Editing D'Alembertsches Prinzip der virtuellen Arbeit
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Line 7: | Line 7: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}(t)-{{{\vec{X}}}_{i}}={{{\vec{Z}}}_{i}}\quad i=1...N \\ | & {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}(t)-{{{\vec{X}}}_{i}}={{{\vec{Z}}}_{i}}\quad i=1...N \\ | ||
& \to \sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}(t)-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)\delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}} \\ | & \to \sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}(t)-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)\delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}} \\ | ||
Line 19: | Line 19: | ||
<math>f({{\vec{r}}_{i}},t)=0</math> | |||
Line 25: | Line 25: | ||
<math>\vec{a}\cdot (\vec{r}-{{\vec{r}}_{o}}(t))=0</math> | |||
Line 31: | Line 31: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{{\vec{Z}}}_{i}}={{\lambda }_{i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}}){{\nabla }_{ri}}f \\ | & {{{\vec{Z}}}_{i}}={{\lambda }_{i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}}){{\nabla }_{ri}}f \\ | ||
& {{\nabla }_{ri}}f\quad z.B.\vec{a}\ f\ddot{u}r\ Ebene \\ | & {{\nabla }_{ri}}f\quad z.B.\vec{a}\ f\ddot{u}r\ Ebene \\ | ||
Line 40: | Line 40: | ||
<math>{{\vec{Z}}_{i}}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0={{\lambda }_{i}}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},...,{{\vec{r}}_{N}}){{\nabla }_{ri}}f\delta {{\vec{r}}_{i}}={{\lambda }_{i}}\delta f</math> | |||
Line 46: | Line 46: | ||
<math>{{\nabla }_{ri}}f\delta {{\vec{r}}_{i}}</math> | |||
ist als Variation der Zwangsbedingung zu verstehen: | ist als Variation der Zwangsbedingung zu verstehen: | ||
<math>{{\nabla }_{ri}}f</math> | |||
ist ein Differenzial senkrecht auf die Fläche | ist ein Differenzial senkrecht auf die Fläche | ||
<math>f\delta {{\vec{r}}_{i}}</math> | |||
ein Differenzial parallel zur Fläche | ein Differenzial parallel zur Fläche | ||
Line 60: | Line 60: | ||
<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}}=0</math> | |||
Line 66: | Line 66: | ||
<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}d{{{\vec{r}}}_{i}}}\ne 0</math> | |||
}} | }} | ||
{{Beispiel| | {{Beispiel| | ||
Line 72: | Line 72: | ||
<math>{{f}_{\lambda }}=\left| {{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}} \right|-{{l}_{ij}}:={{r}_{ij}}-{{l}_{ij}}=0</math> | |||
Annahme: Die Zwangskräfte wirken in Richtung | Annahme: Die Zwangskräfte wirken in Richtung | ||
<math>{{\vec{r}}_{i}}-{{\vec{r}}_{j}}</math> | |||
<math>{{\vec{Z}}_{ij}}={{\lambda }_{ij}}\frac{{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}</math> | |||
Line 92: | Line 92: | ||
<math>{{\vec{Z}}_{ij}}=-{{\vec{Z}}_{ji}}\Rightarrow {{\lambda }_{i{{j}_{{}}}}}={{\lambda }_{ji}}</math> | |||
Line 98: | Line 98: | ||
<math>{{\vec{Z}}_{i}}=\sum\limits_{j\ne i}{{{Z}_{ij}}}=\sum\limits_{j}{{{\lambda }_{ij}}\frac{{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}}</math> | |||
<math>{{\vec{Z}}_{i}}\delta {{\vec{r}}_{i}}\ne 0</math> | |||
im Allgemeinen. Es verschwindet also nicht die virtuelle Arbeit für jede Masse einzeln. | im Allgemeinen. Es verschwindet also nicht die virtuelle Arbeit für jede Masse einzeln. | ||
Line 108: | Line 108: | ||
<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i,j}{{{\lambda }_{ij}}\frac{{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i,j}{{{\lambda }_{ij}}\frac{{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}}{{\delta }_{{}}}{{({{\vec{r}}_{i}}-{{\vec{r}}_{j}})}_{{}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i,j}{{{\lambda }_{ij}}}{{\delta }_{{}}}{{r}_{ij}}=0</math> | |||
Line 114: | Line 114: | ||
<math>\delta |r|=\delta {{(\vec{r}\cdot \vec{r})}^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}{{(\vec{r}\cdot \vec{r})}^{-\frac{1}{2}}}2\vec{r}\delta \vec{r}=\frac{\vec{r}\delta \vec{r}}{r}</math> und <math>{{\delta }_{{}}}{{r}_{ij}}=0</math> | |||
}} | }} | ||
==Allgemeine Forderung== | ==Allgemeine Forderung== | ||
Allgemein kann man fordern: | Allgemein kann man fordern: | ||
<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=0</math> | |||
für alle betrachteten Zwangskräfte. | für alle betrachteten Zwangskräfte. | ||
Line 125: | Line 125: | ||
{{Def|Somit folgt als '''d'Alembertsches Prinzip''': | {{Def|Somit folgt als '''d'Alembertsches Prinzip''': | ||
