Editing Brechung und Reflexion

<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|5|6}}</noinclude>

Wir haben bereits gesehen, wie man aus den Stetigkeitsbedingungen mit Hilfe der integralen Maxwellgleichungen die Brechungsrelationen für die Feldvektoren herleiten kann. Nun soll dies für Lichtwellen wiederholt / vertieft werden:


Sogenannte Wellenausbreitung in geschichteten Medien
Transparent →
:<math>{{\varepsilon }_{i}}\in R</math>

:<math>\begin{align}
& \frac{\omega }{{{c}_{1}}}=\left| {\bar{k}} \right|=\left| \bar{k}\acute{\ } \right|=\frac{\omega \acute{\ }}{{{c}_{1}}} \\
& \left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|=\frac{\omega \acute{\ }\acute{\ }}{{{c}_{2}}} \\
& {{c}_{i}}=\frac{c}{{{n}_{i}}}=\frac{c}{\sqrt{{{\varepsilon }_{i}}}}\quad i=1,2 \\
& \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
\end{align}</math>

Einfallende Welle:

:<math>\bar{E}(\bar{r},t)={{\bar{E}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}}</math>

Reflektierte Welle:

:<math>\bar{E}\acute{\ }(\bar{r},t)={{\bar{E}}_{0}}\acute{\ }{{e}^{i\left( \bar{k}\acute{\ }\bar{r}-\omega \acute{\ }t \right)}}</math>

Transmittierte Welle:

:<math>\bar{E}\acute{\ }\acute{\ }(\bar{r},t)={{\bar{E}}_{0}}\acute{\ }\acute{\ }{{e}^{i\left( \bar{k}\acute{\ }\acute{\ }\bar{r}-\omega \acute{\ }\acute{\ }t \right)}}</math>

<u>'''Grenzbedingungen für'''</u>
:<math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>.
 Annahme: linear polarisiert:

:<math>{{\left. {{E}_{1}}+{{E}_{1}}\acute{\ } \right|}_{{{x}_{3}}=0}}={{\left. {{E}_{1}}\acute{\ }\acute{\ } \right|}_{{{x}_{3}}=0}}</math>
→ Stetigkeit der Tangenzialkomponenten
Diese Bedingungen werden nur an die Amplituden gestellt. Für die Phasen gibt es keine Bedingungen, besser gesagt:

Betrachte Situation für r=0

:<math>\begin{align}
& {{{\bar{E}}}_{01}}{{e}^{i\omega t}}+{{{\bar{E}}}_{01}}\acute{\ }{{e}^{i\omega \acute{\ }t}}={{{\bar{E}}}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }{{e}^{i\omega \acute{\ }\acute{\ }t}} \\
& \Rightarrow \omega =\omega \acute{\ }=\omega \acute{\ }\acute{\ } \\
& {{{\bar{E}}}_{01}}+{{{\bar{E}}}_{01}}\acute{\ }={{{\bar{E}}}_{01}}\acute{\ }\acute{\ } \\
\end{align}</math>

Das Snelliussche Brechungsgesetz können wir uns nicht als Amplitudenverhältnis anschauen, weil wir sonst wieder nur die Brechung der elektrischen Feldvektoren gewinnen.
Aber: Wenn man ein Verhältnis der Beträge der k- Vektoren (Ausbreitungsrichtung des Energiestroms) betrachtet, so ergibt sich das richtige Ausbreitungsgesetz:

Betrachte für t=0

:<math>{{E}_{01}}{{e}^{i{{k}_{1}}{{x}_{1}}}}+{{E}_{01}}\acute{\ }{{e}^{ik{{\acute{\ }}_{1}}{{x}_{1}}}}={{E}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }{{e}^{i{{k}_{1}}\acute{\ }\acute{\ }{{x}_{1}}}}</math>

Also:

:<math>{{k}_{1}}={{k}_{1}}\acute{\ }={{k}_{1}}\acute{\ }\acute{\ }</math>

Aber: (Siehe Skizze)! Dies gilt ja genau für die Anteile entlang x^1, also:
muss man den Winkel dazunehmen und man gewinnt:

:<math>\begin{align}
& \left| {\bar{k}} \right|\sin \gamma =\left| \bar{k}\acute{\ } \right|\sin \gamma \acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|\sin \gamma \acute{\ }\acute{\ } \\
& \left| {\bar{k}} \right|=\frac{\omega }{{{c}_{1}}} \\
& \left| \bar{k}\acute{\ } \right|=\frac{\omega }{{{c}_{1}}} \\
& \left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|=\frac{\omega }{{{c}_{2}}} \\
\end{align}</math>

