Editing
D'Alembertsches Prinzip der virtuellen Arbeit
Jump to navigation
Jump to search
Warning:
You are not logged in. Your IP address will be publicly visible if you make any edits. If you
log in
or
create an account
, your edits will be attributed to your username, along with other benefits.
Anti-spam check. Do
not
fill this in!
<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|1|3}}</noinclude> Gegeben sei ein System von N Massepunkten mit beliebigen (holonomen oder nicht holonomen) Zwangsbed. Schreiben wir die Bewegungsgleichungen mit den Zwangskräften <math>Z_i</math> als: :<math>\begin{align} & {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}(t)-{{{\vec{X}}}_{i}}={{{\vec{Z}}}_{i}}\quad i=1...N \\ & \to \sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}(t)-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)\delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}} \\ \end{align}</math> {{Def|Dabei versteht man :<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{X}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}}</math> als virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte und :<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}}</math> als virtuelle Arbeit der Zwangskräfte.|Virtuelle Arbeit}} {{Beispiel|'''Beispiel: Bewegung auf einer Fläche''' :<math>f({{\vec{r}}_{i}},t)=0</math> das ist auf der Ebene gerade durch die Normale auszudrücken: :<math>\vec{a}\cdot (\vec{r}-{{\vec{r}}_{o}}(t))=0</math> Annahme: Alle Zwangskräfte stehen senkrecht auf die Fläche: :<math>\begin{align} & {{{\vec{Z}}}_{i}}={{\lambda }_{i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}}){{\nabla }_{ri}}f \\ & {{\nabla }_{ri}}f\quad z.B.\vec{a}\ f\ddot{u}r\ Ebene \\ \end{align}</math> Die Virtuelle Arbeit der Zwangskräfte verschwindet nun: :<math>{{\vec{Z}}_{i}}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0={{\lambda }_{i}}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},...,{{\vec{r}}_{N}}){{\nabla }_{ri}}f\delta {{\vec{r}}_{i}}={{\lambda }_{i}}\delta f</math> Begründung: :<math>{{\nabla }_{ri}}f\delta {{\vec{r}}_{i}}</math> ist als Variation der Zwangsbedingung zu verstehen: :<math>{{\nabla }_{ri}}f</math> ist ein Differenzial senkrecht auf die Fläche :<math>f\delta {{\vec{r}}_{i}}</math> ein Differenzial parallel zur Fläche Also folgt: :<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}}=0</math> Die reale Arbeit der Zwangskräfte verschwindet dagegen im Allgemeinen nicht: :<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}d{{{\vec{r}}}_{i}}}\ne 0</math> }} {{Beispiel| '''Beispiel: Starrer Körper''' :<math>{{f}_{\lambda }}=\left| {{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}} \right|-{{l}_{ij}}:={{r}_{ij}}-{{l}_{ij}}=0</math> Annahme: Die Zwangskräfte wirken in Richtung :<math>{{\vec{r}}_{i}}-{{\vec{r}}_{j}}</math> :<math>{{\vec{Z}}_{ij}}={{\lambda }_{ij}}\frac{{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}</math> Das Vorgehen läßt sich also folgendermaßen schematisieren: Bestimme die Richtung der Zwangskraft und multipliziere einen beliebigen skalaren Faktor mit dieser Richtung. Falls die Richtungen für verschiedene Zwangskräfte verschieden sind, so muss man diese indizieren (mit einem Index kenntlich machen). Die Zwangskräfte erhalten dann ebenso indizierte skalare Faktoren. Mit Hilfe des 3. Newtonschen Axioms können wir weiter einschränken: :<math>{{\vec{Z}}_{ij}}=-{{\vec{Z}}_{ji}}\Rightarrow {{\lambda }_{i{{j}_{{}}}}}={{\lambda }_{ji}}</math> Auf das Teilchen i wirkt also insgesamt die