<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math> | |||
|d'Alembertsches Prinzip}} | |d'Alembertsches Prinzip}} | ||
Line 135: | Line 135: | ||
Der wirklich angenommene Zustand eines Systems ist in Extremalzustand in dem Sinn, dass die gesamte virtuelle Arbeit Null ist. Dieser Zustand ist stabil gegen kleine Verrückungen der Bahn | Der wirklich angenommene Zustand eines Systems ist in Extremalzustand in dem Sinn, dass die gesamte virtuelle Arbeit Null ist. Dieser Zustand ist stabil gegen kleine Verrückungen der Bahn | ||
<math>\left\{ \delta {{{\vec{r}}}_{i}} \right\}</math>. | |||
==Variationsprinzip mit Nebenbedingungen== | ==Variationsprinzip mit Nebenbedingungen== | ||
Wir numerieren nun die Vektorkoordinaten um: | Wir numerieren nun die Vektorkoordinaten um: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \vec{r}\to {{r}_{j}}(j=1...3) \\ | & \vec{r}\to {{r}_{j}}(j=1...3) \\ | ||
& \vec{X}\to {{X}_{j}} \\ | & \vec{X}\to {{X}_{j}} \\ | ||
Line 148: | Line 148: | ||
Aus dem d´Alembertschen Prinzip gewinnen wir: | Aus dem d´Alembertschen Prinzip gewinnen wir: | ||
<math>\sum\limits_{i=1}^{3N}{{{Z}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{r}_{i}}}=\sum\limits_{i=1}^{3N}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{r}}}_{i}}-{{X}_{i}} \right)\delta {{r}_{i}}=0}</math> | |||
Nebenbedingung: | Nebenbedingung: | ||
<math>\sum\limits_{i=1}^{3N}{{{b}_{i}}^{n}\delta {{r}_{i}}=0\quad n=1,...,\nu }</math> | |||
<math>\nu</math> charakterisiert auch hier die Zahl der Nebenbedingungen, der Index n steht für die n-te Nebenbedingung | |||
Dies ist lösbar mit der {{FB|Methode der Lagrange-Multiplikatoren}}. | Dies ist lösbar mit der {{FB|Methode der Lagrange-Multiplikatoren}}. | ||
Denn: Wenn die Vektorkomponenten <math>{{r}_{i}}</math> frei variierbar wären, also <math>\delta {{r}_{i}}</math> beliebig, so müsste gelten: | Denn: Wenn die Vektorkomponenten <math>{{r}_{i}}</math> frei variierbar wären, also <math>\delta {{r}_{i}}</math> beliebig, so müsste gelten: | ||
<math>{{m}_{i}}{{\ddot{r}}_{i}}-{{X}_{i}}=0</math> | |||
Line 175: | Line 175: | ||
**Da hier jedoch die <math>\delta {{r}_{j}}</math> frei variierbar sind, gilt: | **Da hier jedoch die <math>\delta {{r}_{j}}</math> frei variierbar sind, gilt: | ||
{{Def|<math>{{m}_{j}}{{\ddot{r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0</math>'''Lagrange- Gleichung der 1. Art'''|Lagrange- Gleichung der 1. Art}} | {{Def|<math>{{m}_{j}}{{\ddot{r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0</math>'''Lagrange- Gleichung der 1. Art'''|Lagrange- Gleichung der 1. Art}} | ||
<math>\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}</math> kann als Zwangskraft interpretiert werden und taucht in der Statik als Lagrange- Parameter auf. | |||
{{Beispiel|Beispiel Atwoodsche Fallmaschine | {{Beispiel|Beispiel Atwoodsche Fallmaschine | ||
Line 182: | Line 182: | ||
Beginnen wir mit dem d´Alembertschen Prinzip: | Beginnen wir mit dem d´Alembertschen Prinzip: | ||
<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math> | |||
so folgt: | so folgt: | ||
<math>({{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}-{{X}_{1}})\delta {{h}_{1}}+({{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{2}}-{{X}_{2}})\delta {{h}_{2}}=0</math> | |||
Da der Aufbau nur ein Rädchen besitzt gilt ganz einfach: | Da der Aufbau nur ein Rädchen besitzt gilt ganz einfach: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{h}_{1}}+{{h}_{2}}=const. \\ | & {{h}_{1}}+{{h}_{2}}=const. \\ | ||
& \delta {{h}_{1}}=-\delta {{h}_{2}} \\ | & \delta {{h}_{1}}=-\delta {{h}_{2}} \\ | ||
Line 195: | Line 195: | ||
Also folgt: | Also folgt: | ||
<math>({{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{1}}g)\delta {{h}_{1}}-(-{{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{2}}g)\delta {{h}_{1}}=0</math> | |||
<math>{{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{1}}g+{{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{1}}-{{m}_{2}}g=0</math> | |||
<math>{{\ddot{h}}_{1}}=\frac{({{m}_{2}}-{{m}_{1}})}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}g</math> | |||
Also: Am bedeutendsten ist das d´Alembertsche Prinzip, welches sagt, dass die Summe über alle virtuellen Arbeiten der Zwangskräfte Null ist: | Also: Am bedeutendsten ist das d´Alembertsche Prinzip, welches sagt, dass die Summe über alle virtuellen Arbeiten der Zwangskräfte Null ist: | ||
<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math>}} |