Somit gewinnen wir Reflexions und Snelliussches Brechungsgesetz:

:<math>\begin{align}
& \sin \gamma =\sin \gamma \acute{\ } \\
& \frac{\sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }}{\sin \gamma }=\frac{{{c}_{2}}}{{{c}_{1}}}=\frac{{{n}_{1}}}{{{n}_{2}}} \\
\end{align}</math>

Reflexions- und Brechungsgesetz

<u>'''Bestimmung der Amplituden:'''</u>

# <u>'''Polarisation von E in der Einfallsebene'''</u>
Stetigkeitsbedingungen: Normalkomponenten sind keine vorhanden → Nur Tangentialkomponenten:

:<math>\begin{align}
& {{E}_{01}}={{E}_{01}}\acute{\ }={{E}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }=0 \\
& {{E}_{03}}={{E}_{03}}\acute{\ }={{E}_{03}}\acute{\ }\acute{\ }=0 \\
\end{align}</math>

Für die Tangentialkomp.:

:<math>{{E}_{02}}+{{E}_{02}}\acute{\ }={{E}_{02}}\acute{\ }\acute{\ }</math>

Mit

:<math>{{\bar{B}}_{0}}=\frac{c}{\omega }\bar{k}\times {{\bar{E}}_{0}}=\frac{c}{\omega }{{E}_{02}}\left( \begin{matrix}
-{{k}_{3}}  \\
0  \\
{{k}_{1}}  \\
\end{matrix} \right)</math>

Somit folgt dann für die Tangentialkomponente von B:

:<math>{{B}_{01}}+{{B}_{01}}\acute{\ }={{B}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }\Rightarrow {{k}_{3}}{{E}_{02}}+{{k}_{3}}\acute{\ }E{{\acute{\ }}_{02}}={{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }{{E}_{02}}\acute{\ }\acute{\ }</math>

mit dem Reflexionsgesetz.

:<math>{{k}_{3}}=-{{k}_{3}}\acute{\ }</math>

:<math>\begin{align}
& \Rightarrow {{k}_{3}}\left( {{E}_{02}}-E{{\acute{\ }}_{02}} \right)={{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }\left( {{E}_{02}}+{{E}_{02}}\acute{\ } \right) \\
& \Rightarrow \frac{E{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}}=\frac{{{k}_{3}}-{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }}{{{k}_{3}}+{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }} \\
& \frac{E\acute{\ }{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}}=\frac{2{{k}_{3}}}{{{k}_{3}}+{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }} \\
\end{align}</math>

Man muss nun  nur
:<math>{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }</math>
über den Brechungswinkel
:<math>\gamma \acute{\ }\acute{\ }</math>
ausdrücken und man gewinnt die Fresnelschen Formeln:

:<math>\begin{align}
& {{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|\cos \gamma \acute{\ }\acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ } \right|\frac{{{n}_{2}}}{{{n}_{1}}}\cos \gamma \acute{\ }\acute{\ } \\
& \frac{{{n}_{2}}}{{{n}_{1}}}=\frac{\sin \gamma }{\sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }} \\
& \Rightarrow {{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|\cos \gamma \acute{\ }\acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ } \right|\frac{\sin \gamma }{\sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }}\cos \gamma \acute{\ }\acute{\ } \\
& {{k}_{3}}=\left| {\bar{k}} \right|\cos \gamma  \\
\end{align}</math>

Also können wir dies in die gefundenen Formeln für die Amplitudenverhältnisse einsetzen und erhalten die Brechungsformeln (Fresnelsche Formeln) nur noch in Abhängigkeit von den Winkeln:

Also:

:<math>\begin{align}
& \frac{E{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}}=\frac{\cos \gamma \sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\sin \gamma \cos \gamma \acute{\ }\acute{\ }}{\cos \gamma \sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\sin \gamma \cos \gamma \acute{\ }\acute{\ }}=\frac{\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma  \right)}{\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma  \right)} \\
& \frac{E\acute{\ }{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}}=\frac{2{{k}_{3}}}{{{k}_{3}}+{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }}=\frac{2\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ } \right)\cos \gamma }{\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma  \right)} \\
\end{align}</math>