Zwangskraft: :<math>{{\vec{Z}}_{i}}=\sum\limits_{j\ne i}{{{Z}_{ij}}}=\sum\limits_{j}{{{\lambda }_{ij}}\frac{{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}}</math> :<math>{{\vec{Z}}_{i}}\delta {{\vec{r}}_{i}}\ne 0</math> im Allgemeinen. Es verschwindet also nicht die virtuelle Arbeit für jede Masse einzeln. Jedoch gilt: :<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i,j}{{{\lambda }_{ij}}\frac{{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i,j}{{{\lambda }_{ij}}\frac{{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}}{{\delta }_{{}}}{{({{\vec{r}}_{i}}-{{\vec{r}}_{j}})}_{{}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i,j}{{{\lambda }_{ij}}}{{\delta }_{{}}}{{r}_{ij}}=0</math> Beweis: :<math>\delta |r|=\delta {{(\vec{r}\cdot \vec{r})}^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}{{(\vec{r}\cdot \vec{r})}^{-\frac{1}{2}}}2\vec{r}\delta \vec{r}=\frac{\vec{r}\delta \vec{r}}{r}</math> und <math>{{\delta }_{{}}}{{r}_{ij}}=0</math> }} ==Allgemeine Forderung== Allgemein kann man fordern: :<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=0</math> für alle betrachteten Zwangskräfte. Das bedeutet: Gleitreibungskräfte längs einer Fläche sind als Zwangskräfte ausgeschlossen. {{Def|Somit folgt als '''d'Alembertsches Prinzip''': :<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math> |d'Alembertsches Prinzip}} Das d´Alembertsche Prinzip gilt gleichermaßen für holonome und anholonome Zwangsbedingungen Beispiel für ein {{FB|Variationsprinzip}}: {{FB|Differentialprinzip}}: (für infinitesimal kleine Variationen): Der wirklich angenommene Zustand eines Systems ist in Extremalzustand in dem Sinn, dass die gesamte virtuelle Arbeit Null ist. Dieser Zustand ist stabil gegen kleine Verrückungen der Bahn :<math>\left\{ \delta {{{\vec{r}}}_{i}} \right\}</math>. ==Variationsprinzip mit Nebenbedingungen== Wir numerieren nun die Vektorkoordinaten um: :<math>\begin{align} & \vec{r}\to {{r}_{j}}(j=1...3) \\ & \vec{X}\to {{X}_{j}} \\ & \vec{a}\to {{b}_{j}}^{n} \\ \end{align}</math> Aus dem d´Alembertschen Prinzip gewinnen wir: :<math>\sum\limits_{i=1}^{3N}{{{Z}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{r}_{i}}}=\sum\limits_{i=1}^{3N}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{r}}}_{i}}-{{X}_{i}} \right)\delta {{r}_{i}}=0}</math> Nebenbedingung: :<math>\sum\limits_{i=1}^{3N}{{{b}_{i}}^{n}\delta {{r}_{i}}=0\quad n=1,...,\nu }</math> :<math>\nu</math> charakterisiert auch hier die Zahl der Nebenbedingungen, der Index n steht für die n-te Nebenbedingung Dies ist lösbar mit der {{FB|Methode der Lagrange-Multiplikatoren}}. Denn: Wenn die Vektorkomponenten <math>{{r}_{i}}</math> frei variierbar wären, also <math>\delta {{r}_{i}}</math> beliebig, so müsste gelten: :<math>{{m}_{i}}{{\ddot{r}}_{i}}-{{X}_{i}}=0</math> Also wäre es sinnvoll, das lineare Gleichungssystem so umzuschreiben, dass ein '''Satz von Faktoren frei variierbar''' ist: * Zuerst addieren wir die Nebenbedingungen mit noch beliebigen {{FB|Lagrangemultiplikatoren}} <math>{{\lambda }_{n}}</math> Wir erhalten: **<math>\sum\limits_{j=1}^{3N}{\left( {{m}_{j}}{{{\ddot{r}}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}} \right)\delta {{r}_{j}}=0}</math> *Nun sind <math>\delta {{r}_{1}},\delta {{r}_{2}},...,\delta {{r}_{\nu }}</math> aus den '''Nebenbedingungen''' zu eliminieren. Die verbleibenden <math>\delta {{r}_{\nu +1}},...,\delta {{r}_{3N}}</math> sind nun frei variierbar. *Nun kann das Summenzeichen weggelassen werden, da die verbleibenden Vektorkomponenten frei