</math>



<math>{{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{1}}g+{{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{1}}-{{m}_{2}}g=0</math>



<math>{{\ddot{h}}_{1}}=\frac{({{m}_{2}}-{{m}_{1}})}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}g</math>


Also: Am bedeutendsten ist das d´Alembertsche Prinzip, welches sagt, dass die Summe über alle virtuellen Arbeiten der Zwangskräfte Null ist:


<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math>