<u>'''Intensitätsverhältnisse:'''</u>

<u>'''betrachte: Zeitmittel des Poynting- Vektors:'''</u>

:<math>\left\langle {\bar{S}} \right\rangle =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{{}}dt\left( \bar{E}\times \bar{H} \right)</math>

'''Reflexionskoeffizient: (bei senkrechter Polarisation)'''

:<math>\begin{align}
& {{R}_{\bot }}={{\left| \frac{E{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}} \right|}^{2}}=\frac{{{\sin }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma  \right)}{{{\sin }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma  \right)} \\
&  \\
\end{align}</math>

Transmissionskoeffizient (bei senkrechter Polarisation)

:<math>{{T}_{\bot }}={{\left| \frac{E\acute{\ }{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}} \right|}^{2}}=\frac{4{{\sin }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ } \right){{\cos }^{2}}\gamma }{{{\sin }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma  \right)}=1-{{R}_{\bot }}</math>

# <u>'''Polarisation von'''</u>
# <math>\bar{E}||</math>
# Einfallsebene:
<u>'''Dadurch:'''</u>
:<math>\bar{B}\bot </math>
Einfallsebene

* Analoge Argumentation:

:<math>\begin{align}
& {{B}_{01}}={{B}_{01}}\acute{\ }={{B}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }=0 \\
& {{B}_{03}}={{B}_{03}}\acute{\ }={{B}_{03}}\acute{\ }\acute{\ }=0 \\
& {{B}_{02}}+{{B}_{02}}\acute{\ }={{B}_{02}}\acute{\ }\acute{\ } \\
\end{align}</math>

usw... ebenfalls Bildung der Verhältnisse  in Abhängigkeit von k → wie beim Vorgehen in a) weiter rechnen.
k durch Zwischenwinkel ausdrücken:
Zur Übung berechnen, es ergibt sich:

:<math>\begin{align}
& \frac{E{{\acute{\ }}_{||}}}{{{E}_{||}}}=\frac{\tan \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma  \right)}{\tan \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma  \right)} \\
& \frac{E\acute{\ }{{\acute{\ }}_{||}}}{{{E}_{||}}}=\frac{2\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ } \right)\cos \gamma }{\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma  \right)\cos \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma  \right)} \\
\end{align}</math>

Ebenso:

:<math>\begin{align}
& {{R}_{||}}={{\left| \frac{E{{\acute{\ }}_{||}}}{{{E}_{||}}} \right|}^{2}}=\frac{{{\tan }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma  \right)}{{{\tan }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma  \right)}=1-{{T}_{||}} \\
&  \\
\end{align}</math>

'''Bemerkung'''
Bei Reflexion und Brechung wird im Allgemeinen die Polarisationsrichtung gedreht. Speziell für den Fall

:<math>\begin{align}
& \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma =\frac{\pi }{2} \\
& ->\tan \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma  \right)\to \infty  \\
& {{R}_{||}}=0 \\
\end{align}</math>

In diesem Fall kommt es nicht zu Teilpolarisation sondern: die reflektierte Welle wird vollständig polarisiert (senkrecht zur Einfallsebene)
* Dies ist der Brewsterwinkel:
*
* <math>\begin{align}
*   & \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma =\frac{\pi }{2}->\gamma =\left( {{\gamma }_{Brew}} \right) \\
*  & \tan {{\gamma }_{B}}=\sqrt{\frac{{{\varepsilon }_{2}}}{{{\varepsilon }_{1}}}} \\
* \end{align}</math>
*

'''Totalreflexion'''
'''Sei'''

:<math>\begin{align}
& {{\varepsilon }_{2}}<{{\varepsilon }_{1}} \\
& \sin {{\gamma }_{G}}=\sqrt{\frac{{{\varepsilon }_{2}}}{{{\varepsilon }_{1}}}} \\
\end{align}</math>

Totalreflexion unter diesem Winkel oder flacher!

Grenzwinkel der Totalreflexion →
:<math>\gamma \acute{\ }\acute{\ }=\frac{\pi }{2}</math>

:<math>\begin{align}
& {{R}_{\bot }}={{R}_{||}}=1 \\
& {{T}_{\bot }}={{T}_{||}}=0 \\
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
& {{\varepsilon }_{2}}<{{\varepsilon }_{1}} \\
& \gamma >{{\gamma }_{G}}\Rightarrow  \\
\end{align}</math>

:<math>k\acute{\ }\acute{\ }</math>
wird imaginär → es dringt kein reeller Strahl mehr ins Medium ein!