variiert werden können und dementsprechend jeder Summand für sich Null sein muss: **Es lassen sich <math>{{\lambda }_{1,}}...,{{\lambda }_{\nu }}</math> derart bestimmen, dass **<math>{{m}_{j}}{{\ddot{r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0\quad j=1,...,\nu </math> **Das heißt, wir suchen die <math>{{\lambda }_{1,}}...,{{\lambda }_{\nu }}</math> aus diesem gegebenen linearen Gleichungssystem für die <math>{{\lambda }_{n}}(t)</math> als Funktion der <math>{{\ddot{r}}_{j}}(t)</math>; Im stationären Fall ist dies direkt auflösbar. ** <math>\sum\limits_{j=\nu +1}^{3N}{\left( {{m}_{j}}{{{\ddot{r}}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}} \right)\delta {{r}_{j}}=0}</math> **Da hier jedoch die <math>\delta {{r}_{j}}</math> frei variierbar sind, gilt: {{Def|<math>{{m}_{j}}{{\ddot{r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0</math>'''Lagrange- Gleichung der 1. Art'''|Lagrange- Gleichung der 1. Art}} :<math>\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}</math> kann als Zwangskraft interpretiert werden und taucht in der Statik als Lagrange- Parameter auf. {{Beispiel|Beispiel Atwoodsche Fallmaschine [[Datei:Atwoods machine functionally.svg|miniatur|Atwoods Fallmaschine]] Aus der Schule bekannt ist die Kraft, die an m1 angreift, nämlich -m1g und die Kraft, die an m2 angreift, nämlich -m2g. Beginnen wir mit dem d´Alembertschen Prinzip: :<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math> so folgt: :<math>({{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}-{{X}_{1}})\delta {{h}_{1}}+({{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{2}}-{{X}_{2}})\delta {{h}_{2}}=0</math> Da der Aufbau nur ein Rädchen besitzt gilt ganz einfach: :<math>\begin{align} & {{h}_{1}}+{{h}_{2}}=const. \\ & \delta {{h}_{1}}=-\delta {{h}_{2}} \\ & {{{\ddot{h}}}_{1}}=-{{{\ddot{h}}}_{2}} \\ \end{align}</math> Also folgt: :<math>({{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{1}}g)\delta {{h}_{1}}-(-{{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{2}}g)\delta {{h}_{1}}=0</math> :<math>{{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{1}}g+{{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{1}}-{{m}_{2}}g=0</math> :<math>{{\ddot{h}}_{1}}=\frac{({{m}_{2}}-{{m}_{1}})}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}g</math> Also: Am bedeutendsten ist das d´Alembertsche Prinzip, welches sagt, dass die Summe über alle virtuellen Arbeiten der Zwangskräfte Null ist: :<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math>}}
Summary:
Please note that all contributions to testwiki are considered to be released under the Creative Commons Attribution (see
Testwiki:Copyrights
for details). If you do not want your writing to be edited mercilessly and redistributed at will, then do not submit it here.
You are also promising us that you wrote this yourself, or copied it from a public domain or similar free resource.
Do not submit copyrighted work without permission!
Cancel
Editing help
(opens in new window)
Templates used on this page:
Template:Anker
(
edit
)
Template:Anker/code
(
edit
)
Template:Beispiel
(
edit
)
Template:Def
(
edit
)
Template:FB
(
edit
)
Template:ScriptProf
(
edit
)
Template:Scripthinweis
(
edit
)
Template:Scriptnav
(
edit
)
Navigation menu
Personal tools
Not logged in
Talk
Contributions
Log in
Namespaces
Page
Discussion
English
Views
Read
Edit
Edit source
View history
More
Search
Navigation
Main page
Recent changes
Random page
Physikerwelt
Tools
What links here
Related changes
Special pages